2022-2023學(xué)年廣東省廣州市高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題2含答案

2022-2023學(xué)年廣東省廣州市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1,已知集合"=N噸I<x47},則“UN=（）

A{x|-2<x<7}B{x|l<x<5}

c{x|-2<x<7}D*|14x<5}

【答案】C

【分析】根據(jù)并集運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?={'H<X<5},N={x[l<x47},

所以MuN=（-2,7],

故選：C

2.”G>揚(yáng)，，成立是“a>b>0”成立的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】求出不等式的等價(jià)條件，根據(jù)充分條件和必要條件與不等式的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由&>加得a>b20,

則a>620是a>b>0的必要不充分條件，

故選：C.

3.若扇形的弧長(zhǎng)為8cm,圓心角為2弧度，則扇形的面積為（）

A.87rcm2B.8cm2Q16cm29167tcm2

【答案】C

【分析】利用扇形的面積計(jì)算公式即可得出答案.

【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為/,圓心角為

扇形的弧長(zhǎng)為8cm,圓心角為2弧度，即/=8,a=2,

':l=\a\r,可得/'=4,

S=—/?/,=—x8x4=16fcm2）

,該扇形的面積22V\

故選：c.

cos-n-a

4.已知以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為始邊的角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)R3,-4）,則12J的值

等于（）

34_3_4

A.5B.5C.5D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義確定sina的值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.

-44

sina=i==——

【詳解】解：角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（3,-4）,則*2+（-4），

（31.4

所以12J5.

故選：B.

5.已知實(shí)數(shù)a,6滿足/+〃=。6+1,則6的最大值為（）

A.1B.2C.4D.^2

【答案】B

尸

【分析】利用基本不等式。＞°力＞°時(shí)，4，構(gòu)造基本不等式，求出的最大值

【詳解】因?yàn)?+/=必+1,

（a+=3ab+l＜^a+b^+1

所以4,

可得（"+6）244,即。+%2,

所以a+人的最大值為2,

當(dāng)且僅當(dāng)"=6=1時(shí)，等號(hào)成立

故選:B.

6.在人類用智慧架設(shè)的無(wú)數(shù)座從已知通向未知的金橋中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的

一座.已知A為銳角A/8C的內(nèi)角，滿足sin/-2cos"+tan4=l,則（）

【答案】C

【解析】設(shè)設(shè)/（"）=sin"-2cos'+tan'-l,則/⑷在1°，引單調(diào)遞增，再利用零點(diǎn)存在定理即

可判斷函數(shù)［(')的零點(diǎn)所在的區(qū)間，也即是方程sin“-2cos/+tan/=1的根所在的區(qū)間.

【詳解】因?yàn)锳為銳角”8C的內(nèi)角,滿足sin4-2cos/+tan4=l,

J(")在1°‘萬(wàn))單調(diào)遞增，

設(shè)/(4)=sin/-2cos力+tan力-1貝?

/(0)=sin0-2cos0+tan0-1=-3<0

2cos—+tan--1=--^-<0

在〔2)取*"得■/⑷4442

/f—^sin--2cos—+tan--1=—%>。

V3J3332

」乃、J八

sinJ-2cosA+tanA-I

囚力、'，7,也以“''H'J奇忌僅?丁IAI用、/，

即滿足$出/-285/+1211/=1的角/€14'3人

故選：c

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是令'（"A

:sinJ-2cosJ+tanJ-l；根據(jù)零點(diǎn)存在定理

判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間.

/（x）</f—1

7.已知函數(shù)/（x）=sin2xcosg+cos2xsins（xcR）,其中。為實(shí)數(shù)，且19J對(duì)任意實(shí)數(shù)

r=/伊］

R恒成立，記A%人161,則p、q、/"的大小關(guān)系是（）

A.r<p<qB.q<r<p

C.p<q<rD.q<p<r

【答案】C

【分析】利用和角的正弦化簡(jiǎn)函數(shù)”X），再求出夕的表達(dá)式，然后利用正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小作

答.

=sin（2x+。），因?yàn)?，。?，（9）對(duì)任意實(shí)數(shù)R恒成立，

［詳解］/（x）=sin2xcose+cos2xsine二

_2兀27171._C7兀7r7

x=—2:x——+0=2攵兀+—,攵GZ0=2&兀+—,kGL

則當(dāng)9時(shí)，/（X）取得最大值，因此92,即318

.25TI.7兀./7K.

=sin(2x+￡),%GZp=sin---=-sin——=sin(----)

181818,

.31K./5兀、.43花.7兀兀7兀5兀77i兀

q=sin---=sin(----)r=sin---=sin———<---<----<—<—

1818,1818,顯然21818182,

r兀兀］?Z7兀、?/5兀、*/7兀、

.I——Jsin(----)<sm(---)<sm(—)

正弦函數(shù)夕=s】nx在22上單調(diào)遞增，即有181818,

所以P<”〃.

故選：C

8.已知定義在R上的函數(shù)"x）滿足：/（X）為奇函數(shù)，/G+1）為偶函數(shù)，當(dāng)0041時(shí),

"x）=2'T,貝〃（1。比2023）=（）

999251024512

A.-1024B.-2048C.-2023D.一頻

【答案】A

【分析】由/G）為奇函數(shù)，/（x+1）為偶函數(shù)可知/（龍）為以4位周期的周期函數(shù)，且關(guān)于

（2%，°求eZ點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于x=l+2%,%eZ軸對(duì)稱，利用周期性與對(duì)稱性可化簡(jiǎn)

2023

/(log2023)=-

2代入八）=21

1024即可得出答案.

【詳解】因?yàn)?（X+1）為偶函數(shù),

所以/（x+l）=〃r+l）,

所以/（r）=〃x+2）,

又/㈤為奇函數(shù)，即/(-x)=-/(x)

所以-/(X)=/(X+2)n/(X+4)=-/(X+2)=/(X)

所以/（“）的周期為4,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的周期性與對(duì)稱性，屬于難題.解本類題型一般可借助正弦曲線與余

弦曲線幫助我們理解其對(duì)稱性與周期性.

9.凈水機(jī)通過(guò)分級(jí)過(guò)濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其中第一級(jí)過(guò)濾一般由孔徑為5

微米的PP棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物

等各種大顆粒雜質(zhì).假設(shè)每一層尸產(chǎn)棉濾芯可以過(guò)濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，過(guò)濾前水中大顆粒

雜質(zhì)含量為50mg/L,若要滿足過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過(guò)2.5mg/L,則尸P棉濾芯層數(shù)最少

為（）（參考數(shù)據(jù)：收2=0.30,lg3=0.48）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

50x俏]<2.5

【分析】根據(jù)題意得到不等式,解出答案.

見(jiàn)=50x（1」]=50x/2

【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)〃層PP棉濾過(guò)濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為為,則I13

兩邊取常用對(duì)數(shù)得："叼”燈,即〃（吆3Tg2）21+lg2,

因?yàn)槭?.30,lg3x0.48,

、65

所以（0.48-。.3。）〃21.3。，解得「避，

因?yàn)椤癳N",所以〃的最小值為&

故選：B

10.已知函數(shù)〃x）=|2'-m|的圖象與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，若函數(shù)/（x）與函數(shù)g（x）在區(qū)

間口，2]上同時(shí)單調(diào)遞增或同時(shí)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

-,2

A.[2」B.[2,3]

U[4,+oo）

C.（2」D,[4,+oo）

【答案】A

【分析】由題意可得g（x）=/（r）=|2T-，”l,利用特殊值，分別令旭=2,或m=1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)

性即可判斷.

【詳解】解：函數(shù)的圖象與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，

.-.g(x)=f(-x)=l2-x-ml

x

若m=2時(shí)，〃x)=|2*-2|,當(dāng)x>l時(shí)，f(x)=2-2t函數(shù)/(x)單調(diào)遞增,

g(x)=|2-，-2|,當(dāng)2T一2<0時(shí)，即x>-l時(shí)，g(x)=-2-，+2,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

故當(dāng)，〃=2時(shí)，滿足函數(shù)"X)與函數(shù)g(x)在區(qū)間［1,2］上同時(shí)單調(diào)遞增，故排除C,D,

若朗=1時(shí)，〃x)=|2'-l|,當(dāng)2,一1>0時(shí)，即x>0時(shí)，/(x)=2'-l>函數(shù)/(x)單調(diào)遞增,

g(x)=|2-，-l|,當(dāng)2―1<0時(shí)，即x>0時(shí)，g(x)=-，，-l,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

故當(dāng)機(jī)=1時(shí)，滿足函數(shù)八刈與函數(shù)8口)在區(qū)間口，用上同時(shí)單調(diào)遞增，故排除8,

其圖象為

故選：A.

二、多選題

11.下列化簡(jiǎn)正確的是()

21~log23_2

B.3

有

C.=D.%=占

【答案】BC

【分析】將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)基，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得到正確答案.

【詳解】行7=療=3口=33,人錯(cuò)誤；

7

2,_|OJ?23_2:2喻3=2—3=—

3,B正確；

?1

,-1/（?\5

，秒=的）=9，=92=近

IJI）,C正確；

x可得到x<0,從而xx,D錯(cuò)誤.

故選：BC

?（x+2,x<-1

/（外={..、

12.已知函數(shù)[x2-+LT<x<2,關(guān)于函數(shù)〃x）的結(jié)論正確的是（）

A./（X）的定義域是RB."X）的值域是（f，5）

C.若f（x）=3,則x的值為&D./（〃T））=2

【答案】BCD

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用代入法逐一判斷即可.

【詳解】A：函數(shù)的定義域?yàn)椋╕°，2）,所以本選項(xiàng)不正確；

B：當(dāng)XV-1時(shí)，=

當(dāng)-l<x<2時(shí)，”x）mm=〃O）=l,/（-I）=2J（2）=5,所以有1</（x）<5,

綜上所述：〃x）的值域是（一嗎5）,所以本選項(xiàng)正確；

C：當(dāng)x4T時(shí)，/（x）=3=>x+2=3=>x=l,不符合x4T；

2

當(dāng)-l<x<2時(shí)，/（x）=3=>X+1=3=>X=V2>或x=_及不符合7cx<2,

綜上所述：當(dāng)，（x）=3時(shí)，x的值為夜，所以本選項(xiàng)正確；

D：/（/（-0）=/（1）=2,所以本選項(xiàng)正確，

故選：BCD

13.函數(shù)/G）=/sin3x+9）（N>0M>0,0<9<兀）的部分圖象如圖所示，則（）

C./（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2°22,0）對(duì)稱

D."2x）在R,4］上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，由圖象得到力=1,4,求出T=8,4,再代入結(jié)合

°＜。＜兀求出4,求出函數(shù)解析式，計(jì)算出2,AB正確；將2022代入解析式,

〃2022）=sin（」）=-也工x+M|'”史一

利用誘導(dǎo)公式求出2,c錯(cuò)誤；整體法求出24L44」，結(jié)合正弦

函數(shù)圖象，得到其單調(diào)遞增，D正確.

17'=3-1=2

【詳解】從圖象可知：4=1,4,解得：7=8,

(o=-=-/(x)=sin住x+w

即84,則14

/、sin—+(p=1

將(甲)代入解析式，得14J,

7171571

—<---V(p<----

因?yàn)?<°(兀，所以444,

兀兀7171

——+°=_(P=—CD+(p=-

所以42,解得：4,故2,A正確:

71兀)3

/(x)=sin—X+—/(-2)=sin(-j+^

12,B正確;

故44

/(2022)=sin-x2022+-

當(dāng)x=2022時(shí),44

故/（X）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（2022,0）對(duì)稱，c錯(cuò)誤;

,/(2x)=sin^x+^當(dāng)xe[3,4]時(shí)，+%7兀9兀

T'T

7兀9兀

Z€,

由于y=sinz在L44」上單調(diào)遞增，

故/（2x）在[3,4]上單調(diào)遞增，D正確.

故選：ABD

14.設(shè)函數(shù)/G）=J（"+M+…（"R）,則（）

A.存在實(shí)數(shù)。，使“X）的定義域?yàn)镽

B.若函數(shù)/G）在區(qū)間@+8）上遞增，則“c[T,O]

C.函數(shù)/（X）一定有最小值

D.對(duì)任意的負(fù)實(shí)數(shù)。，/（*）的值域?yàn)镻+8）

【答案】ABC

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)的單調(diào)性與最值情況分別判斷各選項(xiàng).

Ja+l>0]

【詳解】A選項(xiàng)：函數(shù)/（*）=J（a+l*+x-a（aeR）,當(dāng)0時(shí)，即"一]時(shí),

其定義域?yàn)镽，故A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)：當(dāng)。+1<0,即"-1時(shí);函數(shù)片（°+1）/+*-”在1%2a+2）上單調(diào)遞增，在

I2a+2J上單調(diào)遞減，不成立；

當(dāng)a+l=0,即”=-1時(shí)，在（7，田）上單調(diào)遞增，滿足在區(qū)間1°，+00）上遞增，成立;

…，-00,--L_

當(dāng)a+l>0,即“>-1時(shí)，函數(shù)>-（"+6+廠"在I2a+2J上單調(diào)遞減，在

12a+2'8）上單調(diào)遞增，故一24+2',且/（O）=G*O,即-1<。40；綜上所述，若函數(shù)

/（X）在區(qū)間@+"）上遞增，"卜1，°],故B選項(xiàng)正確；

CM：由1-（。+1）（-。）=4/+4"120恒成立，

f(x)=](〃+1)4、+x-a=J[(a+])x_a}(x+1)

x=T時(shí)取最小值為0；

當(dāng)"T且"5時(shí)'/（X）在x=T或"。+1時(shí)取最小值為0；當(dāng)。=-1時(shí)，/（x）=G^,

x=T時(shí)取最小值為0：

a

當(dāng)a>T時(shí)，/（X）在尸-1或、一。+1時(shí)取最小值為0；故C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)：當(dāng)"彳時(shí)，其值域?yàn)檫常?/p>

1-4a2-4a-I

X=__!_

當(dāng)且時(shí)，/G）在X__2.+2時(shí)取最大值為2。+2%。+1),其值域?yàn)?/p>

—4a2—4a—1

0,

4(tz+l)

」，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：ABC.

x=2Ef（x）=§a

15.函數(shù)〃x）=asinx+bcosx,觸.0）的圖象關(guān)于.一7對(duì)稱，且八‘。尸S，則（）

424

A.525

【答案】ACD

_兀

［分析］將/（x）=asinx+bcosx,（M/0）化簡(jiǎn)，結(jié)合其圖象關(guān)于*一不對(duì)稱,|/(^)|=V777

可得6

廠fGo）=_Qsin/+；=一

化簡(jiǎn)得6=13a,故結(jié)合''5,根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)可得I3J5,判斷A；利用誘導(dǎo)

7

公式即可判斷C;利用二倍角余弦公式可求得25判斷B;結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷D.

/(x)=asinx+6cosx=y/a2+b2sin(x+(p),(sin(p=/,,cos(p=,a)

【詳解】由題意知函數(shù)y!a2+b2

x—I_t

函數(shù)/(x)=aSinX+6cosx,(abX°)的圖象關(guān)于-6對(duì)稱,

|/(—)|=^a2+h2\—a+^-b\=-\la2+b2

則6,即122,

化簡(jiǎn)即得（Go-bf

又‘即f(xQ)=asin與+力cosxQ=asinxQ+也acosx0

=2asin(xo+|)=|?sin'+J：

JJ,即\/A正確;

cos|-x0|=cos[—-(x0+—)]=sin(x0+—)=—

C正確；

B錯(cuò)誤;

sin[^-(y-2x)]=cos(y-2x)=(

sin00

D正確,

故選：ACD

,f（x）=cos2x+|V3sin2x||

16.已知函數(shù)?12I則（）

71

A./（X）的最小正周期為5

_尿/,y\

B."x）的圖象關(guān)于直線x-萬(wàn)，€,對(duì)稱

一19兀11—

C./G）在112'6」上單調(diào)遞減

D.g（x）=/（x）7在卜5°5兀，5。5向上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4041

【答案】BCD

【分析】賦值滿足最小正周期的數(shù)即可判斷A；利用對(duì)稱軸的定義對(duì)B選項(xiàng)判斷；根據(jù)區(qū)間把函數(shù)

/'(x)=2cos2x+—

I3先分析/（x）的周期和奇偶

變形為,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng);

性，再分析8（“）在一個(gè)周期的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而可以判斷D.

【詳解】對(duì)于A,

4兀FT.47113

cos-----F5/3sin—一一十一=1

3322

兀

即一（X）最小正周期不是5,故A錯(cuò);

kint）_（E]kit

—+x=cos2x+—+VJsin2x+—（keZ）

222

對(duì)于B,

=|cos（2x+E）+|\/Jsin（2戈+ZTI）||

=|cos（2x+^7t）+|>/3sin2x||

Gsin2（與-x

f+（hZ）

=|cos（kn-2x）+|V3sin（kit-2x）||

=|cos（2x-E）+|V3sin2x||=|cos（2x-4兀+2%兀）+

=|cos（2x+ATT）+|V3sin2.r||

ku

x

_kn

"X~2,%eZ是/(x)的對(duì)稱軸，B正確:

19兀117C19K1IK

VXG2xG

IT'T

對(duì)于c,63

.?.sin2x<0,即|6sin2x|=-Gsin2x,

3兀7?！?1I

*.*2.XH—G—,4Kcos2xH—>0

32I3j

，/（x）=2cos（2x+g[t=2x+-/e女,4兀

<3九令3,2

24兀

則歹=2cosf在_」內(nèi)單調(diào)遞增，故C對(duì);

對(duì)于D,由/（T）=k°s（-2x）+|Gsin（-2x）|

_|cos2x+|\/3sin2x|=/（x）\

，'/(x)是偶函數(shù),

f（x+7t）=|cos2（x+7t）+|\/3sin2（x+rt）||

=|cos（2x+2兀）+|V3sin（2x+2兀）||

小s2x+|Gsin2x卜\"x)周期為兀,

即g(x)也是偶函數(shù)，周期也是兀.

先分析g（x）在［0,可上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

「八兀）

XG0,-I_r、

當(dāng)L2J時(shí)，2工￡［0,兀），sin2x>0,

g（x）=|cos2x+sin2x|-1=2cos-1=0

_兀_兀

解得或*=5或x=o；

XG—,7tr

當(dāng)L2J時(shí)，2xe［7t,2n）,sin2x<o；

?,.g（x）=|cos2x-V3sin2^|-l=2cos［2x+y］-1=0

_n_2兀

解得或x=7；

當(dāng)》=兀時(shí)，也符合題意；

綜上，g（x）在［0戶］有4+1=5個(gè)零點(diǎn)，

.?.8（》）在［°，5。5兀）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有4*505=2020,

g。）在57t*°5兀）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有2x2020=4040

g（x）在卜505兀,505兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有4040+1

=4041

???D選項(xiàng)正確.

故選：BCD

三、解答題

17.已知函數(shù).2-x

⑴求函數(shù)/（X）解析式；

（2）判斷函數(shù)/（X）的奇偶性并加以證明;

⑶解關(guān)于x的不等式/（x）N電3.

【答案】（1/3=.xe（-l,l）

（2）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析

-<x<l

⑶2

【分析】（1）通過(guò)換元法直接求出，注意定義域；

（2）通過(guò)解析式得出/（T）的式子，變形化簡(jiǎn)即可得出"r）=—/。），即可得出答案;

1g■：X+121g3、X--+--123

（3）將1-工通過(guò)對(duì)數(shù)單調(diào)性得出1-工，即可由分式不等式的解法得出答案.

【詳解】⑴"1"檐二的定義域?yàn)閤e（Q2）,

令，=x-i,則x=/+i,且

則/（'Rg罟，

即/㈤5言，x?Tl）；

/（-X）=1g尹=Igf丫…曰=_/（X）

（2）1+x\1—xJx

則函數(shù)/（X）為奇函數(shù);

⑶小)=愴三，xe(Tl),

/3納/言瑛3,

^il>32120

則1-x，化簡(jiǎn)為I—,

(2x-l)(l-x)>0

即［"I,

-<X<1

解得2

/,（x）=—sin2tyx-VJcos2cox+—_-（<y>0）

18.已知函數(shù).22,其圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

7V

I.

（1）求函數(shù)/（X）的解析式及對(duì)稱中心；

（2）將函數(shù)/（X）的圖象向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象,

~n2T一

若關(guān)于x的方程［g（x）F+（加+2）g（x）+2m=°在區(qū)間16'3」上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)加的

取值范圍.

/(x)=V3sin(2x-專k7l711

+9/?rj、-^3<m<

"Tn^2/￡Z).2

【答案】（1）H對(duì)稱中心(2)

1+cos2a)x+百-1f(x)=VJsin(~71]_

f(x)=—sin2a)x-百?Z.COX------

【分析】(1)先將222,轉(zhuǎn)化為62

7t

再利用圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為5,求得周期，進(jìn)而可求得解析式與對(duì)稱中心.

⑵根據(jù)圖象變換得到g(x)=^sin2x,再將[g(x)f+G〃+2)g(x)+2w=0,轉(zhuǎn)化為

y=g(x)

[g(x)+2][g(x)+〃?]=0,解得g(x)=-2(舍)，g(x)=一叫再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化)二一機(jī)有兩個(gè)不同交

點(diǎn)的問(wèn)題求解.

1+cos2cox6-1

/(x)=—sin2<vx-\/3--------------+--------

【詳解】(I)，222

3.1粗、1

=—sin2ox------cos2a>x——

222

=Gsin[2妙一：)一￡

2

71

V圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

：.T=7T,69=1

/(x)=6sin(2x一高一;

2

c4，kTl7T

2X------=K7TX=——+—

由6k￡Z得212,A:GZ

k7U711

+，-

???對(duì)稱中心TT22,(*eZ)

(2)g(x)=6sin2x

由[g(x)F+(加+2)g(x)+2加=0,

，[g(x)+2][g(x)+m]=。，

g(x)=-2(舍)，g(x)=-tn

y=g(x)

問(wèn)題轉(zhuǎn)化y=~m有兩個(gè)不同交點(diǎn).

n2714

VXG一,一冗2xe一,一兀

6333

7171

g(x)￡|,6

???當(dāng)時(shí)，g(')遞增,此時(shí)

7127V如)￡一|,石

XG

當(dāng)」時(shí)，g(x)遞減，此時(shí)

33

—＜一加＜石一百＜m＜——

由圖象知：2，即2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的

能力，屬于中檔題.

19.如圖，風(fēng)景區(qū)的形狀是如圖所示的扇形Z8C區(qū)域，其半徑為2千米，圓心角為60”,點(diǎn)尸在弧

BC上.現(xiàn)欲在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道PQ,PR，RQ,要求街道PQ與AB垂直（垂足。在Z8上），

街道H?與48平行，交ZC于點(diǎn)R

（1）如果P為弧8c的中點(diǎn)，求三條商業(yè)街道圍成的APOR的面積：

（2）試求街道RQ長(zhǎng)度的最小值.

百病_6

【答案】（I）（2）最小值為一3一千米.

【分析】（1）結(jié)合已知角及線段長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義及扇形面積公式可求；

（2）由已知結(jié)合銳角三角函數(shù)定義及勾股定理可表示R。，然后結(jié)合同角平方關(guān)系，輔助角公式進(jìn)

行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求.

【詳解】連接“尸，過(guò)R作垂足為D

（1）當(dāng)尸為弧8C的中點(diǎn)時(shí)，NP/Q=3。，

在△/尸。中，AP=2,尸。：。，故尸。=1,/。=百，

在△//?￡）中，RD=PQ=l,NRAD=6Q。,所以茄S60=G,則仞=行，

RP=DO=4i--=—

所以33,

S=-PQRQ=—

在直角三角形PRQ中，△PQR的面積23.

c

—=tan600=x/3AD=—sin0RP=DQ=2cos0-—sin0

又⑨，則3,所以3

RQ2=PR2+PQ2=(2cos0-—sin0)2+(2sin0)2

在直角三角形PR。中，3

=--—(cos20+2\/3sin20)=--2^11.sin(2^+q>)tanp=<<p<—