2023年全國新高考Ⅰ卷（新課標1）高考數學試卷真題（含答案逐題詳解）

數學試題第數學試題第1頁(共4頁)絕密★啟用前試卷類型：A2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(新高考I卷)數學本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1.2.3.4.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效?？忌仨毐３执痤}卡的整潔。考試結朿后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知集合A/=(-2,-1,0,1,2},N={x|j_x_6,0},則M^N=A.{—2,—1,0,1}B.{0,1,2}C.{一2}D?{2}2.A.-iB.iC.0D.13.已知向量a=(1,1),A=(1,-1).若(。+而)丄(。+/小)，則B.A+//=—1C.M=1D.M=T4.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+<o)4.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+<o)設函數fix)=在區(qū)間(0,1)單調遞減，則a的取值范圍是5.設橢圓q：%+丁=w>1),c,：—+/=1的離心率分別為弓,a "45.6.A.2>/33B.D.V6過6.A.2>/33B.D.V6過(0,-2)與圓x2+y2-4x-\=Q相切的兩條直線的夾角為。，則sina=1記&為數列｛%｝的前”項和，設甲：｛%｝為等差數列：乙：｛?｝為等差數列，則n甲是乙的充分條件但不是必要條件甲是乙的必要條件但不是充分條件甲是乙的充要條件甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件己知sin(a-/?)=-,cosasin/7=，,則cos(2a+ =A.B.C._9D._7_A.B.C._9D._7_9二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分。有一組樣本數據.rpx2,.-,x6,其中*是最小值，a;是最大值，則易，玉，心，七的平均數等于工"2，.,%的平均數易，玉，工4，改的中位數等于X,,X2,,X6的中位數x2,x^,x4,x5的標準差不小于X],尤2,,七的標準差X2,X^,X4,X5的極差不大于為,沔，，工6的極差噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級L,,=20x其中常數po(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060-90混合動力汽車1050-60電動汽車1040己知在距離燃油汽車，混合動力汽車，電動汽車10m處測得實際聲壓分別為Pl，p2,P3,則A.P|Np2B.A.P|Np2B.p2>10p3C.P3=100poD.rW100p2A./(0)=0A./(0)=0C./(x)是偶函數H.已知函數/⑴的定義域為R,/(”)=)<f(x)+x"(y),則B.六1)=0D.才=0為/(》)的極小值點數學試題第2頁(共4頁)數學試題第數學試題第#頁（共4頁）下列物體中，能被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有直徑為0.99m的球體所有棱長均為1.4m的四面體底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體底面直徑為1.2m,高位0.01m的圓柱體三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）.在正四棱臺ABCD-ABCU中，AB=2,4鳥=1,M=扼，則該棱臺的體積為 己知函數f（x）=coscox-\（（o>Q）在區(qū)間[0,2n],有且僅有3個零點，則刃的取值范圍是 已知雙曲線C:三?-耳=1（0>0,8>0）的左、右焦點分別為鳥，F2.點/在。上，點8在y軸上，F2A=~F2B,則C的離心率為 . 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（10分）已知在△48C中，A+8=3C,2sin（A-C）=sin?.（1） 求sin4:（2） 設AB=5,求人8邊上的髙.（12分）如圖，在正四棱柱ABCD_ABGU中，AB=2,44,=4.點A?,B2,C2,侃分別在棱M，BBi，CCX,DDt±.,AA2=\,BB2=DD2=2,CC2=3.（1） 證明：B2C2//\D2；（2） 點P在棱84上，當二面角P-AC,-D2^J150。時，求&P.（12分）己知函數f（x）=a（ex+a）-x.（1） 討論/（x）的單調性；（2） 證明：當白＞0時，求證：/U）＞21n?+|.（12分）設等差數列0｝的公差為d，且d＞l.令如=■勻，記7；分別為數列｛%｝,｛々｝的an前n項和.（1） 若3角=3%+%,§+7；=21,求｛《J的通項公式：（2） 若｛"｝為等差數列，且S的-心=99,求（12分）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為0.5.（1） 求第2次投籃的人是乙的概率；（2） 求第，次投籃的人是甲的概率；（3） 己知：若隨機變量X,服從兩點分布，且P（Xj=1）=1-P（Xj=0）=冬,i=則￡（飲）=￡"記前，，次（即從第1次到第"次投籃）中甲投籃的次數為V,求E（Y）.；=! r=i（12分）在直角坐標系xQy中，點P到x軸的距離等于點P到點（0,9的距離，記動點戶的軌跡為（1） 求附的方程；（2） 己知矩形ABCD有三個頂點在呼上，證明：矩形ABCD的周長大于以.2023年全國統(tǒng)一高考數學試卷（新課標I卷）（適用地區(qū)：山東、廣東、湖南、湖北、河北、江蘇、福建、浙江）注意事項：答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.己知集合〃={一2,-1,0,1,2},N={x|x2_x_6N0},則=A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}C.{-2}D-{2}【答案】C【解析】?.?/_x_6N0。(x-3)(*+2)耳，N=g-2]U[3,4<o),又M=(-2,-1,0,1,2},.?.〃nN={-2},故選C.2.已知z=———,則z-3=2+21A.-i B.iC.0D.1【答案】A【解析】3=±±=0項1)=&=-2+2i2(l+i)(l-i)41._1.-項，券"z“3.己知向量q=(1,1),方=(1,-】).若(a+Zb)±(a+/jb)則A.人+〃=1 B.2+//=-1C.2//=lD."=一1【答案】D【解析】由題意得4+払=（1+人,1一；1）,4+夂6=（1+//,1-“），?.?（口+払）丄伽+/^），（。+您）?（4+/^）=0艮卩（1+人）（1+#）+（1—人Xl-"）=0，整理得加=-1，故選D.4,設函數在區(qū)間（0,1）單調遞減，則。的取值范圍是(-oo,-2] B.(-2,0) C.(0,2] D.[2,-ko)

【答案】D【解析】?.?y=2x在R上是單調増函數，.?.函^=x(x-a)=(x--)2-—在(0,1)上單調遞2 4減，.?.；Nl=?々e[2,+co),故選D.設橢圓G：號+*2=](白>1),c2z^-+y2=1的離心率分別為e】’e?.若e?=,則。=A2f B.41 C.>/3 D.\/6【答案】A【解析】由。2=國，得涉=3涉，即土1=3?寫，解得。=甌.過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-\=0相切的兩條直線的夾角為a,貝ijsina=1 B.匝 C.晅 D.亟4 4 4【答案】B【解析】圓C：x2+y2-4x-l=0化簡得(x-2)2+y2=5,圓心為C(2,0),r=y/5,設Z.CPA=0則a=20Z.CPA=0則a=20如圖濕0=巖=我則cosO=^=2V2=匝C.甲是乙的充要條件=匝C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件又不是必要條件sina=sin20=2sin^cos記％為數列｛%｝的前項和，設甲：｛%｝為等差數列；乙：[斗｝為等差數列，則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件【答案】C【解析】數列｛%｝為等差數列+b=S“=〃S—受=斗=加*25為等差數列，所以甲是乙的充要條件'己知sin(a-0)=；,cosasin^=\,則cos(2a+2")=3 6a，6a，6B-9以-9【答案】B【解析】已知sin(a-^)=sinacos/?-cosasin/?=-,cosasin^=-,3 6所以sin(a+/?)=sinacosP+cosasin,所以cos(2a+2p)=cos2(a+/?)=l-2sin2(a+^)=l-2x^—J=-二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。有一組樣本數據玉,沔,???,*，其中也是最小值，％是最大值，則習,毛,工4，毛的平均數等于Xl,x2,,x6的平均數x2,xitx4,x5的中位數等于不，也,…,％的中位數x2,xi9x4,xs的標準差不小于為％,…,％的標準差d%%的極差不大于xpx2,,x6的極差答案：BD【解析】對于選項A,如1、2、2、2、4的平均數不等于2、2、2、2的平均數，故錯誤對于選項B,不妨設瑪尋3。4。5，今不，工4，毛的中位數為—；利,不％,…,％的中位數為心1,所以B正確；2對于選項C，內,易,???,七的數據波動性更大，所以C錯誤；對于選項D,不妨設沔。3尋4尋5，則玉小2尋3。4尋5。6，所以毛-，力6-玉，故正確?噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度最聲音的強弱，定義聲壓級4=20xlg￡,其中常數Po(p°>O)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓，下表為不同Po聲源的聲壓級A.p*2【答案】ACDB.A.p*2【答案】ACDB.如>1°史3C?p3=100poD.Pi<100pz聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060?90混合動力汽車1050?60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處洲得實際聲壓分別為P”P2，P3則燃油汽車厶=20xlgAG[60,90],PoTOC\o"1-5"\h\z/.A=10^,Lpie[60,90] ①Po色=102。，厶司50,60] ②Po%= =io2=ioo ③p。對于A選項，由表知,所以4正確;如-如1 n對于B選項，②+③，典=1020w[102,10p,?.?查＜10,所以B錯誤

P3 An妬對于C選項，冬=1。2。=1()2=100,所以C正確Po如-如對于D選項，GXg),4=1020c[10°,102],.?.4即,100],P/100P2,所以D正確Pl P2已知函數/(X)定義域為R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)^貝VA./(0)=0 B./(1)=0C./(x)是偶函數 D.x=0為/3)的極小值點答案：ABC對于選項A,令x=0,*=0,/(0)=0,所以A正確；對于選項B,令x=l,y=\,/(Ix1)=I2x/(I)+12x/(I)=2/(I)=>/(I)=0所以B正確;對于選項C,令工=-1,*=-1,/[(-I)x(-1)]=(-I)?x/(-l)+(-1)2x/(-l)=2/(-1)n/(-I)=0再令X=_l,y=X，/[(-I)xx]=x2x/(-l)+(_1)2Xf(x)=/(-x)=f(x)所以C正確；對于選項D,函數/(同=0為常數函數，且滿足原題f(xy)=y2fM+x2f(y)t而常數函數沒有極值點，所以D錯誤.下列物體，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內的有直徑為0.99m的球體所有棱長均為1.4m的四面體底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體答案：ABD

對于A選項，正方體內切球直徑為1米，故A正確；對于B選項，如圖，正方體內部最大的正四面體棱長為皿＞1.4,故B正確;對于C選項，如圖，底而直徑為0.01米，可忽略不計.高為1.8米，可看作高為1.8米的線段，而體對角線為0V1.8,故C錯誤對于D選項，如圖，高為0.01米，可忽略不計，看作直徑為1.2米的平面圖.E、F、G、H、I、J為各棱中點，六邊形EFGHIJ為正六邊形，其棱長為孚m,其內切圓直徑為FH.AZGFH=ZGHF=30°,:?FHFH.AZGFH=ZGHF=30°,:?FH=WfG=y[^GH=^m,修）=§＞（1.2）2=1.44所以D選項正確三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數字作答）.【答案】64【解析】若選修2門課，則需要從體育類和藝術類中各選擇1門，共有C；C：=16種；若選修3門課，則分為兩種情況，2門體育類1門藝術類或2門藝術類1門體育類，共有2C：C：=48種；故選課方法一共有48+16=61種.

在正四棱臺4BCD-ABCQi中，刀8=2,礎=1,絕鄧,則該棱臺的體積為 【答案】華0【解析】在等腰梯形MC/C中，AC=24i,A,C,=5/2,AA{=41，則力=V=S(S+§+廁“=!(1+4+序7)x^=平已知函數/(x)=cos6yx-l(ey＞0)在區(qū)間[0,2可有且僅有3個零點，則刃的取值范圍是【答案】[2,3)【解析】xe[0,2z],coxe[0,2am],則4兀《25＜6兀，所以2《企＜3. 已知雙曲線。:&一4=1(。＞°他＞0)的左右焦點分別為￡禹.點N在C上，點B在yab軸上，曲丄薜，F\A=--F\B，則C的離心率為. 【答案】學【解析】設BF2=3m,則有AF2=2mtBF}= =2m+2a在RMB鳥中，（5m）2=（3/n）2+（2m+2a）2BP3m2=2am+a2即o=或。=一3??（舍），又cos/-AF^=-cos/BF^F、,即伽八閔一伽+2弒=工,即cF_2g_%.2x2mx2c代入a=m,有2x2mx2c代入a=m,有e=~^~四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(10分)已知在心C中，A+B=3C,2sin(4—C)=sin3.求sin-4；設43=5,求力8邊上的高.【答案】(1)聲：(2)6.【解析】（1）因為A+B+C=兀,A+B=3C,所以A+B+C=4C=7rf解得C=^,4所以2sin（J-Q=sin（^+C）,即2sinJcosC-2cosJsinC=sinJcosC+cosJsinC,化簡得sinJcosC=3cosAsinC,所以sinJ=3cosJ,因為sin'力+海2刀=],0<A<7Tt解得sinA=2^1210TOC\o"1-5"\h\z(2)由sinA=^12.得，cos/="Q,所以sinB= ,10 10 5m壯中理AB AC BC負 5 AC BC由正弦定理^―=-—=—得，-f==—==—=,sinC sinB sin/I V2 2v5 3V10T—~\0~解得^C=2>/i0,BC=3$,設SB邊上的高為h,由三角形的面積公式，-ACBC^C=-ABh,2 2解得人=6.（12分）如圖，在正四棱柱ABCD-A.Bfi.D,中，AB=2,"=4,點鳥，B*02,久分別在棱BB],CC）,DD】上,AA2=\,BB2=DD2=2,CC2=3.（1） 證明：&G//4D2；（2） 點P在棱BB】上,當二面角戶一4。2一。2為150°，求B2P.【答案】（1）見解析；（2）B2P=1.【解析】（1）作依析BB】于E,ZV7丄CG于F；則A2E//D2Ff在aA2FED1中，又C2F=B2E=\,則C2BJ/EFI/&D2,得證.（2）如圖建系，設P(O,O,h)，又C2(2,0,3)，瓦(0,2,1),。2(2,2,2)測液=(2,0,1),林=(2,-2,2),帝=(0,—2,方一1),平面4。2弓的法向量嘉=(1,一1,一2),平面的法向量〃2=(方一3,方一1,2),則=^=|cosl50°|,則人=1或/?=3,所以B2P=\.n\{n2 '(12分)已知函數f(x)=a(et+a)-x.討論/(x)的單調性；證明：當。>0時，/(x)>21na+|.【答案】見解析【解析】(1)f\x)=aex-l,當応0時，，(x)v0在R上恒成立，/(X)在R上單調遞減；當。>0時，令/。)=0,x=-\na,在(-oo,-lna)±/(x)<0,在(-Ina,+00)±/'(x)>0；所以/(x)在(*,-阮)上單調遞減，在(-1",做)上單調遞增；綜上所述：當応0時，/(x)在R上單調遞減；當。>0時，/(x)在(Yo,-lna)上單調遞減，在(-lna,-H?)上單調遞増。(2)由(1)可得，當。>0時，當x=-ln。時，最小值/(x)?jn=/(-lna)=l+a2+lna?要證/(x)>21na+-^成立，即證最小值丿(X)頑=l+a2+lna>21n￡7+-2 2?即證a2-Ina-->0> h(a}=a2-Ina--,貝0h'(a)=2a--=———，2 2 ?a綜上所述,綜上所述,4=：+卜修)?21.21.(12分)令帥）=0,解得Q=g,當心時，方'0）＜0,當心時，方'0）＜0,人（。）單調遞減,當心gz）吋，〃（“）＞0,方（〃）單調遞増,所以當。=專時，最小值"(a)min=?+f-!=~~>0?所以當々＞0時，/（x）＞21na+|成立.20.（12分）設等差數列｛%｝的公差為且d＞\.令b〃=5~，記&,7；分別為數列｛%｝,｛如｝的前an〃項和.（1） 若3絢=30+電，S3+馬=21,求｛%｝的通項公式；（2） 若｛》〃｝為等差數列，且S的-玲=99,求d?【答案】（1）a=3n；（2）d=—“ 50［解析】（1）由3四=3^|+a3?得0=d；9又S3+弓=。|+佝+丹+4+奶+缶=6d+—=21,d即2"2_7d+3=0,所以d=3,故a?=3n.（2）由題意得，設’；_：：：,則a＞rn=n2+n,即（p〃+q）（s〃+，）=/+〃，由此可得：psn2+（tp+sq）n+tq=n2+n,顯然iq=。,g=0或，=0;當￡=0時，bn=sn?顯然與題意不符，所以q=0,又因為等差數列｛%｝的公差為d,即p=d,a,,=dn,所以止切=呂二=啤，c H?*? /Y99則S99-農=（0f）+（。2-奶）+（。3-么）+?.?+（%9-奴）=ZM=1即fd-？］x竺業(yè)-99x4=99,可得d=—.d）2d 50

甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.求第2次投籃的人是乙的概率；求第，次投籃的人是甲的概率；己知:若隨機變量X,?服從兩點分布，且F(X,=l)=l-P(X,=O)=q.0=l,2,則EiXi\=記前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數為Y,求E(Y).【解析】第1次投籃有兩種情況：甲投籃、乙投籃，概率均為0.5.如果第1次是甲投籃，則第2次是乙投籃當且僅當甲在第1次投籃中未命中；如果第1次是乙投籃，則第2次是乙投籃當且僅當乙在第1次投籃中命中.根據全概率公式，第2次投籃的人是乙的概率：0.5x(1-0.6)+0.5x0.8=0.6記4為第，次投籃的人是甲的概率，則1-月為第i次投籃