等比數(shù)列二課件北師大版必修五

理解等比中項(xiàng)的概念．掌握“判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列”常用的方法．進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及應(yīng)用．3.1等比數(shù)列(二)【課標(biāo)要求】【核心掃描】在等比數(shù)列中，若m＋n＝p＋q(n，m，p，q∈N＋)，則aman＝apaq的運(yùn)用．(重點(diǎn))等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合．(難點(diǎn))

1．2．3．1．2．等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，____________________，那么G叫作a與b的等比中項(xiàng)．試一試：若G2＝ab，則a，G，b一定成等比數(shù)列嗎？提示

不一定．因?yàn)槿鬐＝0，且a，b中至少有一個(gè)為0，則G2＝ab，而根據(jù)等比數(shù)列的定義，a，G，b不成等比數(shù)列；當(dāng)a，G，b全不為零時(shí)，若G2＝ab，則a，G，b成等比數(shù)列．自學(xué)導(dǎo)引1．使a、G、b成等比數(shù)列等比數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系以及性質(zhì)兩項(xiàng)關(guān)系多項(xiàng)關(guān)系通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N＋)項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則am·an＝_____ap·aqa2·an－1ak·an－k＋12．等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)(1)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則①{c·an}(c是非零常數(shù))是公比為q的等比數(shù)列；②{|an|}是公比為__的等比數(shù)列；③{anm}(m是整數(shù)常數(shù))是公比為___的等比數(shù)列．(2)若{an}、{bn}分別是公比為q1，q2的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}是公比為____的等比數(shù)列．想一想：常數(shù)列一定是等比數(shù)列嗎？提示

不一定．當(dāng)常數(shù)列為非零常數(shù)列時(shí)，此數(shù)列為等比數(shù)列，否則不是．4．|q|qmq1q2等比數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則(1){an}去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公比為q的等比數(shù)列；(2)奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a2n－1}是公比為q2的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a2n}是公比為q2的等比數(shù)列；(3)若{kn}成等差數(shù)列且公差為d，則{akn}是公比為qd的等比數(shù)列，也就是說等比數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)若成等差數(shù)列，則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)依次成等比數(shù)列．等比數(shù)列的單調(diào)性(1)當(dāng)q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．(2)當(dāng)q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．(3)當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列{an}是常數(shù)列．(4)當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列．名師點(diǎn)睛1．2．等比數(shù)列的設(shè)項(xiàng)法(1)一般地，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間一個(gè)數(shù)為a，再以公比為q向兩邊對(duì)稱地設(shè)其項(xiàng)；3．題型一已知三角形的兩角及一邊解三角形在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)均為正值，且a6·a10＋a3·a5＝41，a4·a8＝5，求a4＋a8.[思路探索]由題目可獲取以下主要信息：已知等比數(shù)列中某些量間的關(guān)系，求其他量間的關(guān)系．解答本題可從整體上利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【例1】規(guī)律方法在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中，常常涉及到次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算．若按常規(guī)解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來很麻煩，通過本例可以看出：結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)行整體變換，會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的效果．

在遞增的等比數(shù)列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．解在等比數(shù)列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得：a3·a7＝64與a3＋a7＝20聯(lián)立得：【訓(xùn)練1】∵{an}是遞增等比數(shù)列，∴a7>a3.∴取a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4.∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.互不相等的三個(gè)數(shù)之積為－8，這三個(gè)數(shù)適當(dāng)排列后可成等比數(shù)列，也可成等差數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)排成的等差數(shù)列．[思路探索]像等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列的設(shè)項(xiàng)方法主要有兩種，即“通項(xiàng)法”和“對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法”．【例2】題型二

等比數(shù)列的設(shè)項(xiàng)問題(2)此題用到“分類討論”的數(shù)學(xué)方法，使用“分類討論”方法解題時(shí)，必須做到以下兩點(diǎn)：①明確分類標(biāo)準(zhǔn)(如概念、性質(zhì)、運(yùn)算等)；②分類做到不重不漏．

有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)．【訓(xùn)練2】(本題滿分12分)在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比為q(q≠0)，且bn＝an＋1－an.(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列？說明理由．(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．【例3】題型三

等比數(shù)列的綜合題[規(guī)范解答](1)∵等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比為q，∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，(2分)若q＝1，則an＝1，bn＝an＋1－an＝0，∴{bn}是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，不是等比數(shù)列．(4分)∴{bn}是首項(xiàng)為b1＝a2－a1＝q－1，公比為q的等比數(shù)列．(8分)(2)由(1)可知，當(dāng)q＝1時(shí)，bn＝0；當(dāng)q≠1時(shí)，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N＋)．(12分)【題后反思】1.本題屬于“運(yùn)算數(shù)列”是否為等比數(shù)列的判定問題，根據(jù)等比數(shù)列的定義，對(duì)于公比的取值情況的討論十分關(guān)鍵，這不僅是解題思路自然發(fā)展的體現(xiàn)，而且是邏輯思維嚴(yán)謹(jǐn)性的具體要求．2．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則下列結(jié)論仍能成立．(2)當(dāng)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列；(3)在{an}中，每隔k(k∈N＋)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為qk＋1；(4)若m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差數(shù)列，則am，an，ap成等