平面幾何地重要定理

PAGEPAGE3平面幾何的重要定理平面幾何是競賽數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在解平面幾何問題時(shí)，除應(yīng)掌握平面幾何證明的方法與技巧外，還要掌握平面幾何的一些重要定理.下面對這些定理作一介紹.1．基本原理定理1（梅涅勞斯定理Menelaus）設(shè)分別是的邊或其延長線上的點(diǎn)，且在邊的延長線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則三點(diǎn)共線的充要條件是： .證必要性：設(shè)三點(diǎn)共線，如圖1，過作交于，則，.圖1充分性：設(shè) （1）直線交的延長線于，則由必要性的證明知 （2）由（1），（2）得，從而由合比定理得： ，所以與重合.注定理1中要求中有奇數(shù)個(gè)點(diǎn)在其邊的延長線上是必要的，否則結(jié)論不一定成立.例如，取分別為的中點(diǎn)，則有，但此時(shí)不共線.定理2（塞瓦定理Ceva）設(shè)分別是的邊或其延長線上的點(diǎn)，且有偶數(shù)個(gè)點(diǎn)在邊的延長線上，則三線共點(diǎn)或互相平行的充要條件是 .證必要性：若交于一點(diǎn)，如圖2，因?yàn)榉謩e交的三邊于，由海涅勞斯定理得圖2 （1）又直線分別交的三邊于，由梅涅勞斯定理得 （2）（1）×（2）得.若，如圖3，則，從而有.圖3充分性因中必有一點(diǎn)在三角形的邊上，不妨設(shè)點(diǎn)在邊上，若與相交于點(diǎn)，如圖2，連交邊于，則由必要性的證明知 ，又，從而有，即，故與重合.所以三線共點(diǎn).若，如圖3，則 ，又從而有故所以，所以.定理3（斯特瓦爾特定理Stewart）設(shè)是的邊上一點(diǎn)，則 （*）證如圖4，設(shè)，則.在中，由余弦定理知 （1）在中，由余弦定理知 （2）圖4（1）×（2）×，得 斯德瓦爾特定理給出了用的邊長計(jì)算的公式.事實(shí)上，要確定點(diǎn)在上的位置，只需給出的值.設(shè)，則，從而有，，將代入（*）式即可用表示.特別地，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，可得中線長公式 當(dāng)為的平分線時(shí)，由角平分線定理知 ，從而可得角平分線長公式： ，其中分別為中所對的邊長.定理4（托勒密定理Ptolemy）在凸四邊形中，有 ，其中等號(hào)成立的充要條件是為圓內(nèi)接四邊形.證如圖5，作，則∽，從而有 （1）又在與中，（因?yàn)椤祝﹫D5∽，從而有 （2）（1）+（2）得 等號(hào)成立的充要條件是點(diǎn)在線段上.又當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由作法知，從而有四點(diǎn)共圓.反之，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，易證點(diǎn)在線段上，故結(jié)論成立.定理5（西姆松定理Simson）從外一點(diǎn)P分別作三邊的垂線，垂足為，則共線的充要條件是點(diǎn)在的外接圓上.證必要性如圖6，設(shè)共線，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓，從而有，所以四點(diǎn)共圓.充分性：設(shè)四點(diǎn)共圓，則 （1）又因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以圖6 （2）由（1），（2）知 （3）又因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以 （4）將（3）代入（4）得 所以三點(diǎn)共線.注：當(dāng)在的外接圓上時(shí)，人們把直線稱為關(guān)于點(diǎn)的西姆松線.定理6（歐拉定理Euler）設(shè)的外心、重心、垂心分別為，則三點(diǎn)共線，且.證如圖7，延長交于，延長交于，延長交于，則，為的中點(diǎn).連，延長交的外接圓于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，.又圖7.在四邊形中，，所以為平行四邊形，所以 .設(shè)交于，則由，知∽，所以.又在上，且，與重合，故三點(diǎn)共線.又，故結(jié)論成立.注：人們常把三點(diǎn)所連成的直線稱為歐拉線.2．定理的應(yīng)用梅涅勞斯定理提供了用直線截三角形的三邊產(chǎn)生比例式的方法，也提供了三點(diǎn)共線的數(shù)量特征.塞瓦定理提供了由3線共點(diǎn)產(chǎn)生比例式的方法，也提供了三線共點(diǎn)的數(shù)量特征.斯特瓦爾特定理提供了三角形一頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的連線長的計(jì)算公式.托勒密定理提供了圓內(nèi)接凸四邊形的邊與對角線之間的等量關(guān)系，也提供了證明四點(diǎn)共圓的方法.西姆松定理提供了證明三點(diǎn)共線的又一方法.歐拉定理給定了三角形的外心、重心與垂心之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，下面說明這些定理的應(yīng)用.例1在中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，交于，如圖8，已知 （1）求證：平分角.分析要證平分，只需證明 （2）圖8因此需要溝通（1）式與（2）式的聯(lián)系.由于圖中有直線割三角形，所以可用梅涅勞斯定理再建立一個(gè)等量關(guān)系.注意到梅涅勞斯定理的等式中，割線上的線段不在等式中出現(xiàn).因此我們選用割三角形.證由梅涅勞斯定理得 （3）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，代入（3）得 （4）由（1），（4）得,,所以平分.在中，是的中點(diǎn)，平分，在上的射影為，交于，如圖9，求證：.分析要證，需證，而是兩交線與分三角形的邊所成的線段，因而可連交于，再對用塞瓦定理，得圖9 將代入上式，得，故需證，即需證為的中點(diǎn)，再結(jié)合涉及中線與角平分線時(shí)的輔助線的作法可得如下證法.證連并延長交于，延長相交于，因?yàn)椋椒?，所以為等腰三角形，從而?.又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以為的中位線，所以，再由塞瓦定理和上面的分析易知 ,從而有.例3在中，已知，是的平分線，為上一點(diǎn)且，如圖10，求證：.分析要求出，由斯特瓦爾特定理知只需求出點(diǎn)與點(diǎn)分所成的比.證設(shè)，則.圖10又因?yàn)槠椒?，所以，由斯特瓦爾特定理知：所? （1）又，代入（1）得 .例4從銳角的外心分別向三邊作垂線，垂足分別為，設(shè)的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，求證.分析如圖11，由于，又四點(diǎn)共圓，所以可用托勒密定理建立與的聯(lián)系.證如圖11，連結(jié)，設(shè)的所對的邊長分別為，因?yàn)閳D11四點(diǎn)共圓，所以由托勒密定理知 ,即. （1）同理可得 （2） （3）（1）+（2）+（3）得 （4）又因?yàn)?（5）由（4），（5）得 ,.例5的頂點(diǎn)A在與的內(nèi)角平分線和外角平分線上的射影分別為，如圖12，為的內(nèi)心，求證：共線.分析要證垂足共線，可考慮用西姆松定理.證延長交于點(diǎn)，因?yàn)槭菑狞c(diǎn)分別向的三邊所作的垂線.圖12又所以四點(diǎn)共圓.由西姆松定理知三點(diǎn)共線.同理可證共線，從而知四點(diǎn)共線.例6設(shè)分別為的邊的中點(diǎn)，求證：的外心在的歐拉線上.分析因?yàn)榈闹匦呐c的重心重合，所以的外心在的歐拉線上的充要條件是的垂心在的歐拉線上，易證的垂心為的外心.證設(shè)的外心為，重心為，垂心為，由于的三條中線與的三條中線分別重合，所以與的重心重合.如圖13，因?yàn)闉榈拇怪逼椒志€，而.同理可證，為的垂心，所以的歐拉線與的歐拉線重合，故的外心在的歐拉線上.圖13習(xí)題91．如圖，的的外角平分線與邊的延長線交與，的平分線與邊交于，的平分線與邊交于，求證：三點(diǎn)