(整理)大學(xué)物理馬文蔚第一章答案

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦(整理)大學(xué)物理馬文蔚第一章答案.第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1-1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位矢為r,速度為v,速率為v,t至(t＋Δt)時(shí)光內(nèi)的位移為Δr,路程為Δs,位矢大小的變化量為Δr(或稱Δ｜r｜),平均速度為v,平均速率為v．

(1)按照上述狀況,則必有()

(A)｜Δr｜=Δs=Δr

(B)｜Δr｜≠Δs≠Δr,當(dāng)Δt→0時(shí)有｜dr｜=ds≠dr

(C)｜Δr｜≠Δr≠Δs,當(dāng)Δt→0時(shí)有｜dr｜=dr≠ds

(D)｜Δr｜≠Δs≠Δr,當(dāng)Δt→0時(shí)有｜dr｜=dr=ds

(2)按照上述狀況,則必有()

(A)｜v｜=v,｜v｜=v(B)｜v｜≠v,｜v｜≠v

(C)｜v｜=v,｜v｜≠v(D)｜v｜≠v,｜v｜=v

分析與解(1)質(zhì)點(diǎn)在t至(t＋Δt)時(shí)光內(nèi)沿曲線從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示,其中路程Δs＝PP′,位移大?。｜＝PP′,而Δr＝｜r｜-｜r｜表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量,三個(gè)量的物理含義不同,在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能)．但當(dāng)Δt→0時(shí),點(diǎn)P′無限趨近P點(diǎn),則有｜dr｜＝ds,但卻不等于dr．故選(B)．

(2)因?yàn)椋｜≠Δs,故t

stΔΔΔΔ≠r,即｜v｜≠v．但因?yàn)椋黡r｜＝ds,故t

stdddd=r,即｜v｜＝v．由此可見,應(yīng)選(C)．1-2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r(x,y)的端點(diǎn)處,對(duì)其速度的大小有四種意見,即(1)trdd；(2)tddr；(3)tsdd；(4)22dddd??

???+?????tytx．下述推斷正確的是()

(A)惟獨(dú)(1)(2)正確(B)惟獨(dú)(2)正確

(C)惟獨(dú)(2)(3)正確(D)惟獨(dú)(3)(4)正確

分析與解

t

rdd表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)光的變化率,在極坐標(biāo)系中叫徑向速率．通常用符號(hào)vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)重量；tddr表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式tsdd=v計(jì)算,在直角坐標(biāo)系中則可由公式2

2dddd??

???+?????=tytxv求解．故選(D)．1-3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),r表示位置矢量,v表示速度,a表示加速度,s表示路程,aｔ表示切向加速度．對(duì)下列表達(dá)式,即

(1)dv/dt＝a；(2)dr/dt＝v；(3)ds/dt＝v；(4)dv/dt｜＝aｔ．

下述推斷正確的是()

(A)惟獨(dú)(1)、(4)是對(duì)的(B)惟獨(dú)(2)、(4)是對(duì)的

(C)惟獨(dú)(2)是對(duì)的(D)惟獨(dú)(3)是對(duì)的

分析與解

t

ddv表示切向加速度aｔ,它表示速度大小隨時(shí)光的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個(gè)重量,起轉(zhuǎn)變速度大小的作用；trdd在極坐標(biāo)系中表示徑向速率vr(如題1-2所述)；t

sdd在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率v；而tddv表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此惟獨(dú)(3)式表達(dá)是正確的．故選(D)．

1-4一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則有()

(A)切向加速度一定轉(zhuǎn)變,法向加速度也轉(zhuǎn)變

(B)切向加速度可能不變,法向加速度一定轉(zhuǎn)變

(C)切向加速度可能不變,法向加速度不變

(D)切向加速度一定轉(zhuǎn)變,法向加速度不變

分析與解加速度的切向重量aｔ起轉(zhuǎn)變速度大小的作用,而法向重量an起轉(zhuǎn)變速度方向的作用．質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),因?yàn)樗俣确较虿粩噢D(zhuǎn)變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷轉(zhuǎn)變,因而法向加速度是一定轉(zhuǎn)變的．至于aｔ是否轉(zhuǎn)變,則要視質(zhì)點(diǎn)的速率狀況而定．質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),aｔ恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),aｔ為一不為零的恒量,當(dāng)aｔ轉(zhuǎn)變時(shí),質(zhì)點(diǎn)則作普通的變速率圓周運(yùn)動(dòng)．由此可見,應(yīng)選(B)．

*1-5如圖所示,湖中有一小船,有人用繩繞過岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運(yùn)動(dòng)．設(shè)該人以勻速率v0收繩,繩不伸長且湖水靜止,小船的速率為v,則小船作()

(A)勻加速運(yùn)動(dòng),θ

cos0vv=(B)勻減速運(yùn)動(dòng),θcos0vv=

(C)變加速運(yùn)動(dòng),θ

cos0vv=

(D)變減速運(yùn)動(dòng),θcos0vv=

(E)勻速直線運(yùn)動(dòng),0vv=

分析與解本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達(dá)式,進(jìn)而推斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì)．為此建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)定滑輪距水面高度為h,t時(shí)刻定滑輪距小船的繩長為l,則小船的運(yùn)動(dòng)方程為

22hlx-=,其中繩長l隨時(shí)光t而變化．小船速度22ddddhltl

l

tx-==v,式中tldd表示繩長l隨時(shí)光的變化率,其大小即為v0,代入收拾后為θlhlcos/0220vvv=-=

,方向沿x軸負(fù)向．由速度表達(dá)式,可推斷小船作變加速運(yùn)動(dòng)．故選(C)．

研究有人會(huì)將繩子速率v0按x、y兩個(gè)方向分解,則小船速度θcos0vv=,這樣做對(duì)嗎？

1-6已知質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為32262ttx-+=,式中x的單位為m,t的單位為s．求：

(1)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)開頭后4.0s內(nèi)的位移的大??；

(2)質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)光內(nèi)所通過的路程；

(3)t＝4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度．

分析位移和路程是兩個(gè)徹低不同的概念．惟獨(dú)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不轉(zhuǎn)變時(shí),位移的大小才會(huì)與路程相等．質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)光內(nèi)的位移Δx的大小可直接由運(yùn)動(dòng)方程得到：0Δxxxt-=,而在求路程時(shí),就必需注重到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中可能轉(zhuǎn)變運(yùn)動(dòng)方向,此時(shí),位移的大小和路程就不同了．為此,需按照0dd=t

x來確定其運(yùn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)變的時(shí)刻tp,求出0～tp和tp～t內(nèi)的位移大小Δx1、Δx2,則t時(shí)光內(nèi)的路程21xxs?+?=,如圖所示,至于t＝4.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度可用t

xdd和22ddtx兩式計(jì)算．解(1)質(zhì)點(diǎn)在4.0s內(nèi)位移的大小

m32Δ04-=-=xxx

(2)由

0dd=t

x得知質(zhì)點(diǎn)的換向時(shí)刻為s2=pt(t＝0不合題意)

則

m0.8Δ021=-=xxx

m40Δ242-=-=xxx

所以,質(zhì)點(diǎn)在4.0s時(shí)光間隔內(nèi)的路程為

m48ΔΔ21=+=xxs

(3)t＝4.0s時(shí)

1s

0.4sm48dd-=?-==ttxv2s

0.422m.s36dd-=-==ttxa1-7一質(zhì)點(diǎn)沿x軸方向作直線運(yùn)動(dòng),其速度與時(shí)光的關(guān)系如圖(a)所示．設(shè)t＝0時(shí),x＝0．試按照已知的v-t圖,畫出a-t圖以及x-t圖．

分析按照加速度的定義可知,在直線運(yùn)動(dòng)中v-t曲線的斜率為加速度的大小(圖中AB、CD段斜率為定值,即勻變速直線運(yùn)動(dòng)；而線段BC的斜率為0,加速度為零,即勻速直線運(yùn)動(dòng))．加速度為恒量,在a-t圖上是平行于t軸的直線,由v-t圖中求出各段的斜率,即可作出a-t圖線．又由速度的定義可知,x-t曲線的斜率為速度的大?。虼?勻速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x-t圖應(yīng)是向來線,而勻變速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x–t圖為t的二次曲線．按照各段時(shí)光內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程x＝x(t),求出不同時(shí)刻t的位置x,采納描數(shù)據(jù)點(diǎn)的辦法,可作出x-t圖．

解將曲線分為AB、BC、CD三個(gè)過程,它們對(duì)應(yīng)的加速度值分離為

2sm20-?=--=

A

BABABttavv(勻加速直線運(yùn)動(dòng))

0=BCa(勻速直線運(yùn)動(dòng))

2sm10-?-=--=C

DCDCDttavv(勻減速直線運(yùn)動(dòng))按照上述結(jié)果即可作出質(zhì)點(diǎn)的a-t圖［圖(B)］．

在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中,有

202

1ttxx++=v由此,可計(jì)算在0～2ｓ和4～6ｓ時(shí)光間隔內(nèi)各時(shí)刻的位置分離為

用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖辦法,由表中數(shù)據(jù)可作0～2ｓ和4～6ｓ時(shí)光內(nèi)的x-t圖．在2～4ｓ時(shí)光內(nèi),質(zhì)點(diǎn)是作1sm20-?=v的勻速直線運(yùn)動(dòng),其x-t圖是斜率k＝20的一段直線［圖(c)］．

1-8已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為jir)2(22tt-+=,式中r的單位為m,t的單位為ｓ．求：

(1)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；

(2)t＝0及t＝2ｓ時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位矢；

(3)由t＝0到t＝2ｓ內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移Δr和徑向增量Δr；

*(4)2ｓ內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所走過的路程s．

分析質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為y＝f(x),可由運(yùn)動(dòng)方程的兩個(gè)重量式x(t)和y(t)中消去t即可得到．對(duì)于r、Δr、Δr、Δs來說,物理含義不同,可按照其定義計(jì)算．其中對(duì)s的求解用到積分辦法,先在軌跡上任取一段微元ds,則22)d()d(dyxs+=,最后用?=ssd積分求ｓ．

解(1)由x(t)和y(t)中消去t后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為

2412xy-=這是一個(gè)拋物線方程,軌跡如圖(a)所示．

(2)將t＝0ｓ和t＝2ｓ分離代入運(yùn)動(dòng)方程,可得相應(yīng)位矢分離為

jr20=,jir242-=

圖(a)中的P、Q兩點(diǎn),即為t＝0ｓ和t＝2ｓ時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置．

(3)由位移表達(dá)式,得

jijirrr24)()(Δ020222-=-+-=-=yyxx其中位移大小m66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=yxr而徑向增量m47.2ΔΔ2022222202=+-+=

-==yxyxrrrr*(4)如圖(B)所示,所求Δs即為圖中PQ段長度,先在其間隨意處取AB微元ds,則

22)d()d(dyxs+=,由軌道方程可得xxyd2

1d-=,代入ds,則2ｓ內(nèi)路程為m91.5d4d402=+==??xxssQP

1-9質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

23010ttx+-=

22022tty-=

式中x,y的單位為m,t的單位為ｓ．

試求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向．

分析由運(yùn)動(dòng)方程的重量式可分離求出速度、加速度的重量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向．

解(1)速度的重量式為

tt

xx6010dd+-==vtt

yy4015dd-==v當(dāng)t＝0時(shí),vox＝-10m·ｓ-1,voy＝15m·ｓ-1,則初速度大小為120220sm0.18-?=+=yxvvv

設(shè)vo與x軸的夾角為α,則

2

3tan00-==xy

αvvα＝123°41′

(2)加速度的重量式為

2sm60dd-?==t

axxv,2sm40dd-?-==tayyv則加速度的大小為

22

2sm1.72-?=+=yxaaa

設(shè)a與x軸的夾角為β,則

3

2tan-==xyaaββ＝-33°41′(或326°19′)

1-10一升降機(jī)以加速度1.2

2m·ｓ-2升高,當(dāng)升高速度為2.44m·ｓ-1時(shí),有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫,天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m．計(jì)算：(1)螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)光；(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離．

分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀況下,一種處理辦法是取地面為參考系,分離研究升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng),列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y1＝y(tǒng)1(t)和y2＝y(tǒng)2(t),并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問題即可解；另一種辦法是取升降機(jī)(或螺絲)為參考系,這時(shí),螺絲(或升降機(jī))相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng),但是,此加速度應(yīng)當(dāng)是相對(duì)加速度．升降機(jī)廂的高度就是螺絲(或升降機(jī))運(yùn)動(dòng)的路程．

解1(1)以地面為參考系,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分離為

2022

1atty+=v2022

1gtthy-+=v當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有y1＝y(tǒng)2,即

20222

121gtthatt-+=+vvs705.02=+=a

ght(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為m716.021202=+

-=-=gttyhdv解2(1)以升降機(jī)為參考系,此時(shí),螺絲相對(duì)它的加速度大小a′＝g＋a,螺絲落至底面時(shí),有

2)(2

10tagh+-=s705.02=+=a

ght(2)因?yàn)樯禉C(jī)在t時(shí)光內(nèi)升高的高度為

202

1atth+='v則m716.0='-=hhd

1-11一質(zhì)點(diǎn)P沿半徑R＝3.0m的圓周作勻速率運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)一周所需時(shí)光為20.0ｓ,設(shè)t＝0時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于O點(diǎn)．按(a)圖中所示Oxy坐標(biāo)系,求(1)質(zhì)點(diǎn)P在隨意時(shí)刻的位矢；(2)5ｓ時(shí)的速度和加速度．

分析該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題,即已知運(yùn)動(dòng)方程r＝r(t)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在確定運(yùn)動(dòng)方程時(shí),若取以點(diǎn)(0,3)為原點(diǎn)的O′x′y′坐標(biāo)系,并采納參數(shù)方程x′＝x′(t)和y′＝y(tǒng)′(t)來表示圓周運(yùn)動(dòng)是比較便利的．然后,運(yùn)用坐標(biāo)變換x＝x0＋x′和y＝y(tǒng)0＋y′,將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy坐標(biāo)系中,即得Oxy坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P在隨意時(shí)刻的位矢．采納對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)的辦法可得速度和加速度．

解(1)如圖

(B)所示,在O′x′y′坐

標(biāo)系中,因

tT

θπ2=,則質(zhì)點(diǎn)P的參數(shù)方程為tT

Rxπ2sin

=',tT

Ryπ2cos-='坐標(biāo)變換后,在

Oxy坐標(biāo)系中有

tTRxxπ2sin

='=,RtT

Ryyy+-=+'=π2cos

0則質(zhì)點(diǎn)P的位矢方程為

jir?????+-+=RtTRtTRπ2cosπ2sinji)]π1.0(cos1[3)π1.0(sin3tt-+=

(2)5ｓ時(shí)的速度和加速度分離為

jjir)smπ3.0(π2sinπ2π2cosπ2dd1-?=+==tT

TRtTTRtvijira)smπ03.0(π2cos)π2(π2sin)π2(dd222222-?-=+-==tT

TRtTTRt1-12地面上垂直直立一高20.0m的旗桿,已知正午時(shí)分太陽在旗桿的正上方,求在下午2∶00時(shí),桿頂在地面上的影子的速度的大?。诤螘r(shí)刻桿影舒展至20.0m？

分析為求桿頂在地面上影子速度的大小,必需建立影長與時(shí)光的函數(shù)關(guān)系,即影子端點(diǎn)的位矢方程．按照幾何關(guān)系,影長可通過太陽光芒對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度求得．因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,太陽光芒對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度．這樣,影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得．

解設(shè)太陽光芒對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω,從正午時(shí)分開頭計(jì)時(shí),則桿的影長為s＝htgωt,下午2∶00時(shí),桿頂在地面上影子的速度大小為

132sm1094.1cosdd--??===t

ωωhtsv當(dāng)桿長等于影長時(shí),即s＝h,則s606034πarctan1??===

ωhsωt即為下午3∶00時(shí)．

1-13質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),加速度a＝4-t

2,式中a的單位為m·ｓ-2,t的單位為ｓ．假如當(dāng)t＝3ｓ時(shí),x＝9m,v＝2m·ｓ-1,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程．

分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)其次類問題,即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程,必需在給定條件下用積分辦法解決．由taddv=和t

xdd=v可得tadd=v和txddv=．如a＝a(t)或v＝v(t),則可兩邊直接積分．假如a或v不是時(shí)光t的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過諸如分別變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分．

解由分析知,應(yīng)有

??

=tta0dd0vvv得03314vv+-=tt(1)

由??=t

x

xtx0dd0v得004212

12xtttx++-=v(2)將t＝3ｓ時(shí),x＝9m,v＝2m·ｓ-1代入(1)(2)得v0＝-1m·ｓ-1,x0＝0.75m．于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為

75.012

1242+-=ttx1-14一石子從空中由靜止下落,因?yàn)榭諝庾枇?石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng),現(xiàn)測得其加速度a＝A-Bv,式中A、B為正恒量,求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程．

分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)其次類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv＝a(v)dt分別變量為tad)

(d=vv后再兩邊積分．解選取石子下落方向?yàn)閥軸正向,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)由題意知vvBAta-==

dd(1)用分別變量法把式(1)改寫為

tBAdd=-v

v(2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有

??

=-ttBA0ddd0vvvvv得石子速度)1(BteBA--=

v由此可知當(dāng),t→∞時(shí),BA→

v為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度．(2)再由)1(ddBteB

Aty--==v并考慮初始條件有teB

AytBtyd)1(d00??--=得石子運(yùn)動(dòng)方程

)1(2-+=-BteBAtBAy1-15一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度a＝6i＋4j,式中a的單位為m·ｓ-2．在t＝0時(shí),其速度為零,位置矢量r0＝10mi．求：(1)在隨意時(shí)刻的速度和位置矢量；(2)質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面上的軌跡方程,并畫出軌跡的暗示圖．

分析與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),按照疊加原理,求解時(shí)需按照加速度的兩個(gè)重量ax和ay分離積分,從而得到運(yùn)動(dòng)方程r的兩個(gè)重量式x(t)和y(t)．因?yàn)楸绢}中質(zhì)點(diǎn)加速

度為恒矢量,故兩次積分后所得運(yùn)動(dòng)方程為固定形式,即2022

1tatxxxx++=v和2022

1tatyyyy++=v,兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)．讀者不妨自己驗(yàn)證一下．解由加速度定義式,按照初始條件t0＝0時(shí)v0＝0,積分可得

???

+==tttt000)d46(ddjiavvjitt46+=v又由t

ddr=v及初始條件t＝0時(shí),r0＝(10m)i,積分可得???+==t

trrtttt00)d46(dd0jirvjir222)310(tt++=

由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的重量式,即

x＝10＋3t2

y＝2t2

消去參數(shù)t,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程

3y＝2x-20m這是一個(gè)直線方程．直線斜率3

2tandd===αxyk,α＝33°41′．軌跡如圖所示．1-16一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓周上以恒定的速率運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B,OA和OB所對(duì)的圓心角為Δθ．(1)試證位置A和B之間的平均加速度為

)Δ(/)Δcos1(22θRθav-=；(2)當(dāng)Δθ分離等于90°

、30°、10°和1°時(shí),平均加速度各為多少？并對(duì)結(jié)果加以研究．

分析瞬時(shí)加速度和平均加速度的物理含義不同,它們分離表示為t

ddv=a和t

ΔΔv=a．在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中,它們的大小分離為Ran2v=,taΔΔv=,式中｜Δv｜可由圖(B)中的幾何關(guān)系得到,而Δt可由轉(zhuǎn)過的角度Δθ求出．

由計(jì)算結(jié)果能清晰地看到兩者之間的關(guān)系,即瞬時(shí)加速度是平均加速度在Δt→0時(shí)的極限值．

解(1)由圖(b)可看到Δv＝v2-v1,故

θΔcos2Δ212221vvvv-+=v

)Δcos1(2θ-=v

而

v

vθRstΔΔΔ==

所以θ

RθtaΔ)cosΔ1(2ΔΔ2

v-==v

(2)將Δθ＝90°,30°,10°,1°分離代入上式,

得

Ra219003.0v≈,R

a2

29886.0v≈Ra239987.0v≈,R

a2

4000.1v≈以上結(jié)果表明,當(dāng)Δθ→0時(shí),勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的平均加速度趨近于一極限值,該值即為法向加速度R

2

v．1-17質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為r＝2.0ti＋(19.0-2.0t2)j,式中r的單位為m,t的單位為s．求：(1)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；(2)在t1＝1.0s到t2＝2.0s時(shí)光內(nèi)的平均速度；(3)t1＝1.0ｓ時(shí)的速度及切向和法向加速度；(4)t＝1.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑ρ．

分析按照運(yùn)動(dòng)方程可直接寫出其重量式x＝x(t)和y＝y(tǒng)(t),從中消去參數(shù)t,即得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程．平均速度是反映質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)光內(nèi)位置的變化率,即tΔΔr=

v,它與時(shí)光間隔Δt的大小有關(guān),當(dāng)Δt→0時(shí),平均速度的極限即瞬時(shí)速度t

ddr=v．切向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)下的分矢量aｔ和an,前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率,即ttt

eaddv=,后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方向的變化,它可由總加速度a和aｔ得到．在求得t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向加

速度的大小后,可由公式ρ

an2

v=求ρ．解(1)由參數(shù)方程

x＝2.0t,y＝19.0-2.0t2

消去t得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：

y＝19.0-0.50x2

(2)在t1＝1.00ｓ到t2＝2.0ｓ時(shí)光內(nèi)的平均速度

jirr0.60.2ΔΔ1

212-=--==tttrv(3)質(zhì)點(diǎn)在隨意時(shí)刻的速度和加速度分離為

jijijitt

ytxtyx0.40.2dddd)(-=+=+=vvvjjia222220.4dddd)(-?-=+=smt

ytxt則t1＝1.00ｓ時(shí)的速度

v(t)｜t＝1ｓ＝2.0i-4.0j

切向和法向加速度分離為

ttyxtttt

teeea222s1sm58.3)(dddd-=?=+==vvvnntnaaeea222sm79.1-?=-=

(4)t＝1.0ｓ質(zhì)點(diǎn)的速度大小為

12

2sm47.4-?=+=yxvvv則m17.112

==n

aρv1-18飛機(jī)以100m·ｓ-1的速度沿水平直線飛翔,在離地面高為100m時(shí),駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標(biāo)處,問：(1)此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？(2)投放物品時(shí),駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？(3)物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？

分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng)．忽視空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)自立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)．到達(dá)地面目標(biāo)時(shí),兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)光是相同的．因此,分離列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)光相等的條件,即可求解．

此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中只存在豎直向下的重力加速度．為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角α或β．由圖可知,在特定時(shí)刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角α,可由此時(shí)刻的兩速度重量vx、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g的切向和法向重量求得．

解(1)取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分離為

x＝vt,y＝1/2gt2

飛機(jī)水平飛翔速度v＝100m·s-1,飛機(jī)離地面的高度y＝100m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離

m4522==g

yxv

(2)視線和水平線的夾角為o5.12arctan

==xyθ

(3)在隨意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為

v

vvgtαxy

arctanarctan==取自然坐標(biāo),物品在拋出2s時(shí),重力加速度的切向重量與法向重量分離為

2sm88.1arctansinsin-?=????

?==vgtgαgat2sm62.9arctancoscos-?=????

?==vgtgαgan1-19如圖(a)所示,一小型迫擊炮架設(shè)在一斜坡的底端O處,已知斜坡傾角為α,炮身與斜坡的夾角為β,炮彈的出口速度為v0,忽視空氣阻力．求：(1)炮彈落地點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離OP；

(2)欲使炮彈能垂直擊中坡面．證實(shí)α和β必需滿足α

βtan21tan=并與v0無關(guān)．分析這是一個(gè)斜上拋運(yùn)動(dòng),看似容易,但針對(duì)題目所問,如不能靈便運(yùn)用疊加原理,建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將運(yùn)動(dòng)分解的話,求解起來并不簡單．現(xiàn)建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,則炮彈在x和y兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng),其初速度分離為v0cosβ和v0sinβ,其加速度分離為gsinα和gcosα．在此坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí),應(yīng)有y＝0,則x＝OP．如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足vx＝0,直接列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程和速度方程,即可求解．因?yàn)楸绢}中加速度g為恒矢量．故第一問也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算,即20g2

1tt+=vr,做出炮彈落地時(shí)的矢量圖［如圖(B)所示］,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得OP(即圖中的r矢量)．

(1)解1由分析知,炮彈在圖(a)所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方程為

αgtβtxsin2

1cos20-

=v(1)αgtβtycos21sin20-=v(2)令y＝0求得時(shí)光t后再代入式(1)得

)cos(cossin2)sinsincos(coscossin2220220βαα

gββαβααgβxOP+=-==vv解2做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖,如圖(b)所示,并利用正弦定理,有

βgtαtβαsin212πsin2πsin20=??

???+=?????--vr從中消去t后也可得到同樣結(jié)果．

(2)由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y＝0和vx＝0,則

0sincos0=-=αgtβxvv(3)

由(2)(3)兩式消去t后得

α

βsin21tan=由此可知．只要角α和β滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0的大小無關(guān)．

研究如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按水平和豎直兩個(gè)方向分解,求解本題將會(huì)比較困難,有愛好讀者不妨自己體驗(yàn)一下．

1-20向來立的雨傘,張開后其邊緣圓周的半徑為R,離地面的高度為h,(1)當(dāng)傘繞傘柄以勻角速ω旋轉(zhuǎn)時(shí),求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上半徑為gωhRr/212+=的圓周上；

(2)讀者能否由此定性構(gòu)想一種草坪上或農(nóng)田澆灌用的旋轉(zhuǎn)式灑水器的計(jì)劃？

分析選定傘邊緣O處的雨滴為討論對(duì)象,當(dāng)傘以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí),雨滴將以速度v沿切線方向飛出,并作平拋運(yùn)動(dòng)．建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系,即可求證．由此可以想像假如讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有無數(shù)小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會(huì)落在半徑不同的圓周上,為保證勻稱噴灑對(duì)噴頭上小孔的分布還要賦予細(xì)心的考慮．

解(1)如圖(a)所示坐標(biāo)系中,雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為

tωRtx==v

(1)

hgty==22

1(2)由式(1)(2)可得ghωRx222

2=由圖(a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為

22221ωg

hRRxr+=+=(2)常用草坪噴水器采納如圖(b)所示的球面噴頭(θ0＝45°)其上有大量小孔．噴頭旋轉(zhuǎn)時(shí),水滴以初速度v0從各個(gè)小孔中噴出,并作斜上拋運(yùn)動(dòng),通常噴頭表面基本上與草坪處在同一水平面上．則以φ角噴射的水柱射程為

g

R2sin0v=為使噴頭周圍的草坪能被勻稱噴灑,噴頭上的小孔數(shù)不但無數(shù),而且還不能勻稱分布,這是噴頭設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問題．

1-21一足球運(yùn)動(dòng)員在正對(duì)球門前25.0m處以20.0m·ｓ-1的初速率罰隨意球,已知球門高為3.44m．若要在垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足球直接踢進(jìn)球門,問他應(yīng)在與地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球？(足球可視為質(zhì)點(diǎn))

分析被踢出后的足球,在空中作斜拋運(yùn)動(dòng),其軌跡方程可由質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程得到．因?yàn)樗骄嚯xx已知,球門高度又限定了在y方向的范圍,故只需將x、y值代入即可求出．

解取圖示坐標(biāo)系Oxy,由運(yùn)動(dòng)方程

θtxcosv=,22

1singtθty-

=v消去t得軌跡方程

222)tan1(2tanxθgθxy+-=v

以x＝25.0m,v＝20.0m·ｓ-1及3.44m≥y≥0代入后,可解得

71．11°≥θ1≥69．92°

27．92°≥θ2≥18．89°

如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對(duì)應(yīng)有兩個(gè)不同的投射傾角(如圖所示)．假如以θ＞71．11°或θ＜18.89°踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門；因?yàn)榍蜷T高度的限制,θ角也并非能取71.11°與18.89°之間的任何值．當(dāng)傾角取值為27.92°＜θ＜69．92°時(shí),踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去,這時(shí)球也不能射入球門．因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果．

1-2

2一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按邏輯202

1btts-=v運(yùn)動(dòng),v0、b都是常量．(1)求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；(2)t為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b？(3)當(dāng)加速度達(dá)到b時(shí),質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？

分析在自然坐標(biāo)中,s表示圓周上從某一點(diǎn)開頭的曲線坐標(biāo)．由給定的運(yùn)動(dòng)方程s＝s(t),對(duì)時(shí)光t求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v和加速度的切向重量aｔ,而加速度的法向重量為an＝v2/R．這樣,總加速度為a＝aｔeｔ＋anen．至于質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)光內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標(biāo)的轉(zhuǎn)變量Δs＝st-s0．因圓周長為2πR,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得．

解(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為

btt

s-==0ddvv其加速度的切向重量和法向重量分離為

btsat-==22dd,R

btRan2

02)(-==vv故加速度的大小為

R)(4

02222

btbaaaatt

n-+=+=v其方向與切線之間的夾角為

?????

?--==Rbbtaaθtn20)(arctanarctanv(2)要使｜a｜＝b,由bbtbRR

=-+4022)(1v可得b

t0v=(3)從t＝0開頭到t＝v0/b時(shí),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為

bssst2200v=-=

因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為

bR

Rsnπ4π220v==1-23一半徑為0.50m的飛輪在啟動(dòng)時(shí)的短時(shí)光內(nèi),其角速度與時(shí)光的平方成正比．在t＝2.0ｓ時(shí)測得輪緣一點(diǎn)的速度值為4.0m·ｓ-1．求：(1)該輪在t′＝0.5ｓ的角速度,輪緣一點(diǎn)的切向加速度和總加速度；(2)該點(diǎn)在2.0ｓ內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度．

分析首先應(yīng)當(dāng)確定角速度的函數(shù)關(guān)系ω＝kt2．依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時(shí)刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)k,ω＝ω(t)確定后,注重到運(yùn)動(dòng)的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類問題求解的辦法(微分法和積分法),即可得到特定時(shí)刻的角加速度、切向加速度和角位移．

解因ωR＝v,由題意ω∝t2得比例系數(shù)

322srad2-?===

Rt

tωkv所以22)(ttωω==則t′＝0.5ｓ時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分離為

12srad5.02-?='=tω

2srad0.24dd-?='==tt

ωα2sm0.1-?==Rαat

總加速度

nttnRωRαeeaaa2+=+=()()2222sm01.1-?=+=

RωRαa在2.0ｓ內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的角度

rad33.53

2d2d203202200====-??ttttωθθ1-24一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.10m的圓周上運(yùn)動(dòng),其角位置為342tθ+=,式中θ的單位為rad,t的單位為ｓ．(1)求在t＝2.0ｓ時(shí)質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度．(2)當(dāng)切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時(shí),θ值為多少？(3)t為多少時(shí),法向加速度和切向加速度的值相等？

分析把握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的辦法即可得到．

解(1)因?yàn)?42tθ+=,則角速度212ddtt

θω==．在t＝2ｓ時(shí),法向加速度和切向加速度的數(shù)值分離為

22s2sm30.2-=?==ωratn

2s2sm80.4dd-=?==tωratt

(2)當(dāng)222

12/tntaaaa+==時(shí),有223ntaa=,即()()4

22212243trrt=得3213=

t

此時(shí)刻的角位置為rad15.3423=+=tθ

(3)要使tnaa=,則有

()()4

22212243trrt=t＝0.55ｓ

1-25一無風(fēng)的下雨天,一列火車以v1＝20.0m·ｓ-1的速度勻速前進(jìn),在車內(nèi)