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2022-2023學(xué)年河南省鄭州市第六十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.的展開(kāi)式中的系數(shù)為
(
)(A)4
(B)6
(C)10
(D)20參考答案:B略2.若是實(shí)數(shù),則是的(
)A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:A3.當(dāng)時(shí),不等式成立,則此不等式的解集為() A.
B.C. D.參考答案:B略4.在一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中,若所有樣本點(diǎn)都在直線上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(
)A、
B、
C、
D、參考答案:A5.已知,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A. B. C. D.參考答案:B【分析】先由得到a與b大小關(guān)系,再判斷.【詳解】由,得:b<a<0,所以a2<b2,故A正確;因?yàn)閍>b,b<0,所以ab<b2,故B不正確;因?yàn)椋?,所以,故C正確;因?yàn)閍>b,a<0,所以a2<ab,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,所以lga2<lgab,所以D正確;故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì),考查了基本不等式,若比較大小的兩式是指數(shù)型或?qū)?shù)型等,可構(gòu)造具體函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.6.下列有關(guān)命題的敘述錯(cuò)誤的是 (
) A.對(duì)于命題 B.若“P且Q”為假命題,則P,Q均為假命題 C.“”是的充分不必要條件 D.命題“若”的逆否命題為“若”參考答案:B7.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組若的最大值為1,則正數(shù)a的值為(
)A.
B.1
C.2
D.4參考答案:D作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示,是可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率,由圖可見(jiàn),點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率最大,由,解得時(shí),取最大值,解得,故選D.
8.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為150°的直線l與拋物線在第一、二象限分別交于A,B兩點(diǎn),則()A.3 B. C. D.參考答案:A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】設(shè)直線l的方程為:x=﹣(y﹣),代入拋物線方程,求得A和B坐標(biāo),由拋物線的焦點(diǎn)弦公式,即可求得的值.【解答】解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為:x=﹣(y﹣)則:,消去x可得12y2﹣20py+3p2=0,點(diǎn)A在第一象限,解得:y1=,y2=,∴===3,故選A.9.已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn),N是棱CD上異于端點(diǎn)C,D的任一點(diǎn),則下列結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)有()(1)MN⊥AB;(2)若N為中點(diǎn),則MN與AD所成角為60°;(3)平面CDM⊥平面ABN;(4)不存在點(diǎn)N,使得過(guò)MN的平面與AC垂直.A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:C逐一考查所給的四個(gè)說(shuō)法:(1)連結(jié)MC,MD,由三角形三線合一可得AB⊥CM,AB⊥DM,∴AB⊥平面MCD,∵M(jìn)N?平面MCD,∴AB⊥MN,故(1)正確;(2)取BD中點(diǎn)E,連結(jié)ME,NE,則∠NME或其補(bǔ)角為MN與AD所成角,連結(jié)BN,由(1)知BM⊥MN,設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1,則,,∴cos∠NME=,∴∠NME=45°,故(2)不正確;(3)由(1)知AB⊥平面CDM,∵AB?平面ABN,∴平面CDM⊥平面ABN,故(3)正確;(4)取BC中點(diǎn)F,連結(jié)MF,DF,假設(shè)存在點(diǎn)N,使得過(guò)MN的平面與AC垂直,∴AC⊥MN,∵M(jìn)F∥AC,∴MF⊥MN,∵DF=DM=,∴∠FMD<90°,很明顯∠CMF<90°.當(dāng)N從D向C移動(dòng)時(shí),∠FMN先減小,后增大,故∠FMN<90°,與MF⊥MN矛盾.∴不存在點(diǎn)N,使得過(guò)MN的平面與AC垂直,故(4)正確.本題選擇C選項(xiàng).10.在中,角的對(duì)邊分別是,已知,則A. B. C. D.或參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三點(diǎn),,共線,則實(shí)數(shù)
.參考答案:
12.同時(shí)擲四枚均勻的硬幣,有三枚“正面向上”的概率是____________.參考答案:試題分析:列舉:四正(1),三正一反(4),二正二反(6),三反一證(4),四反(1),共計(jì)16種情況,所以概率為.考點(diǎn):古典概型.13.y=的定義域是.參考答案:(]【考點(diǎn)】33:函數(shù)的定義域及其求法.【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0,然后求解對(duì)數(shù)不等式得答案.【解答】解:由,得0<3x﹣2≤1,∴,∴y=的定義域是(].故答案為:(].14.已知,則最小正整數(shù)n= .參考答案:3略15.已知A(1,1),B(0,2),C(3,-5),則△ABC的面積為_(kāi)____________.參考答案:216.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q于點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),O為原點(diǎn),若P為AB的中點(diǎn),且,則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_________.參考答案:解:由為中點(diǎn)可得,,則,而點(diǎn)坐標(biāo)為,則,,且,,則軌跡方程為.17.極坐標(biāo)方程分別為ρ=cosθ與ρ=sinθ的兩個(gè)圓的圓心距為.參考答案:【考點(diǎn)】Q4:簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.【分析】先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,將極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐標(biāo)方程,最后利用直角坐標(biāo)方程的形式,結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解即得.【解答】解:由ρ=cosθ,化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣x=0,其圓心是A(,0),由ρ=sinθ,化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣y=0,其圓心是B(0,),由兩點(diǎn)間的距離公式,得AB=,故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,以及利用圓的幾何性質(zhì)計(jì)算圓心距等基本方法,我們要給予重視.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知直線為參數(shù)),曲線
(為參數(shù)).(I)設(shè)與相交于兩點(diǎn),求;(II)若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,得到曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線的距離的最小值.參考答案:解:(I)的普通方程為的普通方程為聯(lián)立方程組解得與的交點(diǎn)為,,則.
(II)的參數(shù)方程為為參數(shù)).故點(diǎn)的坐標(biāo)是,從而點(diǎn)到直線的距離是
,由此當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為.略19.(7分)已知命題命題若命題是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:略20.如圖所示,橢圓C:+=1(a>b>0),其中e=,焦距為2,過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)B在AM之間.又點(diǎn)A,B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,且=λ.(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)求實(shí)數(shù)λ的值.參考答案:考點(diǎn):橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).專(zhuān)題:計(jì)算題;平面向量及應(yīng)用;直線與圓;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:(I)運(yùn)用離心率公式和橢圓的a,b,c的關(guān)系,解得a,b,即可得到橢圓方程;(II)運(yùn)用向量共線的知識(shí),設(shè)出直線l的方程,聯(lián)立橢圓方程,消去y,運(yùn)用判別式大于0,以及韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,計(jì)算得到A,B的橫坐標(biāo),即可得到所求值.解答:解:(I)由條件可知,c=1,a=2,故b2=a2﹣c2=3,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(II)由,可知A,B,M三點(diǎn)共線,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),點(diǎn)B(x2,y2).若直線AB⊥x軸,則x1=x2=4,不合題意.當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣4).由消去y得,(3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0.①由①的判別式△=322k4﹣4(4k2+3)(64k2﹣12)=144(1﹣4k2)>0,解得,,由,可得,即有.將代入方程①,得7x2﹣8x﹣8=0,則x1=,x2=.又因?yàn)?,,,所以,所以?.點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的方程和性質(zhì),考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.21.(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù),(Ⅰ)求的極小值;(Ⅱ)若函數(shù)上為單調(diào)增函數(shù),求m的取值范圍;(Ⅲ)設(shè)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上至少存在一個(gè)x0,使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范圍。參考答案:解:(Ⅰ)由題意,,,∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),故.
…………4分(Ⅱ),,由于在內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),所以在上恒成立,即在上恒成立,故,所以的取值范圍是.
…………8分(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù),當(dāng)時(shí),由得,,,所以在上不存在一個(gè),使得.
…………10分當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,,所以在上恒成立,故在上單調(diào)遞增,,所以要在上存在一個(gè),使得,必須且只需,解得,故的取值范圍是.
…14分另法:(Ⅲ)當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),由,得,令,則,所以在上遞減,.綜上,要在上存在一個(gè),使得,必須且只需.22.已知拋物線,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,線段OF的中點(diǎn)為G.點(diǎn)P是C上在x軸上方的一點(diǎn),且點(diǎn)P到l的距離等于它到原點(diǎn)O的距離.(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo);(2)過(guò)點(diǎn)作一條斜率為正數(shù)的直線與拋物線C從左向右依次交于A、B兩點(diǎn),求證:.參考答案:(1);(2)詳見(jiàn)解析.【分析】(1)由點(diǎn)到的距離等于它到原點(diǎn)的距離,得,又為線段的中點(diǎn),所以,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入拋物線的方程,解得,即可得到點(diǎn)坐標(biāo).(2)設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,求得,,進(jìn)而得到,進(jìn)而得到直線和的傾斜角互補(bǔ),即可作出證明.【詳解】(1)根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)到的距離等于,因?yàn)辄c(diǎn)到的距離等于它到原點(diǎn)的距離,所以,從而為等腰三角形,又為線段的中點(diǎn),所以,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入,解得,故點(diǎn)
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