2022-2023學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)喀什高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題-含答案

2022-2023學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)喀什高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知向量。=(k,l,4),6=(1,%,-2),若a_￡b，k=()

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解.

【詳解】???。=化1,4)力=(1歡,—2),若aJ.b，

則Z?11?k4?(2)=0,即k=4.

故選：C

2.已知等比數(shù)列血｝的前"項和為5“，若q/43=8,%=16,則&的值為()

A.127B.128C.63D.64

【答案】A

【分析】根據(jù)條件求出4,夕，然后可算出答案.

【詳解】等比數(shù)列｛4｝的前"項和為S.，q%%=8,%=16,

*,111,解得4=1,q=2,

a、q=16

則$=詈■=127,

故選：A.

3.若｛《,｝為等差數(shù)列，其前〃項和為S“，S4=2,國=8,則用=()

A.10B.14C.16D.18

【答案】D

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得到Sa，58-S4)兀-演成等差數(shù)列，即2(S8-SJ=S4+S|2—S8,代入

求值即可.

【詳解】｛%｝為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)得其，$-邑，Sg-S.成等差數(shù)列，

/?2(S&-+S|2—,即2x(8—2)=2+A2—8,

解得：5I2=18.

故選：D.

4.已知直線3x+4y-l=0與圓(x-l)2+(y_l)2=4相交于A,B兩點,則弦長|A8|的值為()

12二16〃18

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】B

【分析】根據(jù)已知求出圓心到直線的距離，再結(jié)合弦長公式求解即可.

【詳解】解：圓C:(x-l)2+(y-l)2=4的圓心坐標(biāo)為C。,l),半徑，=2,

13x1+4x1-116

，圓心、C(l,1)至IJ直線：3x+4y-1=0的星且離d=J~「=-

V32+425

???弦|AB|的長為=2X/7M=216

y

故選：B.

5.若1,“，4三個數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線V+￡=i的離心率為()

m

A.立或百B.四或GC.如或廂D,好或2

2233

【答案】A

【分析】根據(jù)等比中項加=±2,進而根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率公式即可求解.

【詳解】VI,m,4三個數(shù)成等比數(shù)列，，痙=4,解得加=±2,

當(dāng)機=2時，則圓錐曲線為/+其=1,此時離心率為e=J==?2,

2V22

當(dāng)加=一2時，則圓錐曲線為爐-《=1,此時離心率為e=3=后,

21

故選：A

6.如圖，在直三棱柱ABC-A/B/G中，。為棱48/的中點,AC=2,CC)=1,BC=2,AC-LBC,貝lj

異面直線CD與BG所成角的余弦值為()

D-T

【答案】B

【分析】以C為坐標(biāo)原點，C4,CB,CG所在直線分別為X,必Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量求解即可.

【詳解】解：因為在直三棱柱ABC-A出/G中，AC=2,CCt=\,BC=2,ACLBC,

所以以C為坐標(biāo)原點，CA,CB,CG所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C,(0,0,1),A(2,0,1),B,(0,2,1),

因為。為棱A/Q的中點，所以。（1,1,1）,

所以=(1,1,1),BCt=((),-2,1),

▼,IERr-\CDBC\-2+1-1用

所以3(8'叫=同網(wǎng)=及再7=至=一入,

所以異面直線CD與8G所成角的余弦值為巫,

15

7.已知_/WC的周長為12,8（-2,0）,C（2,0）,則頂點A的軌跡方程為（)

A.B.—+-^=1(>'*0)

D.土+二=1("0)

【答案】D

【分析】依題意可得|AC|+|AB|=8>|BC|,根據(jù)橢圓的定義可知頂點A的軌跡是以8（-2,0）,C（2,0）

為焦點長軸長為8的橢圓（不含x軸上的頂點），從而求出軌跡方程.

【詳解】解：A8C的周長為12,B（-2,0）,C（2,0）

：.\BC\=4,M+M=12-4=8>忸。，

頂點A的軌跡是以B（-2,0）,C（2,0）為焦點，長軸長為8的橢圓（不含x軸上的頂點）,

又c=2,a=4,可得/=/一/=12,

22

二頂點A的軌跡方程為：上+匯=1(10).

1612

故選：D.

8.已知拋物線C：y?=8x的焦點為F,準(zhǔn)線為/,P是/上一點，。是直線PF與C得一個交點，若

FP=4FQ9貝|JI0F|=()

75

A.—B.3C.-］1.2

22

【答案】B

［分析】利用拋物線的定義及相似三角形的性質(zhì)可得\QF\=\MQ\=3,從而可得正確的選項.

【詳解】設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為H,則忻”|=4,

一.|P(2|3

如圖所不，因為0=4/。，故忸耳=］，

過點。作加"垂足為跖則加〃、軸，所以%p睛，

所以|M2|=3,由拋物線定義知，依耳=|阿=3,

故選：B.

O(/FX

二、多選題

9.己知公差為d的等差數(shù)列｛初｝中，生=7,%=35,其前〃項和為S〃，則()

2

A.%=19B.d=4C.an=3n+lD.Sn=2n+n

【答案】ABD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，求出公差和首項，進而求出通項公式和前〃項和即可判斷.

【詳解】等差數(shù)列｛%｝的公差為d,因為。2=7,%=35,

fa+J=7

則Q,”，解得4=3,d=4,故選項B正確；

[a]+8〃=35

；?%=4+4d=3+4x4=19,故選項A正確；

為=3+5-1”4=4〃-1,故選項C錯誤；

S〃=3〃+xd=2n2+n,故選項D正確.

故選：ABD.

10.已知焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±gx,實軸長為4,則（）

A.該雙曲線的虛軸長為4

B.該雙曲線的焦距為4石

C.該雙曲線的離心率為石

D.該雙曲線的焦點到漸近線的距離為4

【答案】BCD

2，[￡=1

【分析】根據(jù)題意設(shè)雙曲線方程為與-1=1（。＞0,6＞0）,貝I了一5,求出從而可得雙曲線

a"b~12a=4

方程，然后逐個分析判斷即可.

22

【詳解】解：依題意，可設(shè)雙曲線方程為5-1=1（。＞0力＞0）,則

ah-

所以雙曲線方程為

416

對于A,由于6=4,所以雙曲線的虛軸長為a=8,所以A錯誤，

對于B,由。=21=4,得'=廬三="7正=2石，所以雙曲線的焦距為4石，所以B正確,

對于C,由a=2,c=2石，得離心率為e=￡=2叵=右，所以C正確，

a2

則其到漸近線的距離為P石?=4,所以D正

對于D,由雙曲線的對稱性，不妨取焦點（0,26）

確，

故選：BCD

11.已知遞減的等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S",S6=S8，則（）

A.a7>0B.S/3VoC.S/5<0D.$7最大

【答案】ACD

【分析】由S6=Ss可得4+?,=（）,由等差數(shù)列｛加｝為遞減數(shù)列，所以q<0<%,所以當(dāng)14〃47時

??>0,”28時根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)，逐項分析判斷即可.

【詳解】由$6=$8可得Sg—$6="8+%=。，

由等差數(shù)列｛""｝為遞減數(shù)列，

所以故A正確；

又如=&要xl3=13%>0,故B錯誤；

岳5=4式xl5=15[<0,故C正確；

由等差數(shù)列短〃｝為遞減數(shù)列，所且如<。<小，

所以當(dāng)時%>。，

“28時”“<0,所以S7最大，故D正確

故選：ACD

12.下列選項正確的是（）

A.直線x-⑺+3=0（〃zeR）恒過定點（-3,0）

B.圓V+y2=4上有且僅有3個點到直線/:欠-丫+&=0的距離都等于1

C.直線Gx+y+l=0的傾斜角為150。

D.與圓（x-2p+y2=2相切，且在x軸、y軸上的截距相等的直線只有一條

【答案】AB

【分析】直接令）:0即可得判斷A；計算出圓心到直線的距離為1可判斷B；得出斜率即可得傾斜

角判斷C；分為直線過原點和不過原點兩種情形可判斷D.

【詳解】直線X-陽+3=0（meR）,令y=o,得x=-3,即恒過定點（TO）,A正確;

圓3+9=4的圓心為（0,0）,半徑為2,圓心到直線的距離d=0=1,

V2

則圓f+y）=4上有且僅有3個點到直線/:x-y+V2=0的距離都等于1,故B正確;

直線Gx+y+l=0的斜率為4=-后，其傾斜角為120,故C錯誤；

圓（*一2）2+丁=2的圓心為（2,0）,半徑為夜，

當(dāng)直線過原點時，依題意可設(shè)為？=依，即區(qū)-y=0,

d=J—!—=\/2,解得Z=±l,即切線為x±y=0,

J1+公

當(dāng)直線不過原點時，依題意可設(shè)為x+）=a,即x+y-q=0,

d==&，解得。=0（舍去）或〃=4,即x+y-4=0,

即在x軸、），軸上的截距相等的直線有三條，故D錯誤；

故選：AB.

三、填空題

13.在數(shù)列｛q｝中，4=2,4川=2+：,貝|J%=.

12

【答案】y##2.4

【分析】根據(jù)遞推式先求出色,再由遞推式可求出出

【詳解】因為在數(shù)列｛4｝中，4=2,4m=2+：,

C1C15

所以見=2+—=2+3=5，

422

r1c212

所以4=2+—=2+三=『

a255

12

故答案為：y

14.拋物線y=工爐的準(zhǔn)線方程是_________________.

4

【答案】y=-i

【分析】將y=化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程Y=4y,利用拋物線的性質(zhì)求解即可.

4

【詳解】由y=得：f=4y,所以2P=4,即：5=1

所以拋物線y=的準(zhǔn)線方程為：y=Y=_i.

42

【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.過點A(2,-l),B(-3,3)的直線方程(一般式)為.

【答案】4x+5y-3=0

【分析】先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程，然后化簡為一般式即可.

【詳解】因為過點42,-1),仇-3,3)的直線的斜率為k=與津=-。，

—3—25

4

所以直線方程為y+l=-g(x-2),

化為一般式為4x+5y-3=0,

故答案為：4x+5y-3=0.

22

16.已知橢圓方程為*?+￡=左、右焦點分別為寫、工，P為橢圓上的動點，若“明

的最大值為與，則橢圓的離心率為.

【答案】B

2

【分析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可求得《，再利用公式e可求得該橢圓的離心率的

a'Va-

值.

【詳解】由橢圓的定義可得|姐|+歸周=2a,

冏『+匹2十用2(歸用+歸段丫一忻用、2|明小周

由余弦定理可得cos工=

21P用“圖2\PFt\-\PF2\

4a2-4c2八4b2,4b2,2b2,

=-----------------?N--------------------------j=------j-------]

2閥H叫一"閥|+閘|丫2//,

乙X

I2)

因為的最大值為?，則竺_i=cos生=-1,可得與=工,

3a232a24

四、解答題

17.如圖所示，在四棱錐M-ABC。中，底面A8C。是邊長為1的正方形，且AM和AB,AO的夾

角都是60。N是CM的中點，設(shè)a=4B，b=AD，c=AM,試以a，b，c為基向量表示出向量BN.

【答案】BN=——a+^b+—c

【分析】根據(jù)題中的條件，由向量的線性運算，即可得出BN.

【詳解】因為N是CM的中點，底面A8CO是正方形，

所以BN=BC+CN=A￡>+,CA/=AO+!(AM-AC)=-A8-A。)

222

=--AB+-AD+-AM=--a+-b+-c.

222222

18.已知圓心在x軸上的圓C與x軸交于兩點A(2,0),B(6,0),

(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)P(x,y)為圓C上任意一點，求P(x,y)到直線x-y+1=0的距離的最大值.

【答案】(D(X-4)2+/=4

⑵平+2

【分析】(1)根據(jù)42,0),3(6,0)先確定出圓心，半徑，進而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求出圓心到直線的距離，加上半徑，即為圓上一點到直線距離的最大值.

【詳解】(1)依題意，該圓的一條直徑為A3,43中點(4,0)為圓心，于是半徑r=6-4=2,故圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(X-4)2+V=4

,|4+1|5加

(2)根據(jù)點到直線的距離公式，圓心(4,0)到直線x-y+l=0的距離"為：/=/+(:廠〒

故尸(x，y)到直線》->+1=0的距離的最大值為："+r=也+2

2

19.已知等差數(shù)列｛4“｝中，4+a3+”5=18,。5+%=-6.

⑴求｛叫的通項公式；

⑵求｛??)的前n項和S”的最大值.

【答案】⑴4,=一3〃+15

(2)30

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到公差4=-3,從而求出通項公式；

(2)由?！?-3〃+1520得至且當(dāng)〃=5時，4=0,從而得至U〃=4或〃=5時，S“取得最大值,

利用等差數(shù)列求和公式求出最大值.

【詳解】(1)等差數(shù)列｛q｝中，

4+%+%=3%=18,解得：生=6,

%+%=24=-6,解得：&=-3,

故公差d=^Z^=Z^=_3,

故通項公式q=6+(〃-3”=6-3(〃-3)=-3〃+15；

(2)令/=-3〃+1520,解得：n<5,且當(dāng)〃=5時，??=0,

；.〃=4或〃=5時，｛q｝的前〃項和S”取得最大值，

又邑=駒抖=2x02+3)=30,故S“的最大值為30.

20.已知拋物線C：y2=2px(p>o)的焦點為尸，第四象限的一點尸(2,加)，且|Pq=3.

(1)求C的方程和“的值；

(2)若直線/交C于A,B兩點,且線段A3中點的坐標(biāo)為(1/)，求直線/的方程

【答案】(l)V=4x,m=一2四.

(2)2r-y-l=0

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義求出。的值，再將點的坐標(biāo)代入即可求出機的值；

(2)利用點差法求出直線/的斜率，代入點斜式方程即可求解.

【詳解】(1)由拋物線的定義可知，|尸目=2+孑=3,解得。=2,

所以拋物線C的方程為V=4x,則療=8,

因為點P(2,相)在第四象限，所以〃?<0,解得機=-2&;

所以C的方程為)3=4x,m=-2應(yīng).

=4x

(2)設(shè)A(XJ，M),B(x2,y2),則廣；'>

兩式相減可得，(%-〉2)(%+%)=4(%-々)，

y.-y94

所以=又因為線段AB中點的坐標(biāo)為(1,1),

,V,-y,44c

則有勺="=-7-=3=2,

占一工2y+必2

則由點斜式可得，直線/的方程為y—l=2(x-l),即2r—y—1=0.

21.已知數(shù)列｛4｝的前"項和為且S,=〃2+3〃.數(shù)列也｝是等比數(shù)列，々=1,a5-2b2=a3.

⑴求｛4｝,｛4｝的通項公式;

(2)求數(shù)歹!!｛?！八?｝的前”項和[.

【答案】⑴4=2〃+2,b?=2"-'

(2)7；=n-2n+,

【分析】(1)利用。“與S”之間的關(guān)系，可得數(shù)列｛4｝的通項公式，利用等比數(shù)列的通項公式，可得

數(shù)列｛〃｝的通項公式；

(2)利用錯位相減法可得答案.

【詳解】(1)'：S?=n2+3n,

，當(dāng)“22時，4“=S“-S“_[=〃~+7〃--1)-7(〃-1)=2"+7,

又4=5=7,也滿足上式，.?.〃“=2〃+2,

又?jǐn)?shù)列他