第22講數(shù)字最值

第二十二講數(shù)字最值1．再10□10□10□10□10的四個□中填入“+”、“–”、“×”、“÷”運算符號各一個，所組成的算式結果的最大值是。A．104B．109C．114D．119答案：B；解：先乘除，后加減。其中10×10=100，10÷10=1，在100、10、1之間填入“+”和“–”，顯然是100+10–1=109最大。2．有一個奇妙的國家，叫“一〇國”，他們只有1和0兩個數(shù)字。所以當遇到比較大的數(shù)時，他們就要用好多個1和0組合相加來表示。比如說12可以表示成三個數(shù)的和10+1+1，也可以不是成兩個數(shù)的和11+1，那么在“一〇國”，20120204最少用個數(shù)相加來表示。答案：4；解：其中的4最少用1+1+1+1表示，所以用4個數(shù)來表示為最少。如10110101+10010101+1+1。3．有7個各不相同的正整數(shù)，它們的平均數(shù)是100，講它們從小到大排列，前三個數(shù)的平均數(shù)是20，后三個數(shù)的平均數(shù)是200，最小的數(shù)最大是；最大的數(shù)最大是。答案：19；517；解：7個數(shù)的平均數(shù)是100，它們的和是700，前三個數(shù)的平均數(shù)是20，它們的和是60，后三個數(shù)的平均數(shù)是200，它們的和是600，所以第四個數(shù)是40.前三個數(shù)都小于40，和為60，比較接近的三個數(shù)是19、20、21，所以最小的數(shù)最大是19；后三個數(shù)的和為600，其中每個數(shù)都大于40，最小的是41，次小的是42，最大的數(shù)最大是600–41–42=517。4．A、B都是整數(shù)，A大于B，且A×B=2009，那么A–B的最大值是，最小值是。答案：2008；8；解：2009=1×2009=49×41=7×287，所以當2009=1×2009時，A–B的最大值是2008；當2009=49×41時，A–B的最小值是49–41=8。5．一個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和是17，而且各數(shù)位上的數(shù)字都不相同且不為0，符合條件的最小數(shù)是，最大數(shù)是。答案：89；74321；解：最小數(shù)是兩位數(shù)，且8+9=17，所以最小數(shù)是89；又各數(shù)位上的數(shù)字都不相同且不為0，所以有1+2+3+4+7=17，最多的是5個數(shù)字組成的五位數(shù)所以最大數(shù)是74321.6．從1234567891011121314151617…57585960中任意挑選100個數(shù)字刪去，請問留下來的數(shù)中，最大的數(shù)是。答案：99999785960；解：從1到60，一共有111個數(shù)字，刪去100個還有11個數(shù)字，要求數(shù)最大，因此盡量多選9，最多有可選6個9，先去掉123456789中的1~8這八個數(shù)字，再去掉10111212131516171819中前19個不是9的數(shù)字，……，去掉40414143444546474849中的19個不是9的數(shù)字，數(shù)一下，目前去掉了8+19+19+19+19=84個數(shù)字，余下的是999995051525354555657585960這27個數(shù)字，再去掉505152535455565這15個數(shù)字，余下的是999997585960最后去掉758當中的5，所得的數(shù)99999785960最合適。7．把1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字填入下面算式的九個方框中（每個數(shù)字只用一次），使得三個三位數(shù)相乘的積最大，最大值寫作××。□□□×□□□×□□□答案：941×852×763；解：“兩個數(shù)的和一定時，差越小乘積越大”。所以這三個三位數(shù)應該也是越接近越好，顯然把9、8、7分別放在百位，6、5、4放在十位，3、2、1作為個位，而且應該是941×852×763時乘積最大。8．10個各不相同的正整數(shù)排成一排，如果任意三個相鄰的數(shù)的和都大于20，這十個正整數(shù)的和的最小值是。答案：67；解：要求任意三個相鄰的數(shù)的和都大于20，則圖中第1、4、7、10格放的數(shù)要盡量接近，第2、5、8格中放的數(shù)盡量接近、第3、6、9格放的數(shù)盡量接近。要求這十個數(shù)的和最小，則取得數(shù)盡量小，把1、2、3、4放在a、d、g、j，不妨設d=4，使a+b+c=21，e+f+g=21，h+i+j=21，那么這10個數(shù)的和最小為4+3×21=67，下面就是一種構造方法。abcdefghij15154810312729．有20張卡片，每張上寫一個大于0的自然數(shù)，且任意9張上寫的自然數(shù)的和都不大于63，若稱寫有大于7的自然數(shù)的卡片為“龍卡”，問：這20張卡片中，“龍卡”最多有多少張？所有“龍卡”上寫的自然數(shù)的和的最大值是多少？答案：7；61；解：“龍卡”數(shù)字最小為8，如果有8張以上，則這8張的數(shù)字和就大于63了，所以最多有7張，如果恰好為7張而其余的都是1，則這樣的20張卡片可以成立；現(xiàn)在還是七張“龍卡”，其余的都為1。9張卡片中選7張“龍卡”和2張1，則這7張“龍卡”的數(shù)字和最大是63–2=61，可以寫5張9和2張8，同樣滿足條件，所以所有“龍卡”上的數(shù)字和最大是61。10．紅、黃、藍3種顏色的球分別有11、12、17個，每次操作可以將2個不同顏色的球換成2個第三種顏色的球，則再操作過程中，紅球至多有個。答案：39；解：小球的總數(shù)不變，而每次變化之后，黃球和籃球的數(shù)目之差要么不變，要么改變3，原來的黃球與藍球相差5，怎么操作之后它們的差都不會是0，，所以黃球和藍球的總和至少是1。按（紅、黃、藍）的順序寫小球的個數(shù)（11