()信號與系統(tǒng)課后習題與解答第一章

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦()信號與系統(tǒng)課后習題與解答第一章1-1分離推斷圖1-1所示各波形是延續(xù)時光信號還是離散時光信號，若是離散時光信號是否為數(shù)字信號？

圖1-1

圖1-2

解信號分類如下：

???

??

?

????--???--））（散（例見圖數(shù)字：幅值、時光均離））（延續(xù)（例見圖抽樣：時光離散，幅值離散））（延續(xù)（例見圖量化：幅值離散，時光））（續(xù)（例見圖模擬：幅值、時光均連延續(xù)信號d21c21b21a21圖1-1所示信號分離為（a）延續(xù)信號（模擬信號）；（b）延續(xù)（量化）信號；（c）離散信號，數(shù)字信號；（d）離散信號；

（e）離散信號，數(shù)字信號；（f）離散信號，數(shù)字信號。

1-2分離推斷下列各函數(shù)式屬于何種信號？（重復1-1題所示問）（1）)sin(teatω-；（2）nTe-；（3）)cos(πn；

（4）為隨意值）（00)sin(ωωn；

（5）2

21???

??。

解

由1-1題的分析可知：（1）延續(xù)信號；（2）離散信號；

（3）離散信號，數(shù)字信號；（4）離散信號；（5）離散信號。

1-3分離求下列各周期信號的周期T：（1）)30t(cos)10t(cos-；（2）j10te；

（3）2)]8t(5sin[；

（4）[]為整數(shù)）（n)TnTt(u)nTt(u)1(0

nn∑∞

=。

解推斷一個包含有多個不同頻率重量的復合信號是否為一個周期信號，需要考察各

重量信號的周期是否存在公倍數(shù)，若存在，則該復合信號的周期極為此公倍數(shù)；若不存在，則該復合信號為非周期信號。

（1）對于重量cos(10t)其周期5T1π=；對于重量cos(30t)，其周期15

T2π=。因為

5π

為21TT、的最小公倍數(shù)，所以此信號的周期5

Tπ

=

。

（2）由歐拉公式)t(jsin)t(cosetjωωω+=即)10t(jsin)10t(cosej10t+=

得周期5

102Tπ

π==。

（3）由于[])16t(cos2

252252)16t(cos125)8t(5sin2

-=-?=

所以周期8

162Tπ

π==。

（4）因為

原函數(shù)???+≤t，則122)2()(00000=??

?

??=?????-=-

-?∞

∞-tuttudtttuttδ（4）設(shè)00>t，則0)()2()(000=-=--?∞∞

-tudtttuttδ

（5）2)2()(2-=++?∞

∞--edtttetδ

（6）2

166sin6)6

()sin(+=?????+=

-

+?∞

∞-πππ

π

δdtttt（7）01)]()([0tjtjedtttteωωδδ-∞∞

=--?

此題的（3）、（4）兩小題還可用另一種辦法求解：

（3）沖激)(0tt-δ位于0t處，階越信號???

?

?-20ttu始于20t，因而

)(2)(000ttttutt-=??

?

?

?

-

-δδ則原式=1)(0=-?∞∞

-dtttδ

（4）沖激仍位于0t，而)2(0ttu-始于02t，也就是說在0t處，0)(0=-ttu，因而0)2()(00=--ttuttδ

則原式=00=?∞

∞

-dt

1-15電容1C和2C串聯(lián)，以階越電壓源)()(tEutv=串聯(lián)接入，試分離寫出回路中的電流)(ti，每個電容兩端電壓)()(21tvtvCC、的表達式。

1

C2

C+

-

)

(t

v圖

1-15)

(ti2

L)(2tiL圖1-16

解由題意可畫出如圖1-15所示的串聯(lián)電路，兩電容兩端的電壓分離為)()(21tvtvCC，，則回路電流

)()()(21212121tECCCCdttdvCCCCtiδ?+=+=其中，2121CCCC+為1C、2C的串聯(lián)等效電容值。

再由電容的電流和電壓關(guān)系，有

)()(1)(2

1211tuCCECdttiCtvt

C+==?∞-

)()(1)(2

1122tuCCECdttiCtvt

C+==?∞-

1-16電感1L與2L并聯(lián)，以階越電流源)()(tIuti=并聯(lián)接入，試分離寫出電感兩端電壓)(tv、每個電感支路電流)()(21titiLL、的表示式。

解由題意可畫出圖1-16所示并聯(lián)電路，兩條電感支路的電流分離為)(1tiL和)(2tiL，則電感兩端電壓

)()()(21212121tILLL

LdttdiLLLLtvδ?+=+=

其中2121LLL

L+為1L、2L的并聯(lián)等效電感值。

再由電感的電流和電壓關(guān)系，有

)()(1)(2

1211tuLLILdttvLtit

L?+==?∞-

)()(1)(2

112

2tuLLI

LdttvLtit

L?+=

=

?

∞

-

1-17分離指出下列各波形的直流重量等于多少？（1）全波整流)sin()(ttfω=；

（2）)(sin)(2ttfω=；（3）)sin()cos()(tttfωω+=；（4）升余弦)]cos(1[)(tKtfω+=。

解（1）)sin(tω的周期為ωπ2，)sin(tω的周期為ω

π

，因而)(tf的直流重量

π

πωπωπωω

πωπ

2)11(1)cos(1)sin()(1000==-===??tdttdttfTfTD

（2）)2cos(21

21)(sin)(2tttfωω-==因為)2cos(tω在一個周期內(nèi)的平均值為0，因而

)(tf的直流重量2

1

=Df。

（3）)(tf的兩個重量)cos(tω和)sin(tω的周期均為

ωπ2，因而的周期也為ωπ

2。但因為)cos(tω和)sin(tω在一個周期內(nèi)的均值都為0，所以)(tf的直流重量0=Df。（4）)(tf與（2）中)(tf類似，所以KfD=，理由同（2）。

1-18粗略繪出圖1-17所示各波形的偶重量和奇重量。(c)

圖1-17

(b)

2

12

-

解（a）信號)(tf的反褶)(tf-及其偶、奇重量)(tfe、)(tfo如圖1-18（a）、（b）、（c）所示。（a）

（b）

（c）

圖1-18

（b）由于)(tf是偶函數(shù)，所以)(tf只包含偶重量，沒有奇重量，即)()(tftfe=，0)(=tfo

（c）信號)(tf的反褶)(tf-及其偶、奇重量)(tfe、)(tfo如圖1-19（a）、（b）、（c）所示。

（a）

（b）

（c）

圖1-19

（d）信號)(tf的反褶)

(tf-及其偶、奇重量)(tfe、)(tfo如圖1-20（a）、（b）、（c）所示。（a）

（b）圖1-20

（c）

1-19繪出下列系統(tǒng)的仿真框圖：

（1）)()()()(100tedtdbtebtratrdtd==+；

（2）)()()()()(100122tedtd

btebtratrdtdatrdt

d+=++。

解（1）選取中間變量)(tq，使之與激勵滿足關(guān)系：)()()

(0tetqadt

tqd=+①將此式改寫成)()()

(0tqatedt

tqd-=，易畫出如圖1-21（a）所示的方框圖。再將①代

入原微分方程，有

[][])(')()(")(')](')("[)]()('[)()('1001001000tqbtqbatqbtqbtqatqbtqatqbtratr+++=+++=+對照兩邊，可以得到)(tq與)(tr之間的關(guān)系式：)(')()(10tqbtqbtr+=

將此關(guān)系式在圖1-21（a）中實現(xiàn)，從而得到系統(tǒng)的仿真框圖，如圖1-21（b）所示。

圖1-21

)

（a）（b）

（2）辦法同（1）。先取中間變量)(tq，使)(tq與)(te滿足：

)()()(')("01tetqatqatq=++②

將②式代入原微分方程后，易看出)(tq與)(tr滿足：

)(')()(10tqbtqbtr+=③將②、③式用方框圖實現(xiàn)，就得到如圖1-22所示的系統(tǒng)仿真框圖。

圖1-22

b-

1-20推斷下列系統(tǒng)是否為線性的、時不變的、因果的？

（1）dt

tdetr)

()(=；

（2）)()()(tutetr=；（3）)()](sin[)(tutetr=；（4）)1()(tetr-=；（5）)2()(tetr=；（6）)()(2tetr=；（7）ττdetrt

?∞-=)()(；

（8）ττdetrt?∞

-=5)()(。

解（1）因為

dt

tdetrtedt

tdetrte)

()()()

()()(2221

11=

→=→而dt

tdeCtrdttdeCtrCtrCteCteC)

()()()()()()(22211

22112211+=+→+所以系統(tǒng)是線性的。

當dt

tdetrte)

()()(=→，而激勵為)(0tte-時，響應(yīng)為

)()

()

()(0000ttrttdttdedtttde-=--=-所以系統(tǒng)是時不變的。

由dt

tdetr)

()(=可知，響應(yīng))(tr只與此時的輸入)(te有關(guān)，與這之前或之后的輸入都無

關(guān)，所以系統(tǒng)是因果的。（2）因為

)

()()()()

()()()(222111tutetrtetutetrte=→=→

而)()()()()()()()(221122112211trCtrCtuteCtuteCteCteC+=+→+所以系統(tǒng)是線性的。

因為當)1()1()(1--+=tutute時，)1()()(1--=tututr

而)2()()1()(12--=-=tututete時，)1()2()()(12-≠--=trtututr，

即當激勵延遲1個單位時，響應(yīng)并未延遲相同的時光單位，所以系統(tǒng)是時變的。由)()()(tutetr=可知，系統(tǒng)只與激勵的現(xiàn)在值有關(guān)，所以系統(tǒng)是因果的。（3）因為

)()](sin[)()()

()](sin[)()(222111tutetrtetutetrte=→=→

而

[])()](sin[)()](sin[)()()

()()()(sin)()()(2211221122112211tuteCtuteCtrCtrCtuteCtuteCtrteCteC+=+≠+=→+

所以系統(tǒng)是非線性的。當激勵為)(01tte-時，響應(yīng))()()](sin[)()](sin[)(00011ttrttuttetutetr-=--≠=所以系統(tǒng)是時變的。

由)()](sin[)(tutetr=可知，響應(yīng)只與激勵的現(xiàn)在值有關(guān)，所以系統(tǒng)是因果的。（4）因為

)1()()()

1()()(222111tetrtetetrte-=→-=→

而

)()()1()1()()()(221122112211trCtrCteCteCtrteCteC+=-+-=→+所以系統(tǒng)是線性的。

因為當)5.1()()(1--=tutute時，)1()5.0()(1--+=tututr

而當)2()5.0()5.0()(12=-=tututete時，)5.0()5.0()1()(12-≠--+=trtututr所以系統(tǒng)是時變的。

令)1()(tetr-=中0=t，則有，說)1()0(er=明響應(yīng)取決于未來值（0時刻輸出取決于1時刻輸入），所以系統(tǒng)是非因果的。（5）因為

)2()()()

2()()(222111tetrtetetrte=→=→

而

)()()

2()2()()(221122112211trCtrCteCteCteCteC+=+→+

所以系統(tǒng)是線性的

因為當)1()()(1--=tutute時，)5.0()()(1--=tututr

而當)2()1()1()(12=-=tututete)1()1()5.0()(12-≠=trtututr所以系統(tǒng)是時變的。

對于)2()(tetr=，令1=t，有)2()1(er=，即響應(yīng)先發(fā)生，激勵后浮現(xiàn)，所以系統(tǒng)是非因果的。（6）因為

)()()()

()()(2

2222111tetrtetetrte=→=→而

[])

()()()()()()(22112

22112211trCtrCteCteCtrteCteC+≠+=→+

所以系統(tǒng)是非線性的。因為)()()(2111tetrte=→

)()()()()(010212022ttrttetrttete-=-=→-=

所以系統(tǒng)是時不變的。

由)()(2tetr=知，輸出只與現(xiàn)在的輸入值有關(guān)，所以系統(tǒng)是因果的。（7）因為

τ

τττdetrtedetrtet

t

?

?

∞

-∞-=→=→)()()()()()(22

2

111

而

)()()()()()(221122112211trCtrCdeCdeCteCteCt

t+=+→+??∞

-∞

-τ

τττ

所以系統(tǒng)是線性的。

因為)()()()(00000ttrdaaedtrttet

tta

t-=??

→?-→-??∞--∞

-=-τττ

所以系統(tǒng)是時不變的。

由ττdetrt

?∞-=)()(可知，t時刻的輸出只與t時刻以及t時刻之前的輸入有關(guān)，所以系

統(tǒng)是因果的。

（8）因為

τ

τττdetrtedetrtet

t

??

∞

-∞-=→=→52225111)()()()()()(

而

)()()

)()()()()()(2211522511522112211trCtrCdeCdeCdeCeCteCteCt

t

t

+=+=+→+???∞

-∞

-∞

-τττττττ

所以系統(tǒng)是線性的。

因為)()()()()(0)(5550000ttrdaaedaaedtettettt

a

tt

-=≠??

→?-→-???-∞

-∞

-=-∞

-τττ

所以系統(tǒng)是時變的

對于ττdetrt

?∞

-=5)()(，令1=t，有ττder?∞

-=5

)()1(

即輸出與將來時刻的輸入有關(guān)，所以系統(tǒng)是非因果的。

1-21推斷下列系統(tǒng)是否是可逆的。若可逆，給出它的逆系統(tǒng)；若不行逆，指出訪該系統(tǒng)產(chǎn)生系統(tǒng)輸出的兩個輸入信號。（1）)5()(-=tetr；

（2）)()(tedtd

tr=；

（3）ττdetrt

?∞-=)()(；

（4）)2()(tetr=。

解（1）該系統(tǒng)可逆，且其逆系統(tǒng)為)5()(+=tetr

（2）該系統(tǒng)不行逆，由于當，,)()(2211CteCte==，（21CC≠且均為常數(shù)）時，)()(21trtr=，即不同的激勵產(chǎn)生相同的響應(yīng)，所以系統(tǒng)不行逆。

（3）該系統(tǒng)可逆。由于微分運算與積分運算式互逆的運算，所以其逆系統(tǒng)為

)()(tedt

d

tr=。

（4）該系統(tǒng)可逆，且其逆系統(tǒng)為)2

()(t

etr=。