四川省2022年高考理數(shù)考試真題與答案解析

四川省2022年高考·理科數(shù)學·考試真題與答案解析一、選擇題本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】，故選：C2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖，則（）A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯；講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差,所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.故選:B.3.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由題意，，所以,所以。故選：D.4.如圖，網格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）

A.8 B.12 C.16 D.20【答案】B【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積，故選：B.5.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當時，，所以，排除C.故選：A.6.當時，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.1【答案】B【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.7.在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為【答案】D【詳解】如圖所示：不妨設，依題以及長方體的結構特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；對于C，，，，C錯誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（）

A. B. C. D.【答案】B【詳解】解：如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以，故選：B.9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A. B. C. D.【答案】C【分析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側面積公式可得，再結合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以，故選：C.10.橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】設，則，根據(jù)斜率公式結合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結合離心率公式即可得解.【詳解】解：，設，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率，故選：A.11.設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】解：依題意可得，因，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：則，解得，即，故選：C．12.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由結合三角函數(shù)的性質可得；構造函數(shù)，利用導數(shù)可得，即可得解.【詳解】因為,因為當，所以,即,所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，故選：A二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分。13.設向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【詳解】解：設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以，故答案為：．14.若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．【答案】【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．【答案】.【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．16.已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．【答案】【詳解】設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.

三、解答題共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分．17.記為數(shù)列的前n項和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【小問1詳解】解：因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．【小問2詳解】解：由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時．18.在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【小問1詳解】證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；【小問2詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，則，設平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.19.甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【小問1詳解】設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為．【小問2詳解】依題可知，的可能取值為，所以，,，，。即的分布列為：01020300.160.440.340.06期望.20.設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．（1）求C的方程；（2）設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．【答案】（1）；（2）.【小問1詳解】拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】設，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.21.已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，則環(huán)．【答案】（1）（2）證明見的解析【小問1詳解】的定義域為，令,得當單調遞減當單調遞增，若,則,即，所以的取值范圍為【小問2詳解】由題知，一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設，要證,即證因為,即證，因為,即證即證，即證下面證明時，設，則設，所以,而所以,所以，所以在單調遞增，即,所以令，所以在單調遞減即,所以；綜上,,所以.（二）選考題共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分。22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．（1）寫出普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，求與交點的直角坐標，及與交點的直角坐標．【答案】（1）；（2）的交點坐標為，，的交點坐標為，．【小問1詳解】因為，，所以，即的普通方程為．【小問2詳解】因