2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版高一上期末總復(fù)習(xí)：不等式(附答案解析)

2022?2023學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版高一上期末總復(fù)習(xí)：不等式

一.選擇題（共12小題）

17

1.（2021?重慶模擬）已知a>0,b>0,-+-=2,則a+2b的最小值為（）

ab

05

A.9B.5C.-D.巳

22

2.（2020春?昌吉市期中）若a>0,b>0,a+2b=3,則口‘的最小值為（）

ab

A.5B.6C.8D.9

3.（2021秋?駐馬店期中）“x20”是“一”的（）

x+1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

4.（2021?松原模擬）下列函數(shù)中，y的最小值為2的是（）

A.y=x+1B.y=x—Inx-1

x

C.y=ex+l-xD?j=cosx+—!—（0<x<-）

cosx2

5.（2021秋?西城區(qū)校級(jí)月考）不等式2x2-3x+l>0的解集為（）

A.（；,1）B.（-co,g）u（1,-Foo）

C.RD.0

6.（2021秋?張家港市期中）若一元二次不等式丘2-2x+女<0的解集為{xlx,則團(tuán)+女

的值為（）

A.-1B.0C.-2D.2

7.（2021?涪城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)機(jī)+〃>0,則關(guān)于工的不等式（〃一幻（〃+式）>0的解集是（

）

A.{x\x<—n^x>m]B.{xl-H<x<m]C.{xlxc-m或

x>〃}D.[x\-m<x<n}

8.（2021?江陰市開(kāi)學(xué)）已知x>l,則立^的最小值是（）

x-l

A.2s+2B.2十-2C.26D.2

9.（2021春?威寧縣期末）已知x>0,），>0,且x+y=2,則下列結(jié)論中正確的是（）

第1頁(yè)共14頁(yè)

79

A.士+上有最小值4B.孫有最小值1

xy

C.21+2、有最大值4D.J7+4有最大值4

10.（2021?浙江模擬）若x<0,則x+士的最大值為（）

X

A.-8B.-6C.-4D.-2

11.（2021秋?會(huì)寧縣校級(jí)期中）已知{dox2+W+c>o}={xl-g<x<2},則關(guān)于x的不等

式CX2+如-。>。的解集為（）

A.|xl-1<x<|-j-B.卜1一2<尢<；}C.{xIx<-2或x>；}D.{xlx<-l或

x>l）

12.（2021春?廣東期末）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+3y=4,則」—+」—的最小值為（

2x+l3y+2

二.填空題（共7小題）

13.（2021?河西區(qū)二模）函數(shù)丫="+5）>+2）作>一］）的最小值為一

X+1

14.（2021?天津一模）設(shè)a>0,b>0,且5〃〃+/;2=1,則〃的最小值為.

15.（2020秋?汕頭校級(jí)期末）當(dāng)x>l時(shí)，求2x+上的最小值為_(kāi)__.

x-l

16.（2020秋?門頭溝區(qū)校級(jí)期中）不等式心+5'-6>0的解集是.

17.（2020秋?揚(yáng)州期末）若存在實(shí)數(shù)x,使得不等式x2-ax+a<0成立，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為—.

18.（2021秋?新羅區(qū)校級(jí)期中）已知不等式依2-X+Z<0有解,則實(shí)數(shù)K的取值范圍為一.

19.（2021春?舟山期末）若正數(shù)a,b滿足a+b+2=",則二一+」_的最小值是___,

a-1b-1

此時(shí)〃=.

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2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版高一上期末總復(fù)習(xí)：不等式

參考答案與試題解析

選擇題（共12小題）

1o

1.（2021?重慶模擬）已知a>0,b>0,上+±=2,則a+2Z?的最小值為（）

ab

95

A.9B.5C.-D.二

22

【答案】c

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】由已知利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可直接求解.

【解答】解：（1+-）（?+2/7）=1+—+—+4^9,

abba

所以a+2622.

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，乘1法的應(yīng)用是求解問(wèn)題的關(guān)鍵,

屬于基礎(chǔ)題.

2.（2020春?昌吉市期中）若a>0,b>0,a+2%=3,則2+9的最小值為（）

ah

A.5B.6C.8D.9

【考點(diǎn)】7/：基本不等式及其應(yīng)用

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4M：構(gòu)造法；5T：不等式；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】把上+色看成（2+2x1的形式，把“1”換成，（〃+2與，整理后積為定值，然后用

abab3

基本不等式求最小值.

【解答】解：?,,3+勺」（3+3（。+2與

ab3ah

16h6a…

=（3+一++12）

3ab

48+2后耳）=9

等號(hào)成立的條件為竺="，即時(shí)取等

ab

第3頁(yè)共14頁(yè)

所以3+9的最小值為9.

ab

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是“1”的代換，是基

礎(chǔ)題

3.（2021秋?駐馬店期中）“x20”是“」一句”的（）

x+\

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【考點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件；其他不等式的解法

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理

【分析】先求出分式不等式的解集，然后結(jié)合充分必要條件與集合的包含關(guān)系的轉(zhuǎn)化進(jìn)行判

斷.

【解答］解：由」_@，得」--《0，

X+1元+1

解不等式得X次）或

所以x20"是“一!_0”的充分不必要條件.

X+1

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式不等式的求解，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2021?松原模擬）下列函數(shù)中，y的最小值為2的是（）

A.y=x+—B.y=x-Inx-1

X

17C

C.y=ex+\-xD.y=cosx+-（0<x<—）

cosx2

【答案】C

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理

【分析】結(jié)合基本不等式的應(yīng)用條件及基本不等式分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x>0時(shí)<y=x+-^2,當(dāng)且僅當(dāng)xJ,即x=l時(shí)，等號(hào)成

XX

立；

當(dāng)x<0時(shí)，y=x+1=-［（-*）+（-1）長(zhǎng)-2,當(dāng)且僅當(dāng)-x=-l,即x=-l時(shí)，等號(hào)成立，

XXX

第4頁(yè)共14頁(yè)

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于5選項(xiàng)，y=x-bvc-\,y#=l--=—―,

xx

當(dāng)尤>1時(shí)，yr>0；當(dāng)0<工<1,y'<0，

所以當(dāng)x>l,函數(shù)y=X-/〃/-1單調(diào)遞增；當(dāng)0<工<1時(shí)，，(x)=x-歷式-1單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l,函數(shù)取得最小值為0,故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，y=e^+\-x,y'=ex-l,

當(dāng)x〉0時(shí)，y'>0;當(dāng)元<0,y'<0,

所以當(dāng)工>0,函數(shù))，=6+1-1單調(diào)遞增；當(dāng)x<0,函數(shù)y=e、+17單調(diào)遞減，

即當(dāng)尢=0取得最小值為2,故C正確；

對(duì)于。選項(xiàng)，因?yàn)?<x<巴，所以0<cosx<l,

2

Xy=cosx+--—^2Jcosx?——=2,當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1，即cosx=l時(shí)，等號(hào)成立，

scosXVCOSXCOSX

但COSXH1,故。錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不等式求解函數(shù)的最值，注意應(yīng)用條件的檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)

題.

5.(2021秋?西城區(qū)校級(jí)月考)不等式2心-3彳+1>0的解集為()

A.(J,1)B.(-00,+00)

C.RD.0

【答案】B

【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用二次不等式的解法，求解不等式2x2-3x+l>0的解集即可.

【解答】解：不等式2心-3尤+1>0,

即(x-l)(2r-l)>0,

解得：x>l^Kx<—,

2

不等式的解集為：(-8,1)U(1,+00).

故選：B.

第5頁(yè)共14頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

6.（2021秋?張家港市期中）若一元二次不等式近2-2尤+“<0的解集為{xlxw/n},則,〃+k

的值為（）

A.-1B.0C.-2D.2

【答案】C

【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

k<0

【分析】由不等式與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為4-4也=0,從而解得.

2

m=-

I2k

【解答】解：：不等式履2-2x+k<0的解集為{xlxwm},

k<0

?4—4&2=0,

2

m=—

I2k

解得>k——\>m=—\,

故機(jī)+氏=-2，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次不等式與方程的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2021?涪城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）設(shè)，"+〃>0,則關(guān)于x的不等式（加-外（〃+：0>（）的解集是（

）

A.{xlx<或x>，〃}B.{x\-n<x<m]C.或

x>n]D.{x\-m<x<n}

【答案】B

【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為（無(wú)-相）（X+〃）<0,然后求出不等式的解集.

【解答】解:原不等式可化為（x-M（x+"）<0,

由m+”>0,可知m>-“，

第6頁(yè)共14頁(yè)

所以原不等式的解集為{xl-”<x<w}.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2021?江陰市開(kāi)學(xué))已知x>l,則三里的最小值是()

x-l

A.20+2B.2^3-2C.2點(diǎn)D.2

【答案】A

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；整體思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】化簡(jiǎn)巴匚=上二生生2=》-1+2一+2,結(jié)合x(chóng)>l,利用基本不等式求最值

X—1X—1X-1

即可.

【解答】解：.,?工一1>0.

X2+2X2—2x+2x+2

X2—2,x+1+2(x—1)+3

一x-1

(x-1)2+2(%—1)+3

―

=x-\+——+2226+2,

x-1

(當(dāng)且僅當(dāng)x-l=上，即x="+l時(shí)，等號(hào)成立).

X-1

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及整體思想與轉(zhuǎn)化思想,

屬于中檔題.

9.(2021春?威寧縣期末)己知犬>0,y>0,且x+y=2,則下列結(jié)論中正確的是()

A.一+一有最小值4B.xy有最小值1

xy

C.2.,+2.v有最大值4D.J7+J7有最大值4

【答案】A

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】根據(jù)條件可得出±+±=±(x+y)(±+±),然后根據(jù)基本不等式即可求出±+

xy2yxy

第7頁(yè)共14頁(yè)

然后即可判斷選項(xiàng)A正確；根據(jù)x+y=2可得出孫<1從而判斷8錯(cuò)誤；根據(jù)基本不等式即

可求出2、+2)》4,從而判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)J7+正=也+2而<2即可判斷選項(xiàng)D錯(cuò)

誤.

【解答】解：,y>0,且x+y=2,

2=x+y^2^[xy,當(dāng)且僅當(dāng)%=y=l時(shí)取等號(hào)，

孫(，

二.孫有最大值1,選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

2+2=L(x+y)(2+2)=_L(4+在+^)=2+2+工》4,當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=l時(shí)取等號(hào)，

xy2xy2yxyx

.?.*+*有最小值4,選項(xiàng)A正確;

xy

2x+2.v》242「2；=2H7=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)，

.?2+2>,有最小值4,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

G+G=+tjy)2=Jx+y+=^2+2^xy^2,

.?.《+J7有最大值2,選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2021?浙江模擬)若x<0,則x+￡的最大值為()

x

A.-8B.-6C.-4D.-2

【答案】C

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】由x+±=_[(_x)+(_3)],然后結(jié)合基本不等式即可直接求解.

XX

【解答】解：因?yàn)閤<0,則一x>0,

則xH—=—[(—X)+(—)]<—2^1(—x),(—)=—4,

XXVX

當(dāng)且僅當(dāng)r=-±,即尤=-2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最大值-4.

X

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題中要注意對(duì)應(yīng)用條件的檢驗(yàn)，屬于

第8頁(yè)共14頁(yè)

基礎(chǔ)題.

11.（2021秋?會(huì)寧縣校級(jí)期中）已知（52+hx+c>

I—<x<2,則關(guān)于x的不等

3

式CX2+Q尤-〃>0的解集為（）

A.|xl-1<x<B.I-2<x<C.{xlx<-2或x〉；}D.{xl無(wú)<一1或

丹233

【答案】D

【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用；其他不等式的解法

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理

【分析】利用一元二次不等式的解集與一元二次方程根之間的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,

表示出力，c,再利用一元二次不等式的解法求解不等式即可.

【解答】解：由題意可知，-■!■和2為方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，且。<0,

3

75

所以不等式c%2+〃工一/?>0,即——ax2+ax+—b>0

33

即2x2-3x-5>0,解得—1或x>9,

2

所以不等式的解集為或X>|}.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解集與一元二次方程根之間關(guān)系的理解與應(yīng)用，一元

二次不等式的解法的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.（2021春?廣東期末）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+3y=4,則一!一+—!—的最小值為（

2x+l3y+2

【答案】A

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；整體思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)

算

第9頁(yè)共14頁(yè)

【分析】將4x+3y=4變形為含2x+l和3y+2的等式，即2(2元+1)+(3)，+2)=8,再將式子

換元，由基本不等式換“1”法求解即可.

【解答】解：由正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+3y=4,可得2(2x+l)+(3y+2)=8,

令a=2x+l,b=3y+2,可得2。+〃=8,

匚匚+1111/1、八，、11c2〃0心1°C

J，T-----+-----=—+——(一+一)x(2〃+/?)x—=—x(2+—+—+1-x(3+2

2x+l3y+2abab88ba8

即，+42L(3+2向，

abS

即_L+J_23+正，當(dāng)且僅當(dāng)口時(shí)取等號(hào),

。。84ha

所以答案為3+1，

84

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基了利用基本不等式求最值，考查了推理論證和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

二.填空題(共7小題)

13.(2021?河西區(qū)二模)函數(shù)y=(；±5)以的最小值為9.

x+1

【答案】9.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【專題】整體思想：綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用換元法，然后結(jié)合基本不等式即可求解.

【解答】解：因?yàn)閤>-l,設(shè)f=x+l,則f>0,

(x+5)(x+2)(Z+l)(r+4).,4,?廠才，<n

y=--------=-----=r+—+522Jf1-5=9?

x+1ttVt

當(dāng)且僅當(dāng)，=4,即r=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值9.

t

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

A

14.(2021?天津一模)設(shè)〃>0,b>0,旦5出?+匕2=1,則a+b的最小值為-.

一5一

【答案】

5

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

第10頁(yè)共14頁(yè)

【分析】由己知先用〃表示a,然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解.

【解答】解：因?yàn)閍>0,b>0,且5M+從=1,

\-b2

所以a

5b

因?yàn)閍>0,

所以0<b<l,

a+b=------

當(dāng)且僅當(dāng)上=竺，即6=,，〃時(shí)取等號(hào),

5b5210

4

則a+b的最小值一.

5

故答案為：—.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用條件的配湊.

15.（2020秋?汕頭校級(jí)期末）當(dāng)x>l時(shí)，求2x+8的最小值為10.

x-1

【答案】10.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用

【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】將2x+8轉(zhuǎn)化為積為定值的形式后即可利用基本不等式進(jìn)行求解.

X—1

【解答】解：當(dāng)x>l時(shí)，2x+-^=2（x-l）+-^+2^2^2（x-l）--^-j-+2=10,

X>1

當(dāng)且僅當(dāng)8，即x=3時(shí)等號(hào)成立，所以2x+f-的最小值為10.

2（%-1）=---x-1

、x—1

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基

礎(chǔ)題.

16.（2020秋?門頭溝區(qū)校級(jí)期中）不等式心+5工-6>0的解集是_（-8廣6）口（h+00）_.

【答案】（―℃,—6）°（1,+oo）.

【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

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【解答】解：不等式X2+5.X—6>0可變形為(x+6)(x—1)>0,

解得尢<-6或x>1,

所以不等式心+5犬-6>0的解集是(-8,-6)°(1,+00).

故答案為：(-co,+oo).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.(2020秋?揚(yáng)州期末)若存在實(shí)數(shù)x,使得不等式x2-ox+a<0成立，則實(shí)數(shù)“的取值

范圍為―

【答案】(-8,0)°(4,+OO).

【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用

【專題】轉(zhuǎn)化思想；判別式法；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】解法1、根據(jù)題意利用判別式>0,即可求出a的取值范圍.

解法2、討論x-l>0和x-1=0、x-l<0時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為a與旦的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)

X—1

f(x)='L,求出f(x)的最值即可得出a的取值范圍.

x-l

【解答】解：解法1、存在實(shí)數(shù)X,使得不等式心+。<0成立，

所以△=(一〃)2-4〃>0,

解得。<0或a>4,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,0)U(4,+00).

解法2、不等式4-以+〃<0可化為X2<a(x-1),

當(dāng)x-l>0,即x>l時(shí)，不等式化為〃>心；

x-1

設(shè)/(尤)=旦，其中X>1;

x-1

所以"x)=^=a-l)；"：-l"l=(xT)+2+士221(x7).占+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)；

所以實(shí)數(shù)。>4；

當(dāng)x-l=0,即x=l時(shí)，不等式化為1<0,顯然不成立；

當(dāng)x-l<0,即x<l時(shí)，不等式化為“<與；

X-1

設(shè)/⑴二二，其中X<1;

x-l

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FKl、l、X2(%-1)2+2(X—1)+1,、c1,?I,..1-?

所以/(x)=--=