2022版初中數(shù)學(xué)新定義壓軸題：題型專練

2022版初中數(shù)學(xué)新定義壓軸題：題型專練

一、解答題

1.（2021.北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。。的半徑為1,對于點(diǎn)A和線段BC,給出如下定義：若將

線段BC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)可以得到的弦夕C分別是B,C的對應(yīng)點(diǎn)），則稱線段BC是。。的以點(diǎn)A為中心的

“關(guān)聯(lián)線段

（1）如圖，點(diǎn)A綜匕,生，6，%（3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線段8?,&G，83c3中，的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)

線段”是;

（2）AABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)A（0,f）,其中FO.若8c是的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求f的

值；

（3）在AABC中，AB=1,AC=2.若BC是G）O的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小值和最大值，以

及相應(yīng)的8c長.

2.（2020?北京?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，。。的半徑為1,A,B為（DO外兩點(diǎn)，AB=1.給出如下定

義：平移線段AB,得到OO的弦A8,（4,*分別為點(diǎn)A,B的對應(yīng)點(diǎn)），線段A4,長度的最小值稱為線段AB到

OO的“平移距離

(1)如圖，平移線段AB到。0的長度為1的弦耳鳥和A'則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點(diǎn)匕鳥,號巴中，

連接點(diǎn)A與點(diǎn)—的線段的長度等于線段AB到。O的“平移距離”；

(2)若點(diǎn)A,B都在直線y=6x+26上，記線段AB到。。的“平移距離”為4，求4的最小值；

(3)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2.|),記線段AB到。。的“平移距離”為4,直接寫出&的取值范圍.

3.(2019?北京?中考真題)在AABC中，D,E分別是兩邊的中點(diǎn)，如果QE上的所有點(diǎn)都在aABC的內(nèi)部

或邊上，則稱OE為aABC的中內(nèi)弧.例如，下圖中OE是^ABC的一條中內(nèi)弧.

(1)如圖，在Rt^ABC中，AB=AC=2&D,后分別是AB,AC的中點(diǎn).畫出AABC的最長的中內(nèi)弧

DE，并直接寫出此時OE的長；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(0,2),8(0,0),C(4r,0)(r>0),在AABC中，D,E分別是AB,AC的

中點(diǎn).

①若f=g，求^ABC的中內(nèi)弧QE所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)的取值范圍；

②若在aABC中存在一條中內(nèi)弧OE，使得所在圓的圓心P在aABC的內(nèi)部或邊上，直接寫出t的取值范圍.

4.(2018?北京?中考真題)對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M,N,給出如下定義：P為圖形”上任意一點(diǎn)，

Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P,。兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形N間的“閉距離”，記

作d(M,N).

已知點(diǎn)A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).

(1)求"(點(diǎn)。，^ABC)；

(2)記函數(shù)y=區(qū)(-1<X<1,%工0)的圖象為圖形G,若d(G,^ABC)=1,直接寫出火的取值范圍；

(3)0T的圓心為T"0),半徑為1.若d(or,^ABC)=1,直接寫出/的取值范圍.

5.(2020.北京房山?一模)如圖，平面上存在點(diǎn)尸、點(diǎn)M與線段A8.若線段48上存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)M在以PQ

為直徑的圓上，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)P與線段A8的共圓點(diǎn).

已知點(diǎn)P(0,1),點(diǎn)A(-2,-1),點(diǎn)B(2,-I).

(1)在點(diǎn)0(0,0),C(-2,1),D(3,0)中，可以成為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)的是；

(2)點(diǎn)K為x軸上一點(diǎn)，若點(diǎn)K為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)，請求出點(diǎn)K橫坐標(biāo)"的取值范圍；

(3)已知點(diǎn)-1),若直線y=gx+3上存在點(diǎn)P與線段AM的共圓點(diǎn)，請直接寫出機(jī)的取值范圍.

6.(2020?北京海淀?一模)A,B是。C上的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P在③C的內(nèi)部.若NAPB為直角，則稱/APB為AB關(guān)于

OC的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心C在NAPB邊(含頂點(diǎn))上時，稱NAPB為A8關(guān)于。C的最佳內(nèi)直角.如圖1,

是AB關(guān)于。C的內(nèi)直角，/ANB是A8關(guān)于。C的最佳內(nèi)直角.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中.

(1)如圖2,。0的半徑為5,A(0,-5),B(4,3)是。。上兩點(diǎn).

①己知Pi(1,0),尸2(0,3),Pi(-2,1),在NARB,ZAP2B,ZAP3B,中，是AB關(guān)于。。的內(nèi)直角的

是;

②若在直線y=2x+6上存在一點(diǎn)P,使得NAP8是AB關(guān)于。。的內(nèi)直角，求b的取值范圍.

(2)點(diǎn)E是以T(f,0)為圓心，4為半徑的圓上一個動點(diǎn)，。7與x軸交于點(diǎn)。(點(diǎn)。在點(diǎn)7的右邊).現(xiàn)有點(diǎn)

M(1,0),N(0,〃)，對于線段MN上每一點(diǎn)”，都存在點(diǎn)T,使/OHE是OE關(guān)于。T的最佳內(nèi)直角，請直接

寫出〃的最大值，以及〃取得最大值時，的取值范圍.

備用圖1

備用圖2

7.(2020.北京西城?一模)對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形Wi和圖形W2.給出如下定義：在圖形Wi上存在兩

點(diǎn)A,B(點(diǎn)A,B可以重合)，在圖形W2上存在兩點(diǎn)M,N,(點(diǎn)M于點(diǎn)N可以重合)使得AM=2BN,則稱圖

形W1和圖形W2滿足限距關(guān)系

⑴如圖1,點(diǎn)C(l,0),D(-l,0),E(0,石)，點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(點(diǎn)P可以與點(diǎn)D,E重合)，連接OP,CP.

①線段OP的最小值為,最大值為;線段CP的取值范直范圍是；

②在點(diǎn)O,點(diǎn)C中，點(diǎn)與線段DE滿足限距關(guān)系；

(2)如圖2,。。的半徑為1,直線y=Gx+8(b>0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F,G.若線段FG與。O滿足限距關(guān)

系，求b的取值范圍；

(3)00的半徑為r(r>0),點(diǎn)H,K是OO上的兩個點(diǎn)，分別以H,K為圓心，1為半徑作圓得到。H和0K,若對于

任意點(diǎn)H,K,OH和。K都滿足限距關(guān)系，直接寫出r的取值范圍.

8.(2021.北京西城?一模)對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段PQ,給出如下定義：若存在APQR使得

S.PQR=PQ2，則稱APQR為線段PQ的“等幕三角形”，點(diǎn)R稱為線段PQ的“等哥點(diǎn)”.

(1)已知43,0).

①在點(diǎn)耳1,3)，A(2,6),《(_5,1),舄(3,_6)中，是線段OA的“等幕點(diǎn)”的是；

②若存在等腰AOAB是線段OA的“等基三角形”，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(2,-l),點(diǎn)。在直線y=x-3上，記圖形M為以點(diǎn)7(1,0)為圓心，2為半徑的e7位于x

軸上方的部分，若圖形M上存在點(diǎn)E,使得線段8的“等第三角形"為銳角三角形，直接寫出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)

X”的取值范圍.

9.(2021.北京東城.一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正方形A8C。，其中

A-日,0,B0.y-lc與,0,D。，-等)，M,N為該正方形外兩點(diǎn)，MN=1.給出如下定義：記線段MN的

中點(diǎn)為尸，平移線段MN得到線段使點(diǎn)M',N'分別落在正方形ABC。的相鄰兩邊上，或線段與正方形

的邊重合分別為點(diǎn)M,N,P的對應(yīng)點(diǎn))，線段PP長度的最小值稱為線段MN到正方形ABC。的“平移

距離”.

(1)如下圖，平移線段MN,得到正方形ABC。內(nèi)兩條長度為1的線段則這兩條線段的位置關(guān)系是

;若兒6分別為陷乂,加2小的中點(diǎn)，在點(diǎn)耳,巴中，連接點(diǎn)尸與點(diǎn)的線段的長度等于線段MN到正

方形ABC￡＞的“平移距離”；

(2)如圖，已知點(diǎn)E*+1,0,若M,N都在直線BE上，記線段MN到正方形ABC。的“平移距離”為4,求4

\7

的最小值；

備用圖

(3)若線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2),記線段到正方形A8C。的“平移距離”為4，直接寫出&的取值范

圍.

10.(2021.北京朝陽?一模)對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形M和點(diǎn)P,給出如下定義：將圖形M繞點(diǎn)P順時針

旋轉(zhuǎn)90。得到圖形N,圖形N稱為圖形M關(guān)于點(diǎn)尸的“垂直圖形例如，圖1中點(diǎn)。為點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)尸的“垂直圖

形

I2345x

備用圖

(1)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的“垂直圖形''為點(diǎn)B.

①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),則點(diǎn)8的坐標(biāo)為；

②若點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2』)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

(2)E(-3,3),F(-2,3),G(a,O).線段EF關(guān)于點(diǎn)G的“垂直圖形"記為￡尸'，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為￡,點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)為

F'.

①求點(diǎn)￡的坐標(biāo)(用含。的式子表示)；

②若。。的半徑為2,ET'上任意一點(diǎn)都在O。內(nèi)部或圓上，直接寫出滿足條件的EE'的長度的最大值.

11.(2019.北京西城?一模)在平面直角坐標(biāo)系Mb中，對于兩個點(diǎn)P,。和圖形W,如果在圖形W上存在點(diǎn)

N(M,N可以重合)使得戶”=QN,那么稱點(diǎn)尸與點(diǎn)。是圖形卬的一對平衡點(diǎn).

⑴如圖1,已知點(diǎn)4(0,3),8(2,3)；

①設(shè)點(diǎn)。與線段A8上一點(diǎn)的距離為"，則”的最小值是,最大值是；

②在?(1,4),鳥(-3,0)這三個點(diǎn)中，與點(diǎn)。是線段的一對平衡點(diǎn)的是；

(2)如圖2,已知G)O的半徑為1,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(5,0).若點(diǎn)E(x,2)在第一象限，且點(diǎn)。與點(diǎn)E是。。的一對平

衡點(diǎn)，求x的取值范圍；

(3)如圖3,已知點(diǎn)”(-3,0),以點(diǎn)。為圓心，O”長為半徑畫弧交x的正半軸于點(diǎn)K.點(diǎn)C(a，b)(其中。20)是

坐標(biāo)平面內(nèi)一個動點(diǎn)，且OC=5,OC是以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的圓，若”K上的任意兩個點(diǎn)都是OC的一對平

衡點(diǎn)，直接寫出6的取值范圍.

12.(2020.北京平谷.一模)在△A8M中，ZABM=90°,以AB為一邊向△ABM的異側(cè)作正方形ABC，以A為圓

心，AM為半徑作。A,我們稱正方形A8CD為。A的“關(guān)于AABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在。A

的內(nèi)部(或圓上)，我們稱正方形ABCO為。A的“關(guān)于aABM的絕對友好正方形”，例如，圖1中正方形ABCD是

◎A的''關(guān)于△ABM的友好正方形”.

(1)圖2中，△ABM中，BA=BM,ZABM=90°,在圖中畫出。4的“關(guān)于△ABM的友好正方形ABC￡>”.

(2)若點(diǎn)A在反比例函數(shù)了=上(k>0,x>0)上，它的橫坐標(biāo)是2,過點(diǎn)4作ABLy軸于B,若正方形ABC。為

X

OA的“關(guān)于aAB。的絕對友好正方形”，求k的取值范圍.

(3)若點(diǎn)A是直線產(chǎn)-x+2上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸于8,若正方形ABCD為。A的“關(guān)于△ABO的絕

對友好正方形”，求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)m的取值范圍.

備用圖督■用圖

13.(2020.北京石景山.一模)在△ABC中，以AB邊上的中線C。為直徑作圓，如果與邊AB有交點(diǎn)E(不與點(diǎn)。

重合)，那么稱Of為△ABC的C-中線弧.例如，如圖中OE是△ABC的C-中線弧.在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，已知△A8C存在C-中線弧，其中點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2f,0)(r>0).

(1)當(dāng)f=2時，

①在點(diǎn)G(-3,2),C2(0,273),C3(2,4),C4(4,2)中，滿足條件的點(diǎn)C是；

②若在直線丫=近(左>0)上存在點(diǎn)P是△ABC的C-中線弧QE所在圓的圓心，其中C￡>=4,求人的取值范圍;

(2)若aABC的C-中線弧所在圓的圓心為定點(diǎn)P(2,2),直接寫出f的取值范圍.

14.(2021?北京門頭溝.二模)在△ABC中，點(diǎn)尸是N8AC的角平分線4。上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑

的OP與△ABC的交點(diǎn)不少于4個，點(diǎn)P稱為△48C關(guān)于/3AC的“勁度點(diǎn)”，線段PA的長度稱為△ABC關(guān)于/

比1C的“勁度距離”.

(1)如圖，在NBAC平分線40上的四個點(diǎn)勺、P］、舄中，連接點(diǎn)A和點(diǎn)的線段長度是aABC關(guān)于N

BAC的“勁度距離”.

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M(0,力，N(4,0).

①當(dāng)仁5時，求出△MON關(guān)于NMON的“勁度距離”4的最大值.

②如果人4442&內(nèi)至少有一個值是△MON關(guān)于NMON的“勁度距離”，請直接寫出r的取值范圍.

y

o

15.(2021.北京燕山?二模)對于平面內(nèi)的圖形Gi和圖形G2,記平面內(nèi)一點(diǎn)P到圖形GI上各點(diǎn)的最短距離為由，

點(diǎn)P到圖形G2上各點(diǎn)的最短距離為若小=d2,就稱點(diǎn)P是圖形G1和圖形G2的一個“等距點(diǎn)在平面直角坐

標(biāo)系X。)，中，已知點(diǎn)4(6,0),B(0,273).

(1)在C(4,0),。(2,0),E(1,3)三點(diǎn)中，點(diǎn)4和點(diǎn)B的等距點(diǎn)是；

(2)已知直線產(chǎn)2.

①若點(diǎn)A和直線尸2的等距點(diǎn)在x軸上，則該等距點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②若直線y=b上存在點(diǎn)A和直線y=2的等距點(diǎn)，求實數(shù)b的取值范圍；

(3)記直線A3為直線直線/2：y=x,以原點(diǎn)。為圓心作半徑為r的。O.若。O上有“個直線八和直

3

線，2的等距點(diǎn)，以及〃個直線/i和y軸的等距點(diǎn)(〃印0,n/0),當(dāng)〃曲時，求r的取值范圍.

16.(2021?北京西城?二模)對于平面內(nèi)的點(diǎn)M,如果點(diǎn)P,點(diǎn)。與點(diǎn)M所構(gòu)成的A"PQ是邊長為1的等邊三角

形，則稱點(diǎn)P，點(diǎn)。為點(diǎn)M的一對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，進(jìn)一步地，在A"PQ中，若頂點(diǎn)M,P,。按順時針排列，則稱點(diǎn)

P,點(diǎn)。為點(diǎn)M的一對“順關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；若頂點(diǎn)M,P，。按逆時針排列，則稱點(diǎn)P,點(diǎn)。為點(diǎn)M的一對“逆關(guān)聯(lián)

點(diǎn)”.已知4L0),

⑴在0(0,0)1(0,1)((2,0),。1|,一同中，點(diǎn)A的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)是一，它們?yōu)辄c(diǎn)A的一對—關(guān)聯(lián)點(diǎn)(填“順”或

“逆”)；

(2)以原點(diǎn)。為圓心作半徑為1的圓，已知直線/:y=6x+A.

①若點(diǎn)尸在。。上，點(diǎn)。在直線/上，點(diǎn)P,點(diǎn)。為點(diǎn)A的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求b的值；

②若在。。上存在點(diǎn)R,在直線/上存在兩點(diǎn)T(X，y)和5(々,%)，其中%>%，且點(diǎn)T,點(diǎn)S為點(diǎn)R的一對順關(guān)聯(lián)

點(diǎn)，求％的取值范圍.

17.(2021?北京大興?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點(diǎn)(盯％)，若|玉-々|+|乂-刃=々

(左為常數(shù)且發(fā)/0),則稱點(diǎn)M為點(diǎn)N的4倍直角點(diǎn).

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

(1)已知點(diǎn)A(L1)

①若點(diǎn)5(-2,3)是點(diǎn)A的左倍直角點(diǎn)，則k的值是；

②在點(diǎn)C(2,3),E>(T,1),E(0,-2),0(0,0)中是點(diǎn)A的2倍直角點(diǎn)的是；

③若直線y=~2x+b上存在點(diǎn)A的2倍直角點(diǎn)，求b的取值范圍；

(2)e7的圓心T的坐標(biāo)為(1,0),半徑為r,若e7上存在點(diǎn)。的2倍直角點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍.

18.(2021.北京通州?一模)在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)尸&,乂)，。(%，%)，定義線段的"直角長度”

為4>2=歸2-力+昆一必|.

(1)已知點(diǎn)43,2).

①d()A=--------------；

②已知點(diǎn)8(，”,。)，若叁8=6,求機(jī)的值；

(2)在三角形中，若存在兩條邊“直角長度''之和等于第三條邊的''直角長度”，則稱該三角形為“和距三角形已知

點(diǎn)M(3,3).

①點(diǎn)D(0,d)(dK0).如果AOMO為“和距三角形”，求d的取值范圍；

②在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C為直線y=-x-4上一點(diǎn)，點(diǎn)K是坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，且滿足CK=1,當(dāng)點(diǎn)C在直

線上運(yùn)動時，點(diǎn)K均滿足使△OWK為“和距三角形“，請你直接寫出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)七的取值范圍.

19.(2021.北京豐臺?一模)如圖，直線/和直線/外一點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)”任取直線/上點(diǎn)。，點(diǎn)〃關(guān)于

直線尸。的對稱點(diǎn)為點(diǎn)“，標(biāo)點(diǎn)H'為點(diǎn)尸關(guān)于直線/的垂對點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

(1)已知點(diǎn)尸(0,2),則點(diǎn)。((),()),42,2),8(0,4)中是點(diǎn)P關(guān)于x軸的垂對點(diǎn)的是；

4

(2)已知點(diǎn)且機(jī)＞0,直線y=-]X+4上存在點(diǎn)M關(guān)于x軸的垂對點(diǎn)，求的取值范圍;

(3)已知點(diǎn)N(〃,2),若直線y=x+〃上存在兩個點(diǎn)N關(guān)于x軸的垂對點(diǎn)，直接寫出”的取值范圍，

備用圖1備用圖2

20.(2021?北京朝陽?二模)在平面直角坐標(biāo)系X。)中，對于圖形。和NP,給出如下定義：若圖形。上的所有的

點(diǎn)都在NP的內(nèi)部或/尸的邊上，則/尸的最小值稱為點(diǎn)尸對圖形Q的可視度.如圖1,/AO8的度數(shù)為點(diǎn)。對線

段AB的可視度.

(1)已知點(diǎn)N(2,0),在點(diǎn)M(0,|百)，%(2,3)中，對線段ON的可視度為60。的點(diǎn)是

(2)如圖2,已知點(diǎn)A(-2,2),B(-2,-2),C(2,-2),。(2,2),E(0,4).

①直接寫出點(diǎn)E對四邊形48co的可視度為°；

②已知點(diǎn)尸(。，4),若點(diǎn)尸對四邊形ABC。的可視度為45。，求a的值.

E

2

02

B-2C

圖1圖2

21.（2021?北京海淀.一模）在平面直角坐標(biāo)系Mb中，對于點(diǎn)A和線段MN,如果點(diǎn)4,O,M,N按逆時針方向

排列構(gòu)成菱形AOMN,且NAOM=a,則稱線段MN是點(diǎn)A的“a-相關(guān)線段”.例如，圖1中線段MN是點(diǎn)A的

“30°-相關(guān)線段”.

（1）已知點(diǎn)4的坐標(biāo)是（0,2是

①在圖2中畫出點(diǎn)A的“30"相關(guān)線段”MN,并直接寫出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo);

②若點(diǎn)A的“a-相關(guān)線段”經(jīng)過點(diǎn)（6,1）,求a的值；

（2）若存在a,Z?（a工?）使得點(diǎn)P的“a-相關(guān)線段”和“P-相關(guān)線段”都經(jīng)過點(diǎn)（0,4）,記2。=/,直接寫出f的取值

范圍.

2022版初中數(shù)學(xué)新定義壓軸題：題型專練

參考答案

1.(1)B，G；(2)/=+73；(3)當(dāng)。，in=1時，此時BC=J5；當(dāng)。4也=2時，此時BC=逅.

2

【分析】

(1)以點(diǎn)A為圓心，分別以A4AG，AgAC2，A/AC3為半徑畫圓，進(jìn)而觀察是否與有交點(diǎn)即可；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AB'C'是等邊三角形，且BC'是。。的弦，進(jìn)而畫出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進(jìn)

行求解；

(3)由BC是的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知B',C'都在。。上，且AB'=A5=LAC'=AC=2,然后由

題意可根據(jù)圖象來進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：(1)由題意得：

通過觀察圖象可得：線段鳥C?能繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。得到OO的“關(guān)聯(lián)線段”，8?,83c3都不能繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到;

故答案為B2c2；

(2)由題意可得：當(dāng)8c是。。的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段'’時，則有△A5'C'是等邊三角形，且邊長也為1,當(dāng)

點(diǎn)A在y軸的正半軸上時，如圖所示：

設(shè)8c與），軸的交點(diǎn)為。，連接08’,易得8'C'Ly軸,

/.B'D=DC'=~,

2

/.0D=>JOB'2-B'D2=—,AD=-JAB'2-B'D2=—,

22

/.OA=y/3,

t=6;

當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時，如圖所示:

同理可得此時的04=6,

（3）由BC是G）。的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知B',C'都在OO上，且A8'=A8=1,AC'=AC=2,則有當(dāng)

以皆為圓心，1為半徑作圓，然后以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡，如圖所示：

由運(yùn)動軌跡可得當(dāng)點(diǎn)A也在。。上時為最小，最小值為1,此時AC'為的直徑，

Z/?C'=90。，

ZAC5=30°,

/.BC=B'C=AC-cos30°=^；

由以上情況可知當(dāng)點(diǎn)A8',0三點(diǎn)共線時，OA的值為最大，最大值為2,如圖所示:

連接。過點(diǎn)C作CPJ_Q4于點(diǎn)尸,

二OC'=1,AC'=OA=2,

設(shè)OP=x,則有AP=2—x,

二由勾股定理可得:C'P2=AC'2-AP2=OCn-OP2,即22-（2-X）2=1-X?,

解得：x=L，

4

???CP:叵,

4

3

??.BfP=OB,-OP=-

4f

在MAB'PC'中，B'C'=ylB'P2+C'P2=—,

2

/.BC=—;

2

綜上所述：當(dāng)。4而=1時，此時BC=6；當(dāng)。4a=2時，此時BC=^.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、

三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(1)平行，P3；(2)且；(3)4叵

2222

【分析】

(1)根據(jù)圓的性質(zhì)及“平移距離”的定義填空即可；

(2)過點(diǎn)0作OELAB于點(diǎn)E,交弦CD于點(diǎn)F,分別求出OE、OF的長，由4=。5-。尸得到4的最小值；

(3)線段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A(2，T)為圓心，半徑為1的圓，只需在。。內(nèi)找到與之平行，且長度

為1的弦即可.平移距離&的最大值即點(diǎn)A,B點(diǎn)的位置，由此得出4的取值范圍.

【詳解】

解：(D平行；P3；

(2)如圖，線段AB在直線y=6x+2石上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD,CD〃AB,過點(diǎn)0作OELAB

于點(diǎn)E,交弦CD于點(diǎn)F,OF1CD,令y=0,直線與x軸交點(diǎn)為(-2,0),直線與x軸夾角為60。，

OE=2sin60=6

由垂徑定理得：==李，

：.d.=OE-OF=-

'2

X

A及2eVO、J2

■1

(3)線段AB的位置變換，可以看作是以點(diǎn)A(2,g)為圓心，半徑為1的圓,

只需在。。內(nèi)找到與之平行，且長度

為1的弦即可；

點(diǎn)A到0的距離為A0=卜?+(|J=|.

53

如圖，平移距離4的最小值即點(diǎn)A到。0的最小值：--1=-；

-y

-1

平移距離4的最大值線段是下圖AB的情況，即當(dāng)AI,A2關(guān)于0A對稱，且AIB2，A|A2且A|B2=1時

B2A2Al=60°,則NOA2Al=30°,

TOA2=1,OM=4,A2M=B,

22

而

?*.MA=3,AA2=

.?.4的取值范圍為：|<44浮

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的基本性質(zhì)及與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握圓的基本性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

3.(1)］；(2)①P的縱坐標(biāo)“41或②0<”血.

【分析】

(1)由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性質(zhì)可求得DE=2,最長中內(nèi)弧即以DE為直徑的半圓，OE的長即以DE為

直徑的圓周長的一半；

(2)根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上，，①當(dāng)f時，要注意圓心P在DE上方的中垂

線上均符合要求，在DE下方時必須AC與半徑PE的夾角/AEP滿足9(TWNAEPV135。；②根據(jù)題意，t的最大值

即圓心P在AC上時求得的t值.

【詳解】

解:(1)如圖2,

以DE為直徑的半圓弧￡>E，就是^ABC的最長的中內(nèi)弧DE，連接DE,???/A=90。，AB=AC=2正，D,E分別

是AB,AC的中點(diǎn)，BC="^=-^-=4,OE=18C=Lx4=2,

sinBsin4522

??.弧￡)E=gx27r=/；

(2)如圖3,由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE,作DE垂直平分線FP,作EG_L

AC交FP于G,

①當(dāng)/=；時，C(2,0),；.D(0,1),E(1,1),叫

設(shè)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心線段DE上方射線FP上均可，

VOA=OC,ZAOC=90°

:.ZACO=45°,

VDE/7OC

AZAED=ZACO=45O

作EGJ_AC交直線FP于G,FG=EF=;

根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G的下方(含點(diǎn)G)直線FP上時也符合要求;

綜上所述，1或mNl.

2

TP在DE中垂線上，

3

，P為AE中點(diǎn)，作PM_LOC于M,則PM二—

2

,:DE〃BC

/.ZADE=ZAOB=90°,

AE=yjAD^DE2=712+(2r)2="『+1

VPD=PE,

AZAED=ZPDE

*.?ZAED+ZDAE=ZPDE+ZADP=90°,

AZDAE=ZADP

/.AP=PD=PE=-AE

2

由三角形中內(nèi)弧定義知，PD<PM

???/AE，AE<3,即J4/+1,,3,解得：L,叵

vr>0

/.0<V2

【點(diǎn)睛】

此題是一道圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，弧長計算，直角三角形性質(zhì)等，給出了“三角形中內(nèi)弧''新定義，要求學(xué)

生能夠正確理解新概念，并應(yīng)用新概念解題.

4.(1)2；(2)一14%<0或0</41；(3)f=Y或0W/W4-2收或f=4+2&-

【詳解】

分析：（1）畫出圖形，根據(jù)"閉距離''的概念結(jié)合圖形進(jìn)行求解即可.

（2）分k<（）和&>0兩種情況，畫出示意圖，即可解決問題.

（3）畫出圖形，直接寫出，的取值范圍.

詳解：（1）如下圖所示：

'：B(-2,-2),C(6,-2)

:.D(0,-2)

：.d(。，^ABC)=OD=2

(2)-l<k<0^0<k<l

（3）f=T或0W4-2應(yīng)或/=4+2&.

點(diǎn)睛：屬于新定義問題，考查點(diǎn)到直線的距離，圓的切線的性質(zhì)，認(rèn)真分析材料，讀懂“閉距離''的概念是解題的關(guān)

鍵.

5.(DC：(2)-1-V2<xk<l-72^72-l<Xk<l+V2；(3)m--2布或他3+2?

【分析】

(1)由題意可知當(dāng)Q與A重合時，點(diǎn)C在以AP為直徑的圓上，所以可以成為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)的是C；

(2)根據(jù)題意由兩點(diǎn)的距離公式可得AP=BP=20,分別畫以AP和BP為直徑的圓交x軸于4個點(diǎn)：跖、*、

矽、K4,結(jié)合圖形2可得4個點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得結(jié)論；

(3)由題意先根據(jù)直線y=gx+3,當(dāng)x=0和y=0計算與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，分兩種情況：M在A的左側(cè)和右

側(cè)，先計算圓E與直線y=gx+3相切時m的值，從而根據(jù)圖形可得結(jié)論.

【詳解】

解：(1)如圖1,可以成為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)的是C,

(2)VP(0,1),點(diǎn)A(-2,-1),點(diǎn)B(2,-1).

AP=BP=^/(-2-0)2+(-1-1)2=2垃,

如圖2,分別以PA、PB為直徑作圓，交x軸于點(diǎn)Ki、七、K3、K4,

/.PE=AE=^2>

.\OE=|AG=I,

，KI(-1-72,0),kz(1-&,0),k3(應(yīng)-1,0),k4(1+&,0),

,/點(diǎn)K為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)，

-1-41<Xk<l->/2或啦_l<Xk<l+>/2;

(3)分兩種情況：

①如圖3,當(dāng)M在點(diǎn)A的左側(cè)時，Q為線段AM上一動點(diǎn)，以PQ為直徑的圓E與直線y=gx+3相切于點(diǎn)F,連

接EF,則EF_LFH,

V

當(dāng)x=0時，y=3,當(dāng)y=0時，y=1x+3=0,x=-6,

??.ON=3,OH=6,

ONEF3\_

VtanZEHF=

~OH~FH62

設(shè)EF=a,則FH=2a,EH=^a,

.,.0E=6-石a,

□△OEP中，OP=1,EP=a,

由勾股定理得：EP2=OP2+OE2,

Aa2=l2+(6-^)2,

解得：a=也普（舍去）或守，

QG=2OE=2(6-石a)—-3+2VlO,

.\m<3-2M；

②如圖4,當(dāng)M在點(diǎn)A的右側(cè)時，Q為線段AM上一動點(diǎn)，以PQ為直徑的圓E與直線y=gx+3相切于點(diǎn)F,連

接EF,則EFJ_FH,

同理得QG=3+2ji6,

.,.m>3+2^,

綜上，m的取值范圍是mW3-2j訪或mN3+2jid.

【點(diǎn)睛】

本題屬于圓和一次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)的應(yīng)用，新定義：M為點(diǎn)P與線段AB的共圓點(diǎn)，圓的切線的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用圖象法解決問題，學(xué)會利用特殊點(diǎn)解決取值范圍問題.

6.(1)①NAP28,NAP38；②-5〈店5；(2)〃的最大值為2；f的取值范圍是-6-10<5

【分析】

(1)判斷點(diǎn)P，尸2,P3是否在以AB為直徑的圓弧上即可得出答案；

(2)求得直線A8的解析式，當(dāng)直線y=2x+〃與弧AB相切時為臨界情況，證明可求出此時〃=5,

則答案可求出；

(3)可知線段上任意一點(diǎn)(不包含點(diǎn)M)都必須在以TD為直徑的圓上，該圓的半徑為2,則當(dāng)點(diǎn)N在該圓的

最高點(diǎn)時，〃有最大值2,再分點(diǎn)H不與點(diǎn)M重合，點(diǎn)M與點(diǎn)H重合兩種情況求出臨界位置時的f值即可得解.

【詳解】

解：(1)如圖1,

圖1

Q4(1,0),A(0,-5),3(4,3),

\AB=y/42+82=4石，RA="+5?=-J16,RB=33?+32=30,

A不在以AB為直徑的圓弧上，

故不是48關(guān)于G)O的內(nèi)直角，

Q6(0,3),A(0,-5),B(4,3),

\P、A=8,AB=4后，《8=4,

222

\P2A+P2B=AB,

\?AP,B90?,

\?A6B是AS關(guān)于。。的內(nèi)直角，

同理可得，P.B2+P,A2=AB2,

\?4GB是A8關(guān)于。。的內(nèi)直角，

故答案為：bA^B,DARB；

(2)?.?NAPB是AB關(guān)于。。的內(nèi)直角，

ZAPB=90°,且點(diǎn)尸在。。的內(nèi)部，

,滿足條件的點(diǎn)尸形成的圖形為如圖2中的半圓H（點(diǎn)A,B均不能取到），

過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)。，

QA(0,?5),8(4,3),

.?.80=4,A￡)=8,

并可求出直線AB的解析式為y=2x-5,

當(dāng)直線y=2x+/?過直徑43時，｝=-5,

連接。8,作直線O"交半圓于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作直線EF//AB,交》軸于點(diǎn)尸,

\OA=OB9AH=BH,

..EH.LAB,

；.EHtEF,

.?.族是半圓”的切線.

Q2OAH?OAH,2OHB?BDA90?,

\DOAHSDBAD,

OH

.-BD_4=j_

"'AH~~AD~8"2'

\OH=-AH=-EH,

22

\OH=EO,

Q?EOF?AOH,2FEO1AHO907,

\DEOF@DHOA(ASA),

\OF=04=5,

■.■EFI/AB,直線AB的解析式為y=2x-5,

???直線EF的解析式為"2x+5,此時6=5,

."的取值范圍是-5<b?5.

(3)?.?對于線段MN上每一個點(diǎn)”，都存在點(diǎn)T,使““E是OE關(guān)于eT的最佳內(nèi)直角，

點(diǎn)T一定在ZDHE的邊上，

QTO=4,ZDHT=90°,線段MN上任意一點(diǎn)(不包含點(diǎn)M)都必須在以7D為直徑的圓上，該圓的半徑為2,

.??當(dāng)點(diǎn)N在該圓的最高點(diǎn)時，〃有最大值，

即〃的最大值為2.

分兩種情況：

①若點(diǎn)H不與點(diǎn)M重合，那么點(diǎn)T必須在邊"E上，此時/D〃T=90。，

點(diǎn)”在以O(shè)T為直徑的圓上，

如圖3,當(dāng)。6與仰相切時，GH1MN,

=0N=2,

\MN=-JON2+OM2=y/5，

Q?CMH?OMN,?GHM?NOM,ON=GH=2,

\DGHM@DNOM(ASA),

\MN=GM=45,

\OG=石-1,

\OT=75+1,

當(dāng)T與M重合時，/=1,

此時f的取值范圍是-后-

②若點(diǎn)H與點(diǎn)〃重合時，臨界位置有兩個，一個是當(dāng)點(diǎn)T與〃重合時，，=1,另一個是當(dāng)，M=4時，f=5,

，此時,/的取值范圍是L,r<5,

綜合以上可得，f的取值范圍是-6-L,r<5.

【點(diǎn)睛】

本題是圓的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角

形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想，正確理解最佳內(nèi)直角的意義是解本題的

關(guān)鍵.

7.(1)①孝，也,64cp42,②0;(2)b>^-(3)0<i<3.

【分析】

(1)①根據(jù)垂線段最短以及已知條件，確定OP,CP的最大值，最小值即可解決問題.②根據(jù)限距關(guān)系的定義判

斷即可.

(2)直線y=+匕與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F,G(0,b),分三種情形：①線段FG在。O內(nèi)部，②線段FG與

。。有交點(diǎn)，③線段FG與。O沒有交點(diǎn)，分別構(gòu)建不等式求解即可.

(3)如圖3中，不妨設(shè)。K,。11的圓心在x軸上位于y軸的兩側(cè)，根據(jù)。H和。K都滿足限距關(guān)系，構(gòu)建不等式

求解即可.

【詳解】

(1)①如圖1中,

VD(-1,0),E(0,G),

.,.OD=1,OE=B

npr-

：.tcm^EDO=—=yl3,

OD

：.ZEDO=60°,

當(dāng)OP_LDE時，OP=ODrin600=B,此時OP的值最小，

2

當(dāng)點(diǎn)P與E重合時，OP的值最大，最大值為G，

當(dāng)CPJ_DE時，CP的值最小，最小值=8?°行60。=6，

當(dāng)點(diǎn)P與D或E重合時，PC的值最大，最大值為2,

故答案為：—,8,>/3<CP<2.

2

②根據(jù)限距關(guān)系的定義可知，線段DE上存在兩點(diǎn)M,N,滿足OM=2ON,

故點(diǎn)O與線段DE滿足限距關(guān)系.

故答案為O.

(2)直線y=6x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F,G(0,b),

當(dāng)0<b<l時，線段FG在。O內(nèi)部，與。。無公共點(diǎn)，

此時上的點(diǎn)到線段FG的最小距離為1-b,最大距離為1+b,

???線段FG與。O滿足限距關(guān)系，

Al+b>2(1-b),

解得人之;,

；.b的取值范圍為:4b<l.

當(dāng)lWbW2時，線段FG與。。有公共點(diǎn)，線段FG與。。滿足限距關(guān)系，

當(dāng)b>2時，線段FG在。。的外部，與。0沒有公共點(diǎn)，

此時。0上的點(diǎn)到線段FG的最小距離為,最大距離為b+1,

?.?線段FG與。O滿足限距關(guān)系，

；?〃+122^—/?—1],

而6+總成立，

.?.b>2時，線段FG與。。滿足限距關(guān)系，綜上所述，b的取值范圍為人2g.

(3)如圖3中，不妨設(shè)。K,0H的圓心在x軸上位于y軸的兩側(cè)，

圖3

兩圓的距離的最小值為2r-2,最大值為2r+2,

H和。K都滿足限距關(guān)系，

：.2r+2>2(2r-2),

解得區(qū)3,

故r的取值范圍為0<E3.

【點(diǎn)睛】

本題屬于圓綜合題，考查了解直角三角形，垂線段最短，直線與圓的位置關(guān)系，限距關(guān)系的定義等知識，解題的關(guān)

鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建不等式解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型.

8.⑴①②或（|,-6）；（2）=或3氣<告逝

【分析】

（1）①根據(jù)定義求出三角形面積與。A?進(jìn)行比較即可確定線段OA的“等幕點(diǎn)”；②如圖，由AOAB是線段04的“等

幕三角形”，可得￡皿=。42.由點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（3,0）,若記中OA邊上的高為力，可得產(chǎn)m=9,求

33

出為=6.由AOW是等腰三角形，點(diǎn)8在線段04的垂直平分線上即可求點(diǎn)8的坐標(biāo)為（彳，6）或（彳，-6）；

（2）設(shè)半圓與x軸交于G,H兩點(diǎn),過7作CH的平行線與半圓交于R,作CH的垂線交半圓于Q,直線產(chǎn)x-3與），

軸交于N,設(shè)。（x,x-3）,過。作），軸平行線，與過C作x軸平行線交于尸，求出N（0,-3）,H（3,0）,可證△

ON”為等腰直角三角形，NOHN=NON〃=45。，點(diǎn)。運(yùn)動分兩種情況，第一種情況點(diǎn)力在射線C”，去掉線段CH

部分運(yùn)動，在R△TC”中777=2,TC=CH=THxsin450=2x顯=母,QC=2+及，又因為△ECO為銳角三角形，點(diǎn)E

2

在QR上運(yùn)動，點(diǎn)E到CZ）的距離/?的范圍是&。42+0,可求/z=2CD=20（x-2）,3<玄〈言&；第二種情

況點(diǎn)。在射線CU上，去掉線段CU部分運(yùn)動，點(diǎn)E在QG上運(yùn)動，求出GU=GHxcos45o=2應(yīng)，可得

20T42+應(yīng)，可求2042收（2—引42+0,解不等式即可得上也<%<1.

【詳解】

11