2022-2023學(xué)年蘇教版必修第一冊(cè)三角函數(shù)應(yīng)用講義

專題7.4三角函數(shù)應(yīng)用

一、考情分析

考點(diǎn)1三角函數(shù)模型的建立程序

（1）審題

三角函數(shù)應(yīng)用題的語(yǔ)言形式多為文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，閱讀材料時(shí)要讀懂題目所反映的

實(shí)際問(wèn)題的背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么，求什么，從中提煉出

相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

（2）建模

根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù)，找出變化規(guī)律，運(yùn)用已掌握的三角知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)

建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，即建立

三角函數(shù)模型.其中要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想以及圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言并用的思維方式.

（3）解模

利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)，結(jié)合題目的要求，對(duì)得到的三角函數(shù)模型予以解答，求出結(jié)

果.

（4）結(jié)論

將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題的答案，應(yīng)用題不同于單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題，既要符合科學(xué)，又

要符合實(shí)際背景，因此，有時(shí)還要對(duì)于解出的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判.

要點(diǎn)詮釋：

實(shí)際問(wèn)題的背景往往比較復(fù)雜，而且需要綜合應(yīng)用多門學(xué)科的知識(shí)才能完成，因此，在

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動(dòng)相

關(guān)學(xué)科知識(shí)來(lái)幫助解決問(wèn)題.

二、題型突破

例1.(1)、(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，矗立于倫敦泰唔士河畔的倫敦眼是世界

上首座、也曾經(jīng)是世界最大的觀景摩天輪.已知其旋轉(zhuǎn)半徑為60m,最高點(diǎn)距地面135m,

運(yùn)行一周大約30min,某游客在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第lOmin時(shí)他距地面大約為

()

A.95mB.100mC.105mD.110m

【答案】C

【分析】

設(shè)人在摩天輪上離地面高度(米)與時(shí)間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系為

/(f)=Asin(of+9)+3(A>0,。>0,0e。2萬(wàn)))，根據(jù)已知條件求出/⑺=-60cosf+75,

再求”10)得解.

【詳解】

設(shè)人在摩天輪上離地面高度(米)與時(shí)間(分鐘)的函數(shù)關(guān)系為

f(t)=4sin(初+0)+5(A>0,刃>0,0￡[0,2%)),

2471

由題意可知A=60,3=135—60=75,T=——=30,所以。=一，

CD15

gp/(0=60sin^/+^+75.

又因?yàn)?0)=135-120=15,

34

解得sing=-l,故9=5-,

所以fQ)=60sin(g+?)+75=-60cos*+75,

所以/(10)=-60xcos^+75=105.

故選：c

（2）、（2021?重慶江津?高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，某大樓AB旁有一山坡，其斜坡CD的坡度（或

坡比）i=1:2.4,山坡坡面上點(diǎn)E處有一休息亭.某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)得山坡坡腳C與大樓水平

距離8c=14米，與休息亭距離CE=39米，并從E點(diǎn)測(cè)得大樓頂部點(diǎn)A的仰角為56。，點(diǎn)A,

B,C,D,E在同一平面內(nèi)，則大樓AB的高度約為（）

（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin56°a0.83,cos56°?0.56,tan56°?1.48）

上

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

HC

A.89.0米B.74.2米C.74.0米D.59.2米

【答案】A

【分析】

過(guò)點(diǎn)E分別作底面，EFLAB,然后根據(jù)題意分別求出ARE?,最后相加即可求出

答案.

【詳解】

如圖，過(guò)點(diǎn)E作底面垂線EE',于尸，

因?yàn)樾逼翪D的坡度i=1:2.4,所以E?:CF=1:2.4

設(shè)￡E'=x,CE'=2Ax,在R/ACEF中,CE2=CE'2+EE'2,BP392=x2+（2.4x）2,

解得x=15,則E￡=15,CE'=36,

所以CE'+BC=50,

因?yàn)樵贓點(diǎn)測(cè)得大樓頂部點(diǎn)A的仰角為56。,tan56°*1.48

Ap

JWWtan56°=—,AF=50x1.48=74

AB=AF+x=15+74=89,

故選：A

A

(3)、(2021?江蘇?鹽城中學(xué)高一月考)三國(guó)時(shí)期，吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽繪制"勾股圓方圖”證明了

勾股定理(西方稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理").如圖，四個(gè)完全相同的直角三角形和中間的小正方

形拼接成一個(gè)大正方形，角。為直角三角形中的一個(gè)銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面

積就與大正方形面積邑之比為1:25,則cos(a+=()

A,正B一堂C.迪D.一述

10101010

【答案】D

【分析】

如圖。由題意得。E=OCcosa=EC-E，=￡>Csina-：Z)C,從而可得sina-cosa=：,給

247

等式兩邊平方化簡(jiǎn)后得2sinacosa=『，從而可求出sina+cosa==,而

255

cos(a+￥)=cosacos'-sinasin'=_*(sina+cosa),進(jìn)而可求得答案

【詳解】

由題意得OC=5￡〃，因?yàn)镃E=OCsinc,

DE=DCcosa=EC-EH=DCsina--DC,

所以sina-cosa=(,則l-2sinacosa=￡,

24

所以2sinacosa=——,

所以(sina+cosa)~=l+2sinacosa=—,

因?yàn)閍e(O,X),所以sina+cosa=1,

25

匚34..34

加「以cosa+——=cosacos------sinsin——

I4J44

V2

=------(sina4-cosa)

y/2775/2

----X—=

2510

故選：D

（4）、（2021?福建?模擬預(yù)測(cè)）（多選題）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心。距離

水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)尸從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)?）

開(kāi)始計(jì)時(shí)，則（）.

A.點(diǎn)尸第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒

B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)尸距離水面2米

C.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)P在水面下方，距離水面2米

D.點(diǎn)P距離水面的高度力（米）與（秒）的函數(shù)解析式為〃=4cos[4/+1]+2

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)題意求出點(diǎn)P距離水面的高度/?（米）和時(shí)間（秒）的函數(shù)解析式為

〃=4sin（gf—31+2,結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.

[JUo7

【詳解】

設(shè)點(diǎn)尸距離水面的高度〃（米）和時(shí)間（秒）的函數(shù)解析式為

h=Asin（（yf+e）+A>0,<y>0,|9|<二],

=A+B=6A=4

%,=A-8=-28=2

2兀7T

由題意得:7=—=60解得，CD=—=一

T30

/?（0）=Asin（（y-O+^）+B=0花

(p=--

6

故/2=4sin（2r-1]+2.故。錯(cuò)誤；

對(duì)于4令/?=6,即人=4sin（Wf-Z]+2,解得：/=20,故A正確；

（3Uo）

對(duì)于8,令1=155,代入〃=4sin（gf-2]+2,解得：h=2,故B正確;

<3。6）

對(duì)于C,令f=50,代入a=4sin（白f-g]+2,解得：h=-2,故C正確.

（306）

故選:ABC

【變式訓(xùn)練1-1】、（2021?江蘇?高一專題練習(xí)）某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)。的距離為5cm,

秒針均勻地繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間f=0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)8重合，將A、8兩點(diǎn)的

距離”（cm）表示成:（s）的函數(shù)，則〃=,其中止[0,60].

【答案】lOsin^

60

【分析】

設(shè)函數(shù)解析式為"=44"曰+9），由題意代值可得解.

【詳解】

設(shè)函數(shù)解析式為”=Asin（a+e）,

由題意易知4=10,

當(dāng)f=0時(shí)，"=0,得9=0；

當(dāng)f=30時(shí)，d=10,

可得3=二，所以d=10sin包，

6060

故答案為：lOsin更

60

【變式訓(xùn)練1-2】、（2020?江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)高一月考）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌

溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在農(nóng)政全書中用圖畫1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定

的情況下，簡(jiǎn)車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖2,將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形圓,

筒車的半徑為4m,筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到水面的距離為2m,筒車每分鐘沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)

4圈.規(guī)定：盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)即月時(shí)的位置時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，且以水輪的圓

心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系直投設(shè)盛水筒M從點(diǎn)月運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為f（單位：S）,則點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間為（）

圖1圖2

13

A.7B.—sC.6D.5

2

【答案】D

【分析】

設(shè)點(diǎn)P離水面的高度為/Q）=Asin（由+S）,根據(jù)題意求出A①夕，再令/"）=4可求出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)尸離水面的高度為了⑺=Asin（of+8），

依題意可得A=4,。=駕=與，S

60156

所以〃f）=4sin（|gf-m）,

156

令/Q）=4sin（工f-g）=4,得sin（§f-￡）=l,得名.一g=2Z4+g,keZ,

1561561562

得，=15攵+5,keZ,

因?yàn)辄c(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)，所以（方’，

15

所以左=0,f=5s.

故選：D

【變式訓(xùn)練1-3】、(2021?浙江?高一期末)如圖，"趙爽弦圖"是由四個(gè)全等的直角三角形和一

個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)大正方形ABCD的面積為耳，小正方形EFG”的面積為

S.u,

S2,且不=5,則tanNA￡)E=()

C.2D.3

【答案】B

【分析】

設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為正a,則由已知條件可得小正方形的邊長(zhǎng)為“，設(shè)AE為x,在在

心中，由勾股定理得，(、萬(wàn)a)2=f+(x+a)2,可求得x=〃，所以

..AEa1

tanZADE==——=—

DE2a2

【詳解】

解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為其，

因?yàn)榇?5,所以==5,得S,=/,

所以小正方形的邊長(zhǎng)為。，

所以AB=BC=CD=DA=后,EF=FG=GH=HE=a,

設(shè)4E為x,])^DH=CG=AE=BF=x,

在RzZVLDE中，由勾股定理得，AD2=AE2+DE2

所以(石〃)2=/+(%+〃)2,

解得％=?；?=-勿(舍去)，

AFfi1

所以tanNAOE=—=-=-

DE2a2

故選：B

【變式訓(xùn)練1-4】、(2021?全國(guó)?高一專題練習(xí))某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)

系可近似地用三角函數(shù)丫=。+AcosJ(x-6)(x=l,2,3,…/2)來(lái)表示，已知6月份的月平均

O

氣溫最高為28℃,12月份的月平均氣溫最低為18℃,則10月份的平均氣溫值為.

【答案】20.5

【分析】

7T

由題意得28=a+A,18=a-A,解得。=23,A=5,故y=23+5cos—(x-6),再計(jì)算x=10

o_

時(shí)的函數(shù)值即可.

【詳解】

71

解：據(jù)題意得28=a+A,18=n+Acos-(12-6)=a-A

6

解得。=23,A=5

所以y=23+5cos-(x-6)

_6_

令x=10得y=23+5cos-(10-6)=23+5cos—=20.5

6J3

故答案為:20.5

例2.(2020.上海靜安.高一期末)如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足

(7t、

函數(shù)y=3sin—x+(p+k.

、6>

(1)求女的值；

(2)求這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值.

【答案】（I）k=5；（2）這段時(shí)間水深的最大值是8m.

【解析】

(1)圖知：ymin=2,因?yàn)?gt;min=-3+Z,

所以一3+%=2,解得：k=5.

⑵>皿=3+&=3+5=8-

所以，這段時(shí)間水深的最大值是8根.

例3.（2021?江蘇?高一課時(shí)練習(xí)）下表是某地一年中10d（天）的白晝時(shí)間.

日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日

白晝時(shí)間/h5.5910.2312.3816.397.26

日期6月21日8月14日9月23日10月25日11月21日

白晝時(shí)間/h19.4016.3412.018.486.13

（1）以日期在365d（天）中的位置序號(hào)為橫坐標(biāo)，白晝時(shí)間為縱坐標(biāo)，描出這些數(shù)據(jù)的散

點(diǎn)圖；

（2）選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述白晝時(shí)間與日期序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系；

（3）用（2）中的函數(shù)模型估計(jì)該地7月8日的白晝時(shí)間.

【答案】⑴散點(diǎn)圖見(jiàn)解析；（2）y=6.91sin（盤x-琮1+12.5；⑶19.12〃

/3U）

【分析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)將日期轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，畫出散點(diǎn)圖；

（2）不妨設(shè)白晝時(shí)間與日期序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系是y=Asin?x+0+6,依題意求出A",

",（P,即可得到函數(shù)解析式；

（3）易知7月8日時(shí)x=189,代入（2）中函數(shù)解析式，計(jì)算可得；

【詳解】

解：（1）根據(jù)已知橫坐標(biāo)依次為1,59,80,117,172,226,266,298,325,散點(diǎn)圖如下所示：

tfk

23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

（2）不妨設(shè)白晝時(shí)間與日期序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系是y=Asin（s+*）+6,則

A=^^“6.9l,,19.4+5.59…>不27r.2萬(wàn)口「

b=----------?12.5,T=——=365,所以G=—,即

220)365

24+12.5,且當(dāng)犬=172時(shí)二xl72+e=1，解得夕=-甯，所以

y=6.91sin---X+69

365

273231

y=6.91sin365A-730+12.5

(3)易知7月8日時(shí)x=189,所以y=6.9Isin(2乂189-要1+12.5之1912

\365730)

故該地7月8日的白晝時(shí)間約為19.12〃

例4.（2021?貴州?興仁市鳳凰中學(xué)高一期末）某港口水深y（米）是時(shí)間t（04S24,單位：小

時(shí)）的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：

t（小時(shí)）03