控制工程第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章主要講怎樣建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型—微分方程控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型廣義上是指表達(dá)自然界或社會(huì)現(xiàn)象某些本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)表達(dá)式或稱為數(shù)學(xué)方程?！容^寬泛數(shù)學(xué)模型具體一點(diǎn)，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)方法描述的抽象的理論模型，用來表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部各部分之間或系統(tǒng)與其外部環(huán)境之間的關(guān)系控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型定義：控制系統(tǒng)在工作狀態(tài)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程稱為數(shù)學(xué)模型。它反映輸出量與輸入量之間的關(guān)系—系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與其動(dòng)態(tài)特性之間的關(guān)系。格式:輸出量的表達(dá)式=輸入量的表達(dá)式本課程中，數(shù)學(xué)模型的定義、格式及其表達(dá)表達(dá)式通常有微分方程、傳遞函數(shù)、傳遞函數(shù)方框圖、頻率特性、差分方程、狀態(tài)方程等。本課程只講前三種。控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有：分析法－對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律。實(shí)驗(yàn)法－人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)。分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾個(gè)步驟：(1)建立物理模型。(2)列寫原始方程。利用適當(dāng)?shù)奈锢矶伞缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等）控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型物理模型任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化或理想化。簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡(jiǎn)化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求，來確定出合理的物理模型。電子放大器看成理想的線性放大環(huán)節(jié)。通訊衛(wèi)星看成質(zhì)點(diǎn)。(3)選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量（僅在建立狀態(tài)模型時(shí)要求），消去中間變量，建立適當(dāng)?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型?？刂乒こ痰诙驴刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法－基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法已知知識(shí)和辨識(shí)目的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)--選擇實(shí)驗(yàn)條件模型階次--適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次參數(shù)估計(jì)--最小二乘法模型驗(yàn)證—將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例:下圖為平面銑削示意圖.分析動(dòng)力滑臺(tái)水平運(yùn)動(dòng)情況工件銑刀動(dòng)力滑臺(tái)f(t)y(t)控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型ckmy(t)f(t)控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型的步驟

1.根據(jù)系統(tǒng)的工作原理得到物理模型

2.確定輸出量和輸入量

3.以已知的物理、化學(xué)、機(jī)械等定律或統(tǒng)計(jì)規(guī)律，列出盡可能存在的方程式。

4.消除中間變量。最后整理成：

輸出量的表達(dá)式=輸入量的表達(dá)式

控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建模MθJCKM為輸入量,轉(zhuǎn)角θ為輸出量控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型利用基爾霍夫定律建模解（a）題：依基爾霍夫電壓定律得電路方程同學(xué)練習(xí)解（b）uiuoRC(a)RuiCuo(b)uiCuo(c)L其中控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解（b）題，依照基爾霍夫定律得電路相同，輸入或者輸出不同，微分方程不同uiuoRC(a)RuiCuo(b)控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型求圖示電子網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)1的電流動(dòng)態(tài)方程式—輸入電壓—輸出電壓

對(duì)節(jié)點(diǎn)1的電流有：其中：所以節(jié)點(diǎn)1的電流動(dòng)態(tài)方程為節(jié)點(diǎn)1iR控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)控裝置比較器放大器伺服機(jī)構(gòu)工作臺(tái)檢測(cè)裝置系統(tǒng)元件間的負(fù)載效應(yīng)外反饋內(nèi)反饋控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型內(nèi)反饋：（1-1）（1-2）兩自由度機(jī)械系統(tǒng)信息傳遞關(guān)系許多機(jī)械系統(tǒng)或過程中，往往存在內(nèi)在的相互耦合作用構(gòu)成非人為的內(nèi)在反饋，從而形成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)?？刂乒こ痰诙驴刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)元件間的負(fù)載效應(yīng)再看下面的例子:圖示為由兩個(gè)質(zhì)量為m1、m2和彈簧k1、k2串聯(lián)起來的系統(tǒng)設(shè)輸入量為外力f(t),輸出量為位移y1(t),y2(t).試求系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)m1對(duì)m2(1)控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型負(fù)載效應(yīng)—由多個(gè)元件組成的系統(tǒng)，若后一個(gè)元件的存在會(huì)影響到前一個(gè)元件的輸出，就認(rèn)為后者給前者增加了負(fù)載。這種現(xiàn)象稱為負(fù)載效應(yīng)。

注意，當(dāng)存在負(fù)載效應(yīng)時(shí)，絕不能孤立地分別列出前后兩個(gè)元件的微分方程式，而應(yīng)該把前后兩個(gè)元件作為一個(gè)整體分析如果不考慮m2對(duì)m1的影響，則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果

解方程（1），消除y2得控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型下圖表示一臺(tái)機(jī)器放在隔振墊上。將機(jī)器簡(jiǎn)化為一剛性質(zhì)塊，質(zhì)量為m，在垂直方向的位移為x(t)，從靜態(tài)平衡位置開始計(jì)算質(zhì)塊的位移。解記此即為動(dòng)態(tài)模型。如系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)很慢即靜態(tài)模型控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型ckmy(t)f(t)此模型是以作用在機(jī)器上的力F(t)為激勵(lì)，機(jī)器的振動(dòng)位移小x(t)作為響應(yīng)。控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型試分析地基振動(dòng)對(duì)機(jī)器運(yùn)動(dòng)的影響即y(t)為激勵(lì)，x(t)為響應(yīng)解控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型參數(shù)的歸一化見書P19例4此外，注意線性化的概念控制工程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型重點(diǎn)內(nèi)容：1.線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立利用達(dá)倫貝爾動(dòng)力平衡原理建