(絕密)2022考研數(shù)學(xué)完整版及參考答案

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一、挑選題：1－8小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，惟獨(dú)一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

（1）設(shè)函數(shù)()yfx=具有二階導(dǎo)數(shù)，且()0,()0fxfx'''>>，x?為自變量x在點(diǎn)0x處的增量，dyy?與分離為()fx在點(diǎn)0x處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若0x?>，則（）

(A)0dyy++.

（20）（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)()fu在(0,)+∞

內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且zf

=滿足等式

222

20zz

xy

??+=??.（I）驗(yàn)證()

()0fufuu

'''+

=；（II）若(1)0,(1)1ff'==，求函數(shù)()fu的表達(dá)式.（21）（本題滿分12分）

已知曲線L的方程22

1

,

(0)4xttytt

?=+≥?=-?

（I）研究L的高低性；

（II）過點(diǎn)(1,0)-引L的切線，求切點(diǎn)00(,)xy，并寫出切線的方程；（III）求此切線與L（對(duì)應(yīng)于0xx≤的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.（22）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組

1234123412

341435131

xxxxxxxxaxxxbx+++=-??

++-=-??+++=?有3個(gè)線性無關(guān)的解.

（Ⅰ）證實(shí)方程組系數(shù)矩陣

A的秩()2rA=；

（Ⅱ）求,ab的值及方程組的通解.（23）（本題滿分9分）

設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣

A的各行元素之和均為3,向量()()TT

121,2,1,0,1,1αα=--=-是

線性方程組0Ax=的兩個(gè)解.(Ⅰ)求

A的特征值與特征向量；

(Ⅱ)求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣Λ,使得T

QAQ=Λ.

數(shù)學(xué)答案

1.A【分析】題設(shè)條件有顯然的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由()0,()0fxfx'''>>知，函數(shù)()fx單

調(diào)增強(qiáng)，曲線()yfx=凹向，作函數(shù)()yfx=的圖形如右圖所示，明顯當(dāng)0x?>時(shí)，

00d()d()0yyfxxfxx''?>==?>，故應(yīng)選(Ａ).

【評(píng)注】對(duì)于題設(shè)條件有顯然的幾何意義或所給函數(shù)圖形簡單繪出時(shí)，圖示法是求解此題的首選辦法.本題還可用拉格朗日定理求解：

0000()()(),yfxxfxfxxxxξξ'?=+?-=?，所以()fx'單調(diào)增強(qiáng)，即0()()ffxξ''>，又0x?>，

則

0()()d0yfxfxxyξ''?=?>?=>，即0dyy

時(shí)），故當(dāng)0axbπ=，則()fx單調(diào)增強(qiáng)，于是()()0fbfa>=，即

sin2cossin2cosbbbbaaaaππ++>++.

20利用復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算辦法求出2222,zzxy????代入22220zz

xy

??+=??即可得（I）.按常規(guī)方

法解（II）即可.

【詳解】（I）

設(shè)u=

((zzfufuxy??''==??

2

2

()()

z

fufu

x

?

'''

=+

?

()

22

3

22

222

()()

xy

fufu

xy

xy

'''

=?+?

+

+

，

()

222

3

222

222

()()

zyx

fufu

yxy

xy

?

'''

=?+?

?+

+

.

將

22

22

,

zz

xy

??

??

代入

22

22

zz

xy

??

+=

??

得

()

()0

fu

fu

u

'

''+=.

（II）令()

fup

'=，則

dd

ppu

p

upu

'+=?=-，兩邊積分得

1

lnlnln

puC

=-+，即1C

p

u

=，亦即1

()

C

fu

u

'=.

由(1)1

f'=可得11

C=.所以有1

()

fu

u

'=，兩邊積分得

2

()ln

fuuC

=+，

由(1)0

f=可得20

C=，故()ln

fuu

=.

【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型，著重考查多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及可降階方程的求解.

徹低類似例題見文登暑期輔導(dǎo)班《高等數(shù)學(xué)》第8講第1節(jié)【例8】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.336【例12.14】,P.337【例12.15】

21.【分析】（I）利用曲線高低的定義來判定；（II）先寫出切線方程，然后利用(1,0)

-

在切線上；（III）利用定積分計(jì)算平面圖形的面積.

【詳解】（I）由于

d

ddd422

d

2,421

d

ddd2

d

y

xyyt

t

tt

x

ttxtt

t

-

==-?===-

2

223

ddd1211

0,(0)

d

ddd2

d

yy

t

x

xtxttt

t

????

=?=-?=-

??

????

故曲線L當(dāng)0

t≥時(shí)是凸的.

（II）由（I）知，切線方程為

2

01(1)

yx

t

??

-=-+

?

??

，設(shè)2

00

1

xt=+，2

000

4

ytt

=-，

則2

20000241(2)tttt??-=-+

???

，即23

2

00004(2)(2)tttt-=-+

收拾得2

0000020(1)(2)01,2(ttttt+-=?-+=?=-舍去）.

將0

1t=代入?yún)?shù)方程，得切點(diǎn)為（2，3），故切線方程為

231(2)1yx??

-=--???

，即1yx=+.

（III）由題設(shè)可知，所求平面圖形如下圖所示，其中各點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(2,0),(2,3),(1,0)ABCD-，設(shè)L的方程()xgy=，則()3

0()(1)dS

gyyy=--???

??由參數(shù)方程可得

2t=

(2

21x=+.

由

于

（

2

，

3）在L上，

則

(

2

()219xgyy==+=--.于是

(30

9(1)dSyyy??=?

?

?

30

(102)d4yyy=--??

()()3

2

3320

87

10433

yyy=-+-=.【評(píng)注】本題為基本題型，第3問求平面圖形的面積時(shí)，要將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程求解.

徹低類似例題和公式見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.187【例6.40】.22.【分析】（I）按照系數(shù)矩陣的秩與基礎(chǔ)解系的關(guān)系證實(shí)；（II）利用初等變換求矩陣A的秩確定參數(shù),ab，然后解方程組.

【詳解】（I）設(shè)123,,ααα是方程組Axβ=的3個(gè)線性無關(guān)的解，其中

111114351,1131Aabβ-??????=-=-????????

.

則有1213()0,()0AAαααα-=-=.

則

1213,αααα--是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組0Ax=的解，且線性無關(guān).

（否則，易推出

123,,ααα線性相關(guān)，沖突）.

所以()2nrA-≥，即4()2()2rArA-≥?≤.又矩陣

A中有一個(gè)2階子式

11

1043

=-≠，所以()2rA≤.因此()2rA=.（II）由于

11111111111143510115011513013004245Aabaabaaba??????

???=-→--→--??????+-??????

.

又()2rA=，則

4202

4503

aa

bab-==????

?+-==-??.對(duì)原方程組的增廣矩陣A施行初等行變換，

111111024243511011532133100000A--??????=--→--????-????

，

故原方程組與下面的方程組同解.1342

34242

53xxxxxx=-++??

=--?.

選34,xx為自由變量，則

134234

3344

24253xxxxxxxxxx=-++??=--??

=??=?.故所求通解為

12242153

100010xkk-?????????--???=++????????????

，12,kk為隨意常數(shù).

【評(píng)注】本題綜合考查矩陣的秩，初等變換，方程組系數(shù)矩陣的秩和基礎(chǔ)解系的關(guān)系

以及方程組求解等多個(gè)學(xué)問點(diǎn)，特殊是第一部分比較新穎.這是考查綜合思維能力的一種重要表現(xiàn)形式，今后類似問題將會(huì)越來越多.

徹低類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類）P.427【例4.5】，P.431【例4.11】.23.解：由矩陣

A的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣A的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的

特征向量；由齊次線性方程組0Ax=有非零解可知A必有零特征值，其非零解是0特征值

所對(duì)應(yīng)的特征向量.將

A的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣Q.

【詳解】(Ⅰ)由于矩陣

A的各行元素之和均為3，所以

1311331131A?????????

==????????????

，

則由特征值和特征向量的定義知，3λ=是矩陣

A的特征值，T

(1,1,1)α=是對(duì)應(yīng)