2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市赤峰第四中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat15頁(yè)2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市赤峰第四中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C2．設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則角（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】先根據(jù)大邊對(duì)大角判斷角B范圍，再直接利用正弦定理求解即可．【詳解】∵，，，∴，，即.由正弦定理，得，∴，故選：A．3．如圖是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是（

）A． B．1C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，得到原來(lái)圖形的形狀，結(jié)合直角三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)槭且粋€(gè)平面圖形的直觀圖，其中斜邊，所以，根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得OB=O'B'=2，OA=2O'A'=，所以直角三角形的面積故選：D.4．已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.5．如圖所示，在四邊形ABCD中，，，BD為的角平分線，，則（

）

A．6 B．8 C． D．9【答案】B【分析】求出，可得的值，再由正弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)锽D為的角平分線，所以，因?yàn)椋詾殇J角，所以，所以，由正弦定理可知，即.故選：B.6．若的圖像如圖，（，是常數(shù)），則（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，，即可求出的取值范圍.【詳解】由圖可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，則，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，即，所以.故選：D7．已知函數(shù)則函數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】，即，，故選D.8．在中，滿足，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可知為的重心，然后結(jié)合向量的線性運(yùn)算及三角形重心的性質(zhì)可求．【詳解】因?yàn)闈M足，∴為的重心，∴，又∵，∴．故選：B．二、多選題9．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1和A1C1上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面 B．P∈平面ABB1A1C．平面AEF與平面BB1C1不相交 D．P，A1，A三點(diǎn)共線【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)兩條直線相交可以確定一個(gè)平面即可求解；對(duì)于B，C，D，根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可求解；【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋怨裁?，所以A正確；對(duì)于B，，平面，所以平面，故B正確，對(duì)于D，，平面，平面，所以平面∩平面=，故D正確；對(duì)于C，與相交，則平面與平面BB1C1相交，故C不正確.故選：ABD.10．已知圓錐的底面半徑為，高為2，為頂點(diǎn)，，為底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）.A．圓錐的體積為B．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為C．圓錐截面面積的最大值為D．若圓錐的頂點(diǎn)和底面上的所有點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球的體積為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，求出圓錐的母線長(zhǎng)，體積，側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)，軸截面面積，外接球體積，即可得出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)閳A錐的底面半徑為，高為，所以圓錐的母線長(zhǎng)，對(duì)于A，圓錐的體積，故A正確；對(duì)于B，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)圓錐截面為圓錐的軸截面時(shí)，此時(shí)，，則，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，截面的面積最大，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓錐的頂點(diǎn)和底面上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，即圓錐的外接球，設(shè)圓錐外接球半徑為，由球的性質(zhì)可知，即，解得，所以外接球的體積．故D正確．故選：ABD.11．關(guān)于直線，與平面，，以下四個(gè)命題中真命題是A．若，且，則 B．若，且，則C．若，且，則 D．若，且，則【答案】BC【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理，對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行分析，易得到答案．【詳解】解：若，且，則，可能平行也可能異面，也可以相交，故A錯(cuò)誤；若，且，則，一定垂直，故B正確；若，且，則，一定垂直，故C正確；若，且，則，可能相交?平行也可能異面，故D錯(cuò)誤故選：BC．【點(diǎn)睛】考查線線平行與垂直的判定，基礎(chǔ)題.12．（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．既是奇函數(shù)又是周期函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的最大值為1 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】用和差化積公式、二倍角公式、輔助角公式將函數(shù)化為的形式，再判斷其周期性、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性【詳解】,為非奇非偶函數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)稱軸：,,當(dāng)時(shí),,的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故B正確;的最大值為，故C錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí)，，所以在上不單調(diào)，所以在區(qū)間上不單調(diào)，所以A,C,D錯(cuò)誤.故選:ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn),和差化積公式、二倍角公式、輔助角公式的應(yīng)用,還考查了三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、與最值屬于中等題型.三、填空題13．若復(fù)數(shù)z滿足，______．【答案】【分析】化簡(jiǎn)，然后用復(fù)數(shù)模的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：14．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的________條件．（填充分必要條件，充分不必要條件，必要不充分條件，既不充分又不必要條件之一）【答案】必要不充分【詳解】試題分析：由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面α內(nèi)的一條直線，m⊥β，則α⊥β；反之，則不一定，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．【解析】本題主要考查充要條件的概念，立體幾何中的垂直關(guān)系．點(diǎn)評(píng)：基礎(chǔ)題，充要條件的判斷問(wèn)題，是高考不可少的內(nèi)容，特別是充要條件可以和任何知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合．充要條件的判斷一般有三種思路：定義法、等價(jià)關(guān)系轉(zhuǎn)化法、集合關(guān)系法．四、雙空題15．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體的兩個(gè)軸互相垂直的內(nèi)切圓柱所組成的公共部分為“牟合方蓋”（如圖所示），劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為，若“牟合方蓋”的體積為，則正方體的體積為______，正方體的外接球的表面積為______.

【答案】812π【分析】根據(jù)已知求出正方體的內(nèi)切球的體積，得到內(nèi)切球的半徑，根據(jù)正方體內(nèi)切球的直徑為其棱長(zhǎng)，外接球的直徑為其對(duì)角線，即可求解.【詳解】因?yàn)椤澳埠戏缴w”的體積為，又正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為，所以正方體的內(nèi)切球的體積，所以內(nèi)切球的半徑，所以正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的體積，所以正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線即，所以，所以正方體的外接球的表面積為．故答案為：；.五、填空題16．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊為，，，且，，則下列說(shuō)法正確的是______.①；②；③周長(zhǎng)的最大值為3；④的最大值為．【答案】②③④【分析】對(duì)于①、②，利用正弦定理判斷即可，對(duì)于③，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷，對(duì)于④，由選項(xiàng)③可知，結(jié)合基本不等式可得，從而可求出的最大值【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，所以②正確；對(duì)于③，根據(jù)余弦定理得，所以，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以③正確.對(duì)于④，由選項(xiàng)③可知，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，所以④正確.故答案為：②③④六、解答題17．已知矩形ABCD所在的平面，且，M?N分別為AB?PC的中點(diǎn).求證：(1)平面ADP；(2).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）取PD的中點(diǎn)Q，然后證明四邊形AMNQ為平行四邊形，進(jìn)而得到，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明問(wèn)題；（2）先通過(guò)線面垂直的判定定理證得平面PCD，進(jìn)而證明問(wèn)題.【詳解】（1）取PD的中點(diǎn)Q，連接AQ?QN，N?Q分別為PC?PD的中點(diǎn)，則且，四邊形ABCD為矩形，則且，M為AB的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，故四邊形AMNQ為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫鍭DP，平面ADP，因此，平面ADP.（2）平面ABCD，平面ABCD，，，，所以，平面PAD，平面PAD，則，，Q為PD的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，平面PCD，，故平面PCD，平面PCD，因此，.18．已知.（1）若，且，求的值；（2）若函數(shù)，求的最小值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）0；（3）存在，【分析】（1），根據(jù)向量共線公式計(jì)算得到答案.（2），得到最值.（3），根據(jù)垂直得到，得到范圍.【詳解】（1），又，∴，即.，∴.（2）∵，，∴.∴當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為.（3），若，則，即，∴.由，得，∴，故.∴存在，使得.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線求參數(shù)，數(shù)量積，根據(jù)垂直求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.19．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳解】（1）由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．20．如圖1，已知菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，將三角形沿線段折起到的位置，，如圖2所示．（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見證明；（2）.【分析】（1）折疊前，AC⊥DE；，從而折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能證明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．說(shuō)明四邊形DEBC為平行四邊形．可得CB∥DE．由此能證明平面PBC⊥平面PCF．（2）由題意根據(jù)勾股定理運(yùn)算得到，又由（Ⅰ）的結(jié)論得到，可得平面，再利用等體積轉(zhuǎn)化有，計(jì)算結(jié)果.【詳解】（1）折疊前，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?；所以折疊后，，，又，平面，所以平面因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以．又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．又平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）圖1中，由已知得，，所以圖2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱錐的體積為．【點(diǎn)睛】該題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了三棱錐體積的求法，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題目．21．如圖，已知長(zhǎng)方體，，直線與平面所成的角為30°，垂直于，為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線與所成的角的余弦；(2)求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出異面直線夾角的余弦作答.（2）利用（1）中信息，利用空間向量求二面角的余弦作答.（3）由（1）（2）中信息，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離作答．【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由，得，而平面，則直線與平面所成的角，又，則，，，，，，所以異面直線AE、BF所成的角的余弦為.（2）顯然平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，而，則，令，得，于是，所以平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值為.（3）由（2）知，平面的一個(gè)法向量為，而，所以點(diǎn)到平面的距離.22．若非零函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，均有，且當(dāng)時(shí)，．(1)求的值．(2