2022-2023學(xué)年四川省宜賓市敘州區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題含答案

四川省敘州區(qū)一名校高2023屆高三上期末考試

文科數(shù)學(xué)

本試卷共4頁.考試結(jié)束后，只將答題卡一并交回

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在

考生信息條形碼粘貼區(qū).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字

筆書寫，字體工整、筆跡清楚.

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答

案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

.隹人"={X|T<XW2,XGN}8={1}C.5=（、

1.集合（'，，iJ,則“（）

A囪-或l<x42}B.卜1，。，2}C.82}

{2}

D.

i23*

.4.一

2.i為虛數(shù)單位，貝Ib+1<:)

-1-i-1+i1+i1-i

A.2B.2C.2D.2

3.如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)家庭連續(xù)9個(gè)月的月用電量（單位：度），根據(jù)莖葉圖,

下列說法正確的是（）

甲乙

211

54323

3273489

1402

0516

A.甲家庭用電量的中位數(shù)為33

B.乙家庭用電量的極差為46

C.甲家庭用電量的方差小于乙家庭用電量的方差

D.甲家庭用電量的平均值高于乙家庭用電量的平均值

廠

4.已知12Atan=V2,則cos26=（）

_vieii

A.3B.3C.3D.3

5.新冠肺炎疫情是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度

最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：

["）=/描述累計(jì)感染病例數(shù)MO隨時(shí)間.（單位：天）的變化規(guī)律，其中指數(shù)增長率

尸”S38,據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)擴(kuò)大到原來的10倍需要的時(shí)

間約為（In10土2.30）（）

A.4天B.6天C.8天D.10天

6.已知孫〃為整數(shù)，且私”右口⑸，設(shè)平面向量"=（加，〃）與否=（2,-1）的夾角為6,則

L2,的概率為（）

_9__9__6_

A.32B.64C.25D.25

7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說，你們四人中有2

位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，看

后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則（）

A.乙可以知道其他兩人的成績B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績

8.設(shè)/（X）是定義域?yàn)锳的奇函數(shù)，且/（l+x）=/（r）若，（3,則（

）

_5__115

A.3B.3c.3D.3

9.已知圓C的方程為（xT）2+3T）-=2,點(diǎn)尸在直線J=x+3上，線段為圓C

的直徑，貝/P"+&I的最小值為（）

372

A.2B.3亞C.4亞D,3

—>—>—>—>

10在“8C中，8。=|物=|8C|,則以48為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心

率為（）

1+61+后

A.1+3B.1+百C,2D,2

H.已知球。是直三棱柱"3C-481G的外接球,若AAi=4C=?BC,

8〃=8C=1,則球。的體積為（）

4329兀

—71---兀--

A.3B.3c,4兀D,2

12.已知函數(shù)小）=（'一廿+用雇>'+15<0）,若存在為>1,使/（x0）<0,則

實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A（一甩"）B.（一8'一4C.卜％°）D.（一仁。）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x>0

<x-2y<0,

13,若1"+7-3之0則2=》+卜的最小值是.

14.已知等比數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為'，且$3=7,$6=63,則%=.

15.若函數(shù)"""In?！┰趨^(qū)間停00）上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)°的取值范圍

是.

x5

16.若指數(shù)函數(shù)歹="（a>°且aHl）與五次函數(shù)、=x的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題

為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作

答.

（-）必考題：共60分.

17.某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競賽，其中男生400人.為了了解該校學(xué)生在知識(shí)競

賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在

450?950分之間.將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”.根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)

生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

（1）求”的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，完成下列2X2列聯(lián)表，并判斷是否有

97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān).

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

n(ad-bey

(a+b)(c+d)(a+c)0+d),其中〃=a+6+c+d

Pg*。）0.150.100050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910828

18.銳角三角形N8C中，角B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

V5Q

tan5+tanC

c?cosB

（1）求角。的值；

（2）若c=2百，。為“B的中點(diǎn)，求中線CZ）的范圍.

19.如圖，在三棱柱Z8C-44G中，A4=AB=A￡=2血,4B=AC=2,

ABAC=90°

（1）證明：平面48CJ?平面'4G；

（2）求四棱錐4一BCCIBI的體積

20.已知橢圓￡的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)與、右焦點(diǎn)工都在X軸上，點(diǎn)”是橢圓E上的動(dòng)

點(diǎn)，外的面積的最大值為G,在X軸上方使兒用,K=2成立的點(diǎn)"只有一個(gè).

（1）求橢圓后的方程；

（2）過點(diǎn)（T，°）的兩直線乙，4分別與橢圓￡交于點(diǎn)A,8和點(diǎn)C,D,且4“2,比

較12（|幺川+|。|）與714511coi的大小.

1,1,.

fQ=（k^l.ex--ax3+-x2a\R

21.已知函數(shù)32

（1）當(dāng)。=°時(shí)，求在點(diǎn)（L）處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，人”是否存在兩個(gè)極值點(diǎn)，若存在，求實(shí)數(shù)〃的最小整數(shù)值；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

（-）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則

按所做的第一題計(jì)分.

1+COS67

C{X-_.(9

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線0的參數(shù)方程為〔7=sm°為參數(shù))，在以坐標(biāo)

原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為

psin(6+(J=2V2

(1)求曲線°的極坐標(biāo)方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

0=a[0<a<—J

(2)若射線I2J與曲線C交于點(diǎn)A(不同于極點(diǎn)°),與直線/交于點(diǎn)8,

QI

求1。切的最大值.

“-1-=|x-a\-|x+2|

23.已知函數(shù)/11I

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/(.￡-》的解集；

(2)若/⑷￡/+1恒成立，求。的取值范圍.

四川省敘州區(qū)一名校高2023屆高三上期末考試

文科數(shù)學(xué)

本試卷共4頁.考試結(jié)束后，只將答題卡一并交回

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在

考生信息條形碼粘貼區(qū).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字

筆書寫，字體工整、筆跡清楚.

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答

案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.集合"=*卜1B={1},則。5=()

{r|-l<x<l^l<x<2}{-1,0,2}「{052}

A.'D.L.

一}

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集的定義即可求解.

【詳解】解：因?yàn)?={X|T《X"2,XCN}={0,L2},8={1},

所以。8=82},

故選：C.

2.i為虛數(shù)單位，則i*+i()

一1—i—1+i1+i1-i

A.2B.2C.2D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方和除法運(yùn)算即可求解.

i2—1—(1—i)—1+i

【詳解】解：i4+i1+iF+/2,

故選：B.

3.如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)家庭連續(xù)9個(gè)月的月用電量（單位：度），根據(jù)莖葉圖,

下列說法正確的是（）

甲乙

211

54323

3273489

1402

0516

A.甲家庭用電量的中位數(shù)為33

B.乙家庭用電量的極差為46

C.甲家庭用電量的方差小于乙家庭用電量的方差

D.甲家庭用電量的平均值高于乙家庭用電量的平均值

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定莖葉圖，逐項(xiàng)分析計(jì)算，再判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,由莖葉圖知，甲家庭用電量的中位數(shù)為32,A不正確:

對(duì)于B,由莖葉圖知，乙家庭用電量的極差56T1=45,B不正確;

-12+23+24+25+32+33+37+41+50277

X]=-------------------------------------=

對(duì)于C,甲家庭用電量的平均數(shù)99

11+23+34+38+39+40+42+51+56_334

乙家庭用電量的平均數(shù)/99,

21「八c277、2.er27722772/c廠277、

s：=1(12——-)2+(23---)2+(24-k)2+(25---)

甲家庭用電量的方差99999

八、277、2八、277"--277"…277,,277381936

+(32--)2+(33--)2+(37--)2+(41--)2+(50--)2]=-^-

=加I--7-)+(23——)2+(34-—)2+(38--)2

乙家庭用電量的方差99999

rc334,，，八334q334.334.334II9628

+(39--)2+(40-—)2+(42--)2+(51——)2+(56--)-x2]1=—

997V7/2.7

81936119628

------<-------

顯然729729，即甲家庭用電量的方差小于乙家庭用電量的方差，C正確;

277334

對(duì)于D,由C選項(xiàng)的計(jì)算知99,甲家庭用電量的平均值低于乙家庭用電量的平均

值，D不正確.

故選：C

r-

4.已知I2J,tan夕=42,則cos29=（）

V2V2

A.T

B.3C.3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得cos28的值.

故選：C.

5.新冠肺炎疫情是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度

最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：

/"）=e"描述累計(jì)感染病例數(shù)MD隨時(shí)間,（單位：天）的變化規(guī)律，其中指數(shù)增長率

尸=0.38,據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)擴(kuò)大到原來的10倍需要的時(shí)

間約為（In10*2.30）（）

A.4天B.6天C.8天D.10天

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)所需時(shí)間為％，可得e°3W）=I0e°w,解出即可.

【詳解】設(shè)所需時(shí)間為％,

則薩8（'+'，）=]0?°猛，則e°孫=10,

0.384=In10q2.3

衛(wèi)=6

0.38

故選：B.

6.已知"?，〃為整數(shù)，且"?，"€口,5],設(shè)平面向量4=（〃?,〃）與1=（2,-1）的夾角為夕，則

*惇1

L2,的概率為（）

_9__9_AA

A.32B.64C.25D.25

【答案】D

【解析】

【分析】依題意可得一1<COS6W°,再根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示得到不等式，再用列舉

法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；

--6G—，4

【詳解】解：因?yàn)槠矫嫦蛄俊?（九〃）與°=（2,-1）的夾角為6,且L2人所以

2m-n________

-l<cos6><0,即J加2+〃2X非,所以L+"）<2加-〃<0,因?yàn)?/p>

九〃為整數(shù)，且叫"IB],a=（m,n）f所以a共有5x5=25種可能，又因?yàn)?/p>

2m-n<0,?e[l,5]f所以祖=1或2,①當(dāng)m=l時(shí)，由）<2加一〃W0,

即-45+5/<2-〃W0,所以〃=2或3或4或5,滿足題意；

②當(dāng)％=2時(shí)，由Y5H+"）<2加一〃<0,即-也0+5〃2<4-〃40,所以

〃=4或5,滿足題意；

故（）B%（）回文（）回文（）口文（）巨文（）J16種情況符合題意，所以

年,小A

L21的概率為25；

故選：D

7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說，你們四人中有2

位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，看

后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則（）

A.乙可以知道其他兩人的成績B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)所給信息進(jìn)行推理.

【詳解】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中有2位優(yōu)秀，2位良好，

因?yàn)榧卓匆?、丙的成績后仍不知道自己的成績?/p>

可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲、丁一人優(yōu)秀一人良好，

乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，

故選：D.

8.設(shè)/㈤是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/0+x）=/（r）.若/I5則（

)

5__115

A.3B.3c.3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.

【詳解】由題意可得：UII3）I3）UJ,

/川,

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給

的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

9.已知圓C的方程為（x—ir+（yT）-=2,點(diǎn)尸在直線y=x+3上，線段為圓C

的直徑，貝/°'+&I的最小值為（）

372

A.2B.3亞C.4五D.3

【答案】B

【解析】

【分析】將蘇+而轉(zhuǎn)化為2PC,利用圓心到直線的距離求得|2001的最小值.

【詳解】因?yàn)镃為的中點(diǎn)，

所以成+方=2定，

從而|蘇+而|=|2所=2|所，

可知EC的最小值為點(diǎn)C到直線V=x+3的距離，

,|1-1+3|30

d=7=—=---

V22

向+國mm=2x半=3/

所以2

故選：B.

->->—?—?

10.在“8c中，M8—8C|=|'6|=|8C|,則以/,為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心

率為（）

1+61+G

A.1+夜B.1+eC,2D,2

【答案】D

【解析】

fT711

AB=aAR.RC=-a-r

【分析】設(shè)，求出2,即得解.

—>

AB=a->--

【詳解】解：設(shè)，貝/8C|=a,\AB-BC\=a

所以-2ABBC+BC=a\

->T1

ABBC=-a2

故2

|必=賴+晶）+2ABBC+BC=瓜

因此）

—＞

AB

aV3+1

AC-BC、3a-a2

所以雙曲線的離心率

故選：D.

H.已知球。是直三棱柱'8C-44￡的外接球，若A4=AC=6BC,

8/=8C=l,則球。的體積為（〉

4329無

——71---71----

A.3B.3C.4兀D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三棱柱/BC-44cl中各棱的數(shù)量關(guān)系知其底面為直角三角形，將其補(bǔ)全

為長方體，根據(jù)長方體與外接球直徑的關(guān)系即可求半徑R,進(jìn)而求球的體積；

【詳解】由/C=&8C,BA=BC=l,可得△/BC為直角三角形，

由題意，'80-44cl所在的長方體中，過同一頂點(diǎn)的三條棱的長分別為：1,1,6,

22

n（27?f=1+1+（V2^=4D,

設(shè)外接球的半徑為R,則i，所以火=1,

1/424?4

V=—TIR=—兀?1=一兀

所以球的體積333,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了棱柱的外接球問題，根據(jù)三棱柱棱長的數(shù)量關(guān)系確定底面三角形形狀,

結(jié)合其所在長方體與外接球直徑關(guān)系求球體的半徑，應(yīng)用球體的體積公式求體積；

12.已知函數(shù)小）=（1"+加門＞'+1（加＜0）,若存在為〉1,使/CO,則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（)

(-00,(-00,-￡>]，(一)

A-e)BcHo)D.e‘°

【答案】B

【解析】

【分析】由得(x-x'"+初nxp+140,變形后得lnx'"-x"Y-e-*-x,

構(gòu)造函數(shù)尸?)=lnr-t,由導(dǎo)數(shù)可得b?)在(°，1)上單調(diào)遞增，在(1，+°°)上單調(diào)遞減，

Inx,1,、Inx

一，W—g(x)=-------

0<x'"<l,0<"'<1,從而得x'"<eT,即x機(jī)，構(gòu)造函數(shù)x,再

利用求出其最小值，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)加的取值范圍

【詳解】解：由/(“)<°,得(x-￡"+〃?lnxp+l?0,即

xer-xm-ex+erlnxm+1<0

Inxm-xm<-x---

所以e'Inx'",所以ex,即Inx"—x"Y-x,

cv\1F(Z)=--l=—

令尸⑺=Inf—f,則tt(/>0),

當(dāng)Ovf<l時(shí),b(，)>0,當(dāng)r>i時(shí)，尸。)<0,

所以少“)在(Q1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，

-r

因?yàn)榧?lt;°，x〉l,所以0<x'"<l,0<e<1,

則只需F6"))=-x-e-x即可，即x'"W1,

所以mlnxW-x,

InxW—1

因?yàn)閮?lt;0,所以X~m,

/、Inx，/、1-lnx

g(x)=-g(x)=.........................-

令X,貝IJX,

當(dāng)xe(0,e),則g(x)<0,當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，g(x)>0,

所以g(x)在(0,e)上遞減，在(e,+8)上遞增,

1

g（X）min=g（e）

所以

11

—>——

所以加e,得加W—e,

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式能成立問題，解題的關(guān)鍵是由

"x）VO,得Inx"一，"K—e-x-x,構(gòu)造函數(shù)/。）=E”￡,由導(dǎo)數(shù)可得/（。在

Inx1

—---—

（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，+8）上單調(diào)遞減，從而將問題轉(zhuǎn)化為廿即X~m,

Inx

g（x）=-----

再利用導(dǎo)數(shù)求出x的最小值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x>0

<x-2y<0,

]3.若[x+y-32（^z=x+y的最小值是.

【答案】3

【解析】

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】作出可行域如圖所示：

作出直線》=_》+/經(jīng)過《輜），蛇/）時(shí)，z=x+y取得最小值3.

故答案為：3

14.已知等比數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和為S",且$3=7,風(fēng)=63,則％=.

【答案】64

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式列出方程組，解出首項(xiàng)公比，根據(jù)通項(xiàng)公式求出.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，首項(xiàng)為《，由已知，可得

S=止￡）=7

3\-q

=----------03v

-]一夕，解得，匕=2

所以，%=*=64

故答案為：64.

15,若函數(shù)?。?必（廠一”1）在區(qū)間（L+8）上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)0的取值范圍

是.

【答案】（一刃⑼

【解析】

【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】由函數(shù)/（x）=ln（x--ax-l）在區(qū)間（1,⑹上是單調(diào)增函數(shù)，只需

函數(shù)丁二/一"一1在（1,內(nèi)）上是單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)x>l時(shí)V-依―1>°恒成立，所以

|<22，

滿足〔1一“一12°'解得。4°.

故答案為：s,°]

5

16,若指數(shù)函數(shù)丁=ax（。>°且。#1）與五次函數(shù)y=x的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

（5\

l,ee

【答案】【J

【解析】

InQ_Inx

【分析】依題意方程優(yōu)=x5有兩個(gè)不同的解，兩邊取對(duì)數(shù)可得5X,從而可轉(zhuǎn)化

InazxInx

=—g(')=—(}

為5與x在圖象上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)2gUxJ的單

0Jna<1

調(diào)性，即可求出g。')的最值，從而得到5e,即可求出參數(shù)的取值范圍;

x5

【詳解】解：指數(shù)函數(shù)V=a(4>°且。*1)與五次函數(shù)N=x的圖象恰好有兩個(gè)不同

r5x5

的交點(diǎn)，等價(jià)于方程。=*有兩個(gè)不同的解.對(duì)方程。二%兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得

In4/_Inx

lna'=lnd,即xlna=51nx.因?yàn)閄HO,所以5x,從而可轉(zhuǎn)化為

f\X)=~T~g(M=-----

5與x在圖象上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

1,

x-----Inx11

//C_x_1-Inx

g(")=1?—當(dāng)xe(°，e)時(shí)，g'(x)〉O,當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，

g'(x)<°,所以函數(shù)gG)在(°遇)上單調(diào)遞增，在(露+8)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)

]_

g(x)在x=e處取到極大值，也是最大值，且最大值為e.又因?yàn)楫?dāng)“?。/)時(shí)，

0XInqJ_5

g(x)<0；當(dāng)x€(l,+oo)時(shí)，g(x)〉O,所以<*5<e,解得l<a<ee,即

(5\

aGl,ee

\e

(5\

l,e;

故答案為：IJ

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題

為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作

答.

(一)必考題：共60分.

17.某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競賽，其中男生400人.為了了解該校學(xué)生在知識(shí)競

賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在

450?950分之間.將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”.根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)

生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

（1）求。的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，完成下列2X2列聯(lián)表，并判斷是否有

97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān).

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

K?n(ad-bey

參考公式：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中〃=q+6+c+d

P(K■＞院)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）見解析（2）填表見解析；有

【解析】

【分析】（1）由頻率和為1可得。值，由直方圖中眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)

算即可；

（2）由題意得到2X2列聯(lián)表，然后計(jì)算長2的觀測值上，然后與題目中表格的數(shù)據(jù)進(jìn)行比

較即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

100X(0.0015+0+0.0025+0.0015+0.0010)=1a=0.0035

眾數(shù)估計(jì)值為600分.

平均數(shù)估計(jì)值為50°*°.15+60°X°.35+7()0*().25+80°'().15+9()°*().1=670(分)

八貼八公”，”八100x(0.0015+0.0035)=0.5

分?jǐn)?shù)分布在450?650分之間時(shí)，頻率為I),

故中位數(shù)估計(jì)值為650分.

【小問2詳解】

由題意可知，樣本中男生有40人，女生有60人，屬于“高分選手”的有25人，其中女生

ioA.

因此，得到2X2列聯(lián)表如下:

屬于高分選手不屬于高分選手合計(jì)

男生152540

女生105060

合計(jì)2575100

100x(15x50-10x25)250

,k=----------------------------=—?5.556>5.C

因此，K的觀測值40x60x25x759

所以有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān).

18.銳角三角形/8C中，角4B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且

6Q

---------=tan8+tanC

c?cosB

(1)求角C的值;

(2)若c=2百，。為的中點(diǎn)，求中線8的范圍.

C=-

【答案】(1)3

CZ)e(77,3]

(2)

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化簡可得出tanC,結(jié)合角0為銳角可求得結(jié)果;

（2）由余弦定理可得出口=/+〃-〃'，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出

W=-（CA+CB\CD*2*=3+-ab

2、7,由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得出2,利用正弦定理結(jié)

j11-2

合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得ab的取值范圍，可得出°。的取值范圍，即可得解

【小問1詳解】

----------=tan6+tanC

由c?cosB,

V3sinA_sin5+sinC_sinB-cosC+cos5-sinC_sin(5+C)_sin/

sinC-cosBcos5cosCcosB-cosCcos5-cosCcos5-cosC

sinC=V3cosCCe(0,乃)tanC=G0=5

，，，?

【小問2詳解】

CD^(CA+CB^CD^^(CA+CB^CD2=^(a2+h2+

22222

由余弦定理有：c=a+b-abt\2=a+b-ab,

CD2=-(a2+b2+ab}CD2=-(\2+2ab}=3+-ab

所以八<4V72

ah2>/3.

------=-------=—j=^=4

ah°sin%sin8J3

由正弦定理sinZsin5sinC,2,〃=4sinZ,b=4sinBy

CD2=3+—a/?=3+8sinsin5=3+8sinsinI至一/

2(3

=3+8sin/sin——cosA-cos——sin/

I33

=3+8sinZ——cos4+—sin/

22

=3+4GsinZcos/+4sin2/=3+2Gsin24+2(1-cos24)

、

sin2/-工cos2/

=5+45+4sin(2/一看

2

7

C/52=5+4sin(2J-^

0<A<-A+O-

,因?yàn)锳/8C為銳角三角形，所以2且2

7171

AG表2/丁咚則82G。9],Seg,3]

則Z'5

19.如圖，在三棱柱NBC-48cl中，4/=48=4。=2&,AB=AC=2,

ABAC=90°

（1）證明：平面"0CJ?平面'4G；

（2）求四棱錐4片的體積.

476

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】

【分析】（1）取8C的中點(diǎn)加，連ZM,A'M,證明4M與底面Z8C垂直，得面面垂

直，再由棱柱上下底面平行得證結(jié)論；

（2）由棱柱、棱錐體積得,MCG用一〃4—"C,計(jì)算三棱錐體積可得結(jié)論.

【詳解】（I）如圖，取8C的中點(diǎn)M，連力M,A'M,

因?yàn)?B=4C=2,ABAC=90°t

所以8c=2&,AM=42t

又因?yàn)?8=4。=2近，所以4M=取

在A4，”中，由4月=2后，滿足4I=Z"+4",

所以4MJ_4A/,且4V_L8C,BCcAM=M,BC,力〃u平面

所以4M，平面/sc,

又平面48C,所以平面48cL平面/Be,

又平面NBC〃平面4月G,所以平面48c_L平面481G

V=—1/

（2）由（1）可知4M■平面Z6C,4-配3皿向G,

y—Tiz_）義＞%）%、瓜—竺叵

所以四棱錐“小。4的體積〃-仆_2%,一2、3、2，，6一亍

20.已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)耳、右焦點(diǎn)鳥都在x軸上，點(diǎn)加是橢圓E上的動(dòng)

點(diǎn)，4的面積的最大值為后，在x軸上方使崢,4=2成立的點(diǎn)〃只有一個(gè).

（1）求橢圓后的方程；

（2）過點(diǎn)（T，°）的兩直線L,2分別與橢圓E交于點(diǎn)A,8和點(diǎn)C,D,且卬2,比

較12（|相|+|8|）與7|"B||CD|的大小,

【答案】⑴丁5=1⑵儂回+|CQ|）=7|例網(wǎng)

【解析】

-Q+=1（Q>/>>0）

【分析】（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓E的方程為a-b,由已知分析得

hc=y[i

22

<MF^MF\=b-c=2a=2,,

c7a,解得M=百，即得橢圓E的方程為4+3一.⑵先證

明直線AB的斜率為0或不存在時(shí)，I?《叫+S）=7|明|卬再證明若的斜率存

在且不為。時(shí)，必叫+曲1）=7|陽印

22

xv

~r—7=1（?！?〉0）r~^

【詳解】（1）根據(jù)己知設(shè)橢圓石的方程為。b,c=Na-h

在X軸上方使訝=2成立的點(diǎn)“只有一個(gè),

在x軸上方使MF\-MF『2成立的點(diǎn)“是橢圓E的短軸的端點(diǎn).

be=也

22

<MFcMF\=b-c=2

c=\la2-b2

當(dāng)點(diǎn)M是短軸的端點(diǎn)時(shí),由已知得

4=2

解得

橢圓K的方程為43.

(2)^AB\+\CD\)^\AB\\CD\

262

若直線的斜率為0或不存在時(shí)，M?=2"4且Q必a=3或|8|=2"4且

|^5|=—=3

12(陽+卬|)=12x(3+4)=84

III,

7|/即CO|=7x3x4=84.124/回+|8|)=7.則C0|

若的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)力8：，="(x+l)G*0),

y=左(％+1)

x2/_

W丁=產(chǎn)(4左2+3)?+8左2%+4左2-12=0

由

8公4——12

設(shè)"（XQJ,。（看必），則”*4左之+3,**4k2+3