第16講其他方法求面積

第十六講其他方法求面積1．如圖所示，長方形倍分成面積相等的四部分，x=厘米。答案：6；解：最上面的長方形的面積是16×2=32（平方厘米），四個部分的面積相等，所以下面三個面積的和是32×3=96（平方厘米），所以x=96÷16=6（厘米）。2．如圖所示，把一個長方形分成6個正方形，其中最小的一個面積是1平方厘米，那么這個長方形的面積是平方厘米。答案：143；解：如圖所示，把6個正方形分別標上①、②、③、④、⑤、⑥，則②、③面積相等，記⑥的邊長為a，則⑤的邊長為a–1，④的邊長為a–2，②、③的邊長為a–3，從長方形的兩條長比較得到a+a–1=a–2+a–3+a–3，解得a=7，所以長方形的長為7+6=13（厘米），寬為7+4=11（厘米），所以長方形的面積是13×11=143（平方厘米）。3．如圖所示，長方形被兩條直線切割成四部分，其中三部分的面積分別為28、12、6平方厘米，陰影部分的面積是平方厘米。答案：14；解：如圖，設(shè)長方形內(nèi)部的四條線段的長分別為a、b、c、d，則a×c=28，a×d=12，b×d=6，所以(a×c)×(b×d)÷(a×d)=b×c，即陰影部分面積為b×c=28×6÷12=14(平方厘米)。4．一個長方形被分割成8個小長方形，其中有五個小長方形的面積如下圖所示（單位：平方分米），那么這個大長方形的面積是平方分米。答案：240；解：由上題中的結(jié)論知道，左下方的長方形的面積是35×21÷15=49（平方分米），面積為30的長方形下面那個長方形的面積是30×21÷15=42（平方分米），右上方的長方形的面積是30×28÷42=20（平方分米），所以大長方形的面積是35+15+30+20+49+21+42+28=240（平方分米）。5．如圖所示，在一塊長24米，寬16米的長方形綠地上，有一條款2米的小路，請你列式計算出這條小路的面積。答案：76；解：陰影部分的面積等于路長乘以路寬，路寬為2米，路長等于長+寬–2米=16+24–2=38，所以陰影部分的面積=38×2=76（平方米）。6．如圖所示（單位：米），在大長方形中陰影部分的每個小長方形的長相等，寬也相等，求空白部分的面積。答案：576；解：觀察圖形，可以得到小長方形的長與寬的關(guān)系，其中2長+4寬=42米，2長+1寬=24米，所以3個寬等于18米，寬=6米。所以2個長=24–6=18（米），長=9米，小長方形的面積是54（平方米），大長方形的面積是42×24=1008（平方米），剩余部分的面積是1008–8×54=576（平方米）。7．已知兩個正方形的邊長和為25厘米，大正方形面積比小正方形面積大125平方厘米，那么大正方形的面積是平方厘米。答案：225；解：如圖，在兩個正方形之間放入4個長方形，長方形的長為b，寬為a，所以(a+b)+(b–a)=25，所以b=12.5，又4×a×b=125，所以a=2.5，大正方形的邊長是12.5+2.5=15（厘米），所以大正方形的面積是15×15=225（平方厘米）。8．正方形ABCD的邊長為6米，E是BC的中點，四邊形OECD的面積為平方米。答案：15；解：連接DE，因為E是BC的中點，設(shè)三角形OBE的面積為1份，O點到AB、BE的距離相等，所以三角形ABO的面積為2份，三角形ABO的面積+三角形OBE的面積=三角形DEO的面積+三角形OBE的面積，所以三角形OED的面積為2份，三角形DEC的面積=三角形ABE的面積為3份，所以三角形BCD的面積是1+2+3=6（份），這六份為正方形面積的一半，為18平方米，所以每份是3平方米，所以四邊形OECD的面積是3×5=15（平方米）。9．如圖所示，三角形ABC和三角形EFD是面積為2004平方厘米的全等的直角三角形，AB=EF，BC=FD，∠ABC=∠DFE=90°，點B在DE邊上，點F在AC邊上，形成長方形GBHF，求長方形ADEC的面積。答案：4008平方厘米；解：連接BF，因為三角形ADB的面積=三角形FDB的面積（同底等高），所以三角形FGB的面積=三角形AGD的面積，同理，三角形ECF的面積=三角形BCF的面積，所以三角形ECH的面積=三角形BFH的面積，于是長方形ADEC的面積=三角形ABC的面積+三角形EDF的面積=4008（平方厘米）。10．如圖所示，一大一小兩個正方形拼在一起，若陰影部分的面積是10平方米，小正方形的面積是平方米。答案：20；解：連接BF，則BF與AC平行，所以三角形ACF的面積=三角形ABC的面積，所以小正方形的面積是2×10=20（平方米）。11．如圖所示，AB=24厘米，長方形BDEF中EF=15厘米，陰影三角形面積是60平方厘米，則三角形DCE的面積是平方厘米。答案：30；解：連接AD，三角形ADE的面積=三角形BED的面積，所以三角形ACD的面積=三角形BCE的面積=60平方厘米，又三角形ACD的面積=CD×AB÷2，其中AB=24厘米，所以CD=60×2÷24=5（厘米），又EF=15厘米，所以BC=10厘米，所以DE=60×2÷10=12（厘米），三角形DCE的面積=12×5÷2=30（平方厘米）。12．如圖所示，梯形ABCD中上底AB的長度是10厘米，梯形的高BE的長度是12厘米，且E是CD的中點，BF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，那么BF的長度是厘米。答案：13；解：取AB的中點G，連接EG，因為E、G分別為上、下底的中點，所以AG+DE=BG+CE，所以EG也把梯形分成面積相等的兩部分，所以三角形BEG的面積=三角形BEF的面積，即EF=BG，在直角三角形BEF中，EF=5厘米，BE=12厘米，根據(jù)勾股定理BF的長的平方等于122+52=169，所以BF=13厘米。13．如圖所示，ABCD是邊長為18厘米的正方形，M、N分別是AB邊和BC邊上的點，已知AM=2BM，CN=2NB，AN和CM相交于點O，則四邊形AOCD的面積是平方厘米。答案：243；解：連接OB，由于AM=2BM，CN=2NB，所以三角形AMO的面積=2×三角形MBO的面積，三角形MBO的面積=三角形NBO的面積，所以三角形AMO的面積=四邊形MBON的面積=18×6÷2÷2=27（平方厘米），同樣三角形CNO的面積=27平方厘米，所以四邊形AOCD的面積=正方形ABCD的面積–27×3=18×18–81=243（平方厘米）。14．如圖所示，甲、乙、丙三個正方形，它們的邊長分別是4厘米、6厘米、8厘米，乙的頂點在甲的中心點上，丙的一個頂點在乙的中心點上，并且甲和丙沒有交集，這三個正方形的覆蓋面積是多少？答案：103；解：由于乙的一個頂點在甲的中心，所以甲與乙重合的部分是甲的面積的四分之一，即4×4÷4=4（平方厘米）。同樣乙與丙重合的部分是乙的面積的四分之一，即6×6÷4=9（平方厘米）。于是覆蓋的面積是4×4+6×6+8×8–4–9=103（平方厘米）。15．校園有一塊長方形的地，長18米，寬12米，想種上紅花、黃花和綠草，一種設(shè)計方案如圖所示（除長方形四個頂點外，其余各點均為各邊中點），那么其中紅花的面積是平方米。答案：54；解：圖中紅花面積加上黃花面積等于長方形面積的一半，又紅花和黃花的面積相等，所以紅花面積=18×12÷4=54（平方米）。16．如圖所示，5×5的方格中，每個小方格的邊長為1厘米，A、B兩點在小方格的頂點上，現(xiàn)在要在小方格的頂點上確定一點C，連接AC、BC后，使得三角形ABC的面積最大，請在圖中標出C點，并求出最大面積為多少？答案：4平方厘米；解：要使三角形ABC的面積最大，因為AB的長固定，那么就是要求AB邊上的高盡可能大，顯然當另外一點在左上或右下方的兩個頂點時面積會大一些。若C點在右下角，則三角形的面積是3×3的正方形中去掉三個小三角形，面積是3×3–3×1÷2–2×1÷2–3×2÷2=3.5（平方厘米），若C點在左上角，則三角形的面積是3×4的長方形中去掉三個小三角形，面積是3×4–3×2÷2–2×1÷2–4×2÷2=4（平方厘米），所以當C點在左上角時，三角形ABC的面積最大為4平方厘米.17．用1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)作為下圖圖形的八條邊的長（單位：米），不同的組成有不同的面積，那么這個圖形的最大面積是多少？答案：50平方米；解：如圖，將圖中線段標為a、b、c、d、e、f、g、h，顯然a+b+c=d，要使圖形面積盡可能大，則取d=8，h=7，補足7×8的長方形，應(yīng)該使得陰影部分的面積盡可能小，即a×(g–f)+b×f盡可能小，取g–f=1，a和b取2和1，g=4，f=3，g–f=1，如圖組成所示的圖形，面積為7×8–2×1–1×4=50（平方米）。18．如圖所示，有A、B、C、D四塊大小一樣的正方形紙片放在一個大正方形紙盒中，它們之間互相疊合，已知露在外面的部分中，A的面積是144平方厘米，B的面積是96平方厘米，D的面積是84平方厘米，那么C露出部分的面積是平方厘米。答案：46.25；解：首先向左移動正方形B，使它有兩邊與大正方形的邊重合（如圖1），此時正方形B與正方形D露出的部分相等，均為(96+84)÷2=90(平方厘米)，所以此時正方形C露出的部分為90×90÷144=56.25（平方厘米），再計算圖2中，正方形B中E這一部分，H部分的面積是90–84=6（平方厘米），E、F兩部分的和是90平方厘米，所以G、H兩部分的和是144–90=54（平方厘米），所以E部分的面積是90÷(54÷6)=10（平方厘米），所以C露出的部分的面積是56.25–10=46.25（平方厘米）。19．桌面上放有四張大小不同的正方形紙片，邊長分別為2米、3米、4米、5米，若分別取走邊長為2米、3米、4米、5米的正方形紙片中的一個，則剩下的三