2022-2023學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

江上7

1.雙曲線32的焦點坐標(biāo)是（）

C.（0,土石）

A.(。，±1)B.（±1，°）D.(±V5,0)

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線方程可得°力，然后根據(jù)/="+〃可得J最后得出結(jié)果.

【詳解】由題可知：雙曲線的焦點在x軸上，旦a3b二五,

所以c?=/+/nc=^

所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為（土石，①

故選：D

2.拋物線/=-2欠的準(zhǔn)線方程為（）

B.》=1

【答案】D

【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得其焦點位置以及戶的值，計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=-2x,

則其焦點在x軸負(fù)半軸上，且。=1,

X=-

則其準(zhǔn)線方程為2,

故選：D.

【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.

3.等軸雙曲線的一個焦點是耳（一6，°）,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)等軸雙曲線，可得a=b,根據(jù)交點坐標(biāo)，可求得c值，根據(jù)a,h,c的關(guān)系，即可得

答案.

【詳解】?.?等軸雙曲線的一個焦點為片（一6,0）,...c=6,且好小

又/=。2+62,

...2/=36,即〃=18,

片一片7

???雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1818

故選：D

3

4.已知拋物線/=2⑷（。>0）上一點“（加」）到焦點的距離為5,則其焦點坐標(biāo)為（）

?0

A.B.C.?°D.7

【答案】A

【分析】由拋物線的定義可求?的值，進(jìn)而可求焦點坐標(biāo).

,3

【詳解】解：；拋物線f=2抄（P>。）上一點"（見1）到焦點的距離為5,

%+H14=1

+P=1

二由拋物線的定義知一22,即2-2,所以P=l,所以2.2,

,拋物線的焦點坐標(biāo)為

故選：A.

5.若點「（I2）在雙曲線/一“一隈”>°）的一條漸近線上，則它的離心率為（

)

75

C,石

A.2B.2D.2石

【答案】C

【分析】將點P的坐標(biāo)代入雙曲線的漸近線方程，求出。的值，可得出。的值,由此可求得雙曲線

的離心率.

AJ21V

—f_y=]y=±-

【詳解】雙曲線。的漸近線方程。

X22

2

因為點尸0'2）在雙曲線滔'一'一的一條漸近線上，所以2=-a=-c=\Ja+1=—

。，所以2,則2,

如

e=-=-^-=>/5

a2.

因此，該雙曲線的離心率為2

故選：C.

6.下列四個數(shù)中，屬于數(shù)列｛〃（〃+1）｝中的一項是（）

A.380B.392C.321D.232

【答案】A

【分析】分別令選項中的數(shù)值等于〃5+D,求出〃是自然數(shù)時的這一項，即可得到答案.

【詳解】由題意，令"5+1)=380,解得〃=19,所以A是正確的；

再令〃6+1)=392,〃(〃+1)=321,〃(〃+1)=232均無整數(shù)解，所以反奔D都不正確,

故選：A.

7.已知等比數(shù)列S',滿足噫的+臉如句，且牝的洶=16,則數(shù)列｛%｝的公比為()

11

A.2B.2C.±2D.±2

【答案】B

【分析】利用對數(shù)運算性質(zhì)可得=2且叼%>0,從而4>°,由等比數(shù)列性質(zhì)有

2

^L=q

。2%3=%%=2,所以％6=8,即可求公比.

【詳解】令｛""｝公比為九

由log2a2+log2a13=log2(a2a13)=1=log22,

故%%3=2且，，〃”>0,

所以％3=%，'>0,則4>0,

又%《3=4%=2,%%%“9=16,則牝/=8,

aqxaq」」

—5s—(J-

所以。5。8。5as4,

1

q=一

綜上，2.

故選：B.

8.己知正項等差數(shù)列也｝的前〃項和為S"("'N),若/-%一旬=3,則1-6的值為()

A.3B.14C.28D.42

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得知+旬=2%,則可由已知等式求4的值，從而利用求和公式和等

差數(shù)列性質(zhì)求凡一四得值.

【詳解】解：正項等差數(shù)列｛"J,則%>°

若抬_%_%=3,則a；=%+°9+3=2[+3,解得。8=3或g=T(舍)

c(q+%s)xl52a?xl5一八

則Su-4=-----------------%=-----------%=146=42

故選：D.

9.九連環(huán)是一種流傳于我國民間的傳統(tǒng)智力玩具.它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝.它在中國有

近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載.周邦彥也留下關(guān)于九連環(huán)的名句“縱妙手、

能解連環(huán)九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中:已知解下1個圓環(huán)最少需要移動圓環(huán)1次，解下2個

圓環(huán)最少需要移動圓環(huán)2次，記4(3W〃W9,"*N)為解下〃個圓環(huán)需要移動圓環(huán)的最少次數(shù)，

且“"=""-2+2'1,則解下8個圓環(huán)所需要移動圓環(huán)的最少次數(shù)為()

D.341

【答案】C

【分析】根據(jù)4=%-2+2”，逐個代入”=2,"=4,〃=6,〃=8,即可求解.

由題，%=必+533所以％=

【詳解】27,+2a4=a2+2=2+2＞2+23+2$+27=170

故選.：C

二、填空題

10.設(shè)用乙為雙曲線，94一的左、右焦點，戶為雙曲線0上一點，且歸國二%則

I*=.

【答案】10

【分析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程找出.力的值，在利用雙曲線的定義求解即可.

【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知：0=3,6=2,

P為雙曲線C上一點，且歸用

所以由雙曲線的定義得：I附卜閥卜2。=6,

即HT叫=6,

所以陷1=1?；?%1=-2

(舍去)，

故答案為：10.

11.已知數(shù)列｛%｝滿足2。"=3+—(〃~2，〃eN*)%+%+。6=12,《+%+牝=9,則出+牝等于

【答案】7

【分析】由2(，"=a"-'十"的(〃22,〃eN，),

變形=。,用一?！暗贸鰯?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為2a"=%*%(〃-2,/，eN,),

所以%-a“T=4+1-4,

所以數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

由%+%+。6=12,。|+%+為=9

所以出+%+勺+卬+%+。5=21,

即3+牝)+3+%)+Q+q)=21,

由等差數(shù)列的性質(zhì)有：4+%=%+%=%+%,

所以％+%=7

故答案為：7.

12.已知等比數(shù)列｛“"｝的前〃項和為S，，且%+i=2S“+l(〃eN)則％=.

【答案】81

K，〃=i

［分析］根據(jù)”［S,一S“T，”22,求得數(shù)列｛%｝的公比，再求出4=1,即可求解.

【詳解】等比數(shù)列｛“"｝的前〃項和為S，,且a”+i=2S“+l(〃eN)

當(dāng)〃22時，％=2sz+1,

...《M-a”=2a“，...％=3a?,故等比數(shù)列SJ的公比為3.

令〃=1,可得"2=2q+1,=1,則%=。1/=81.

故答案為：81.

13.已知數(shù)列也｝滿足q=LaM=a,,+3"GeN）則｛4,｝的通項公式4=.

3"-1

【答案】F

【分析】由題意得出a^'~a"=3",利用累加法可求出明.

【詳解】數(shù)列｛""｝滿足4=1,%+尸*+*"N",???〃.+「《,=3”,

l-3n-lx3r-l

a,>

因此，=?+（%—%）+（%一生）+…+（?！ㄒ弧！?1）=1+3+32+…+3'i————2

3〃一1

故答案為：2.

14.已知拋物線C：V=2px（p>0）與圓。:/+/=5交于4,8兩點，且|AB|=4,直線/過C的焦

點F,且與C交于M，2兩點，給出下列命題：

A/3

①若直線/的斜率為3,則他小1=8；

②5+2|陰的最小值為3+2區(qū)

。，烏2

③若以板為直徑的圓與N軸的公共點為I2則點M的橫坐標(biāo)為2；

④若點G（2,2）,則XGFM周長的最小值為4+石.

其中真命題的序號為（把所有正確命題的序號都填在橫線上）.

【答案】②③④

【分析】首先求出拋物線的解析式，設(shè)出的坐標(biāo)，聯(lián)立進(jìn)行求解，當(dāng)，"=6時，1仰|=16進(jìn)

而判斷①錯誤；再根據(jù)韋達(dá)定理和不等式求最小值后判斷②；畫出大致圖像，過點”作準(zhǔn)線的垂

線，垂足為“'，交y軸于加1,結(jié)合拋物線的定義判斷③；過G作G"垂直于準(zhǔn)線，垂足為H,

利用拋物線的性質(zhì)判斷④即可.

［詳解】由圓和拋物線的對稱性可知點0,2）在拋物線C：丁=2px上，

所以*=2P解得P=2,所以C:/=4x,/（1,0）,

設(shè)直線/：x=W+l,于J〉=4x聯(lián)立得/-4〃沙-4=0,

設(shè)、（e乂）,N（”2）,所以必+%=45，%%=-4,

所以=Jl+病|必_刃=Jl+病?J（M+%）2-4=4（1+加）

當(dāng)昨百時，河=16,①錯誤；

1111X.+X.+2加（必+必）+44陽2+4

'1'—■------------------—■

|TV//*，||JV/^IX]+1X2+1x^2+X]+X2+1（V,VjV4團(tuán)~+4

二^+機(jī)（乂+%）+3

則|叱|+2|"曰=（]叱|+2|府|（向+向）=3+需+耨N3+2&,

當(dāng)且僅當(dāng)阿產(chǎn)l=i+&,?陰=i+~T時等號成立，②正確;

如圖，過"作準(zhǔn)線的垂線，垂足為交了軸于區(qū)1,

取心中點為。，過。作y軸的垂線，垂足為。,

則腦《〃°尸，DR為梯形°FMMi的中位線,

由拋物線的定義可得慳閆〃尸卜1,

\OF\+\MM\_\+\MF\-\_\MF\

M={

所以-2-22

所以以“尸為直徑的圓與y軸相切,

[o,?（近

所以點1J為圓與y軸的切點，所以。點的縱坐標(biāo)為2,

又。為板中點，所以M點縱坐標(biāo)為幾，

3

又點必在拋物線上，所以M點橫坐標(biāo)為5,③正確；

過過G作G"垂直于準(zhǔn)線，垂足為〃，

所以△GEM的周長為阿G|+\MF\+\GF\=\MG\+\MM'\+石2|G〃|+石=3+6

當(dāng)且僅當(dāng)點"的坐標(biāo)為（L2）時取等號，④正確；

故答案為：②③④

三、雙空題

15.設(shè)等差數(shù)列"J滿足4=1,a“>°（〃eN*）,其前"項和為S"，若數(shù)列眄｝也為等差數(shù)列，

S〃+io

_3"""

則氏=:%的最大值是.

【答案】2〃-1121

【分析】設(shè)等差數(shù)列0｝的公差為"，貝產(chǎn)后=何+店，可得2萬^=l+j3+33,解得d,再

利用等差數(shù)列的通項公式、求和公式可得S”％進(jìn)而得出.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列0｝的公差為"，則2厄=而十姬,

2,2+d=1+,3+3d,解得4=2,

an=277-1

???s,“。=(”+10)X1+("+?”+9)x2=(〃+10)2q”“

121

SNO=(〃+10)2=5(2〃―1)+E]+212

“(2/7-I)2(2H-1)42w-l

21?S/io_1〃?八221

t=----->0-^~一彳（+'）八t=---------

令2?-1，則4，在，>0時單調(diào)遞增，2"-1單調(diào)遞減,

S”+io

所以，當(dāng)〃=i時該式最大，此時的為121.

故答案為:2?->;121.

四、解答題

16.已知雙曲線的方程為4一一/=4,寫出它的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、實半軸長、虛半軸長與漸近線

方程.

【答案】頂點坐標(biāo)（T°）和焦點坐標(biāo)G石'%g°）,實半軸長為1,虛半軸長為2,漸

近線方程為夕二以、

【分析】先將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再研究其性質(zhì).

22/上1

【詳解】雙曲線的方程為4/一）'-二4化為標(biāo)準(zhǔn)方程4

貝ija=l,b=2,c=y/5

所以雙曲線的頂點坐標(biāo)為（-L°）和（L°）,焦點坐標(biāo)為M，。）和S。），

實半軸長為1,虛半軸長為2,漸近線方程為y=±2x

x2y2_

17.已知橢圓+"的左右焦點分別是即"2,左右頂點分別是48.

（1）若橢圓C上的點I2J到外，氣兩點的距離之和等于％求此橢圓C的方程；

（2）若P是橢圓C上異于48的任一點，記直線21與尸8的斜率分別為曜％2,且'"一一5,試求橢

圓C的離心率.

^+金-1

【答案】⑴43

旦

（2）橢圓C的離心率為2

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義先確定。的值，再將點〃坐標(biāo)代入方程得從，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程；

2吃22、b21

（2）設(shè)點P坐標(biāo)為（%,%）,化簡得/，得到。2,從而求出離心率.

【詳解】⑴解：橢圓°上的點碓到不儲兩點的距離之和等于4,所以2"4na=2,

,、2）

M1,23=1

將點坐標(biāo)代入方程4b-，得〃=3,

￡+仁=1

所以所求方程為43；

4+4=i%2=4（/一馬

（2）解：設(shè)點尸坐標(biāo)為（％,%）,則Mb2，所以.a2,

又/（一凡0）、B（a,O）,

%之

/aX

:?

0+

12

-

一2-

2

,所

又以

即所

又4以

C

，

g_C_b5/2

所以橢圓的離心率一。一瓦一二二

18.已知數(shù)列｛""｝是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列也，｝是公比為2的等比數(shù)列，%是4,4的等比

中項，4_/=3,bt=2at

⑴求數(shù)列&｝,也｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛“也｝的前〃項和￡.

【答案】(1產(chǎn)=2〃-1也=2"

⑵4=(2〃-3)2川+6

［分析］(1)根據(jù)%是q,%的等比中項，且4_%=3,4=2%,由

(%+")2=《6+4”),84-(4+24)=3求解.

(2)由(1)得到〃也=G〃-1)2’,再利用錯位相減法求解.

［詳解］(1)解：因為g是勾，出的等比中項，且4_%=3,4=2q,

所以(q+"丫=q+4〃),8《_(q+21)=3

解得即=Ld=2,4=2,

所以勺=2〃-1也=2"；

(2)由⑴得。也=(2〃-1>2",

所以S0=卜2+3-22+5?2‘+...+(2〃-1>2"

貝ij2sM=1-22+3-21+5-24+...+(2n-\y2"+>

兩式相減得-S”=2+2。+2,+...+2)(2〃-1).2M+,

22(1-2"-'\

=2+2—1-(2n-l)-2n+l

J

=(3-2")2"M-6

所以S"=(2"-3)2"'+6

戶（|'半］《+『1（”6>0）2_2/0、

19.已知B1是橢圓C：?-b2與拋物線氏N=2PM〃>。）的一個公共點,

且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點廠.

（1）求橢圓C及拋物線E的方程；

_3

（2）A,8是橢圓C上的兩個不同點，若直線°4,°8的斜率之積為4（注：。為坐標(biāo)原點），點

\BM\

用是線段。/的中點，連接并延長交橢圓C于點N,求的值

29

工0_1

【答案】⑴43:N=4x

5

⑵§

【分析】（1）結(jié)合已知條件求出拋物線方程，并求其焦點，然后可得/一/=1,再將點P代入橢圓

方程即可求解；（2）設(shè)“國必），8?，%）,"國外），忸M,然后利用向量用A和

8點坐標(biāo)表示出N點坐標(biāo)，并將N點代入橢圓方程并化簡整理，再結(jié)合08斜率之積為

_3

4即可求解.

「僅，理2

【詳解】（1）:133J是拋物線E：V=2px（P>0）上一點，

：衛(wèi)=2,即拋物線E的方程為V=4x,焦點廠（1,0）,

：.a2-h2=1,

正現(xiàn)二/48一

又；〔33J在橢圓c：a-+b2~上，...9/+3/一，

結(jié)合=1知〃=3,/=4,

???橢圓C的方程為43，拋物線E的方程為y=4x

/J^4=2（^>0）

（2）設(shè)"（再，凹），N（x3,y｝）^\BM\）

的⑷

???點/是線段a的中點，122人

'"=（寸一移寸-%）,麗=（占-%,%BN=ABM,

（工3-工2,為-%）=4仔-工2,會一

七二務(wù)十仁彳足

v

%=弓必+（1-2）%

...點N（X3，%）在橢圓C上，

Az.八T「7T

+(