周培源力學(xué)競賽試題與解答資料

第6屆周培源全國大學(xué)生力學(xué)競賽初賽(樣題)一、奇怪的獨木橋(分)都是成雙結(jié)隊并且好像以某種相互配合的方式過橋。他覺得很奇怪，為什么2個人可以過橋而1個人卻不能。等周圍沒有其它人時他想獨自試試，結(jié)果沒走到半程，就把獨木橋壓斷可以認(rèn)為是鉸鏈約束)。獨木橋采用當(dāng)?shù)氐妮p質(zhì)木材做成，等截面，允許最大彎矩為[M]=600N.m。為方便假設(shè)每人的體重均為800N，而獨木橋的重量不計。請你分析一下：(1)本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？(2)如果一個人想過橋，最多能走多遠(yuǎn)？(3)當(dāng)?shù)鼐用襁^橋時兩人需要進行配合，你認(rèn)為兩人應(yīng)如何配合才能安全過橋？圖1奇怪的獨木橋二、模特兒與新型舞臺(分)有位模特兒在一種新型舞臺上練習(xí)走臺步。該舞臺類似長方形桌子，長為，寬為，有6條等長的桌腿(圖2)。每條桌腿都與水平地面有接觸開關(guān)，如果接觸處有壓力就會使對如果把模特兒的重量認(rèn)為是集中載荷，把舞臺認(rèn)為是剛體且不計質(zhì)量，則(1)本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？(2)如果模特兒站在舞臺的正中央，會有幾盞燈亮起來？(3)模特兒在不同區(qū)域時會有不同數(shù)目的燈亮起來，請在長方形舞臺上確定各區(qū)域的3、2、1)。圖2模特兒的新舞臺三、魔術(shù)師的表演(分)魔術(shù)師要表演一個節(jié)目。其中一個道具是邊長為a的不透明立方體箱子，質(zhì)量為M；1B圖3魔術(shù)師的箱子(1)為什么在AB板上加很重的箱子不會把圓球擠壓出去，而魔術(shù)師用很小的力卻可(2)根據(jù)上述介紹，你能否求出AB板與圓球之間的摩擦系數(shù)要滿足什么關(guān)系？(3)AB板只在A處受支撐卻仍能在水平位置保持平衡。魔術(shù)師讓觀眾來檢查，證明請指出其中可能涉及的奧秘，并分析其中可能涉及的參數(shù)。四、出人意料的交線(分)把這三根桿件焊成一個整體，如圖4所示。假設(shè)在平面內(nèi)有一張紙存在，為了能讓系統(tǒng)持續(xù)地繞軸以勻角速度yzzω轉(zhuǎn)動，需(1)如果a=0，求空隙的函數(shù)表達(dá)式Γ，并畫出示意圖。0(2)如果a>0，求空隙的函數(shù)表達(dá)式Γ，并畫出示意圖。Γ與Γ有何關(guān)系？a0a果要求點的速度和加速度，你如何考慮？取速度速度和加速度是多少？圖4初始時刻的系統(tǒng)位置第6屆周培源全國大學(xué)生力學(xué)競賽初賽樣題解答一、奇怪的獨木橋(1)本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？詞：梁的彎曲、彎矩。(2)如果一個人想過橋，最多能走多遠(yuǎn)？易求出支座B點的約束力為R=P(L-x)/LB則AB間最大彎矩為M(x)=P(L-x)/L根據(jù)允許最大彎矩為[M]600Nm，有P(L-x)x/L≤M即一個人最遠(yuǎn)可以向前走1米(另一解略去)。(3)當(dāng)?shù)鼐用襁^橋時兩人需要進行配合，你認(rèn)為兩人應(yīng)如何配合才能安全過橋？若兩人同時上橋，一人在右側(cè)外伸段距右端支座為x處，另一個人在橋上，行至離左端支1座x處，其彎矩如圖所示。這時支座的反力為2A12B12大值為M=Px,M=P(L-x-x)x/L112111欲欲要安全通過，要求，M≤[M]M≤[M]，代如數(shù)據(jù)得12欲欲使上式恒成立，則需解得0.536≤x1≤7.46考慮到M≤[M]，得x≤7.5m11所以當(dāng)一個人立于右側(cè)外伸段離右支座的距離為(0.536-0.75)m之間時，另一人可安全通過獨木橋。通過獨木橋的人再立于左外伸段離左支座距離為(0.536-0.75)m之間，另一個人二、模特兒與新型舞臺(1)本問題與力學(xué)中的什么內(nèi)容有關(guān)系？關(guān)鍵詞：受力平衡，變形的協(xié)調(diào)條件。(2)如果模特兒站在舞臺的正中央，會有幾盞燈亮起來？系及各燈的標(biāo)號如下。由于結(jié)構(gòu)與載荷對稱，如果1燈不亮，則根據(jù)左右(y軸)對稱，3燈也不會亮。又根據(jù)上下(x軸)對稱，4燈和6燈不亮。所燈亮表示對應(yīng)的桌腿受壓，長度變短，而燈不亮表示對應(yīng)的桌腿不受壓，長度不變。如果假設(shè)有部分燈亮，另一部分燈不亮，就會引起矛盾。因此六盞燈全亮。(3)模特兒在不同區(qū)域時會有不同數(shù)目的燈亮起來，請在長方形舞臺上確定各區(qū)域的邊界并畫出示意圖，然后在該區(qū)域內(nèi)寫上亮燈的數(shù)目(提示，亮燈的數(shù)目有可能為6、5、4、3、設(shè)模特兒重量為P，所在A點的坐標(biāo)為(x,y)。由于燈亮等同于對應(yīng)的桌腿是否受壓，力。 (a)設(shè)六條腿的受力分別是N(i=1,……,6)，有平衡方程i(c)四腿受力有兩種情況，第一種情況是2、3、5、6腿受力。舍去方程(5)、(6)，并令142即知三角形BDF為四腿(2，3，5，6)受力區(qū)(包含BD，但不包含邊界DF)，其中F點標(biāo)為(a,0)。由剛性桌面變形協(xié)調(diào)條件，可得三個方程，比如可以列出解上述六個方程，由于桌腿不能提供拉力，令N>0(i=1,……,6)，得到不等式i得到解的區(qū)域為菱形BCHI(不含邊界)，其中B點坐標(biāo)為下面設(shè)模特兒位于桌面第一象，限討論其他幾種情形。 (b)五腿受力，設(shè)腿1不受力，令N=0，舍去方程(5)，求得均自然滿足，根據(jù)1均自然滿足，根均自然滿足，根據(jù)得這兩個不等式，加上BC，即得五腿受力區(qū)為三角形BCD(包含BC，但不包含邊界BD和四腿受力的第二種情況是3、4、5、6受力。舍去方程(4)、(5)，且令N=N=0，令N>0，124得-6x-2y+5a>0即知三角形CDE為四腿(3,4,5,6)受力區(qū)(包含CD，但不包含邊界DE)，其中E點的坐標(biāo)標(biāo)為.(d)剩下的四邊形DEGF為三腿(3,5,6)受力區(qū)。另外對于桌子的邊界，CE表示亮三盞燈的區(qū)域(不含E點)。(e)如果要兩盞燈亮，則是不穩(wěn)定平衡。在第一象限內(nèi)，兩盞燈亮對應(yīng)的區(qū)域是EG和GF邊表示亮兩盞燈的區(qū)域(不含G點)。(f)一盞燈亮對應(yīng)的區(qū)域是G點。最后根據(jù)x軸和y軸的對稱性，即可作出整個桌面的三、魔術(shù)師的表演(1)為什么在AB板上加很重的箱子圓球不會被擠壓出去，而魔術(shù)師用很小的力卻可以推么力學(xué)內(nèi)容？關(guān)鍵詞：摩擦，自鎖。自鎖，再增加箱子不破壞圓球的平衡條件。但是魔術(shù)師用水平力推圓球時，這時圓球從受三果摩擦力已達(dá)最大值，水平力雖然很小，仍可破壞圓球的平衡。(2)根據(jù)上述介紹，你能否求出AB桿與圓球之間的摩擦系數(shù)要滿足什么關(guān)系？利用三力平衡條件，圓球受力如圖。利用幾何法，有，由于BR要在摩擦角θ內(nèi)，有此由于魔術(shù)師用很小的水平力就可以破壞圓球的平衡，所以BR要在摩擦角的邊緣，因(3)AB板只在A處受支撐卻仍能在水平位置保持平衡。魔術(shù)師讓觀眾來檢查，證明時平板有且只有A點與地面接觸，排除了看不見的支撐或懸掛等情況。你認(rèn)為這可能嗎？指出其中可能涉及的奧秘，并分析其中可能涉及的參數(shù)。A從靜力學(xué)角度是難以想象的，但是從動力學(xué)角度就可以實現(xiàn)。中一種可能是：箱子中有一個轉(zhuǎn)子，圓球離開時接通開關(guān)使圓輪加速轉(zhuǎn)動。J為說明問題，系統(tǒng)對點取矩，有AB處的約束反力就為零(由于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動與電流有關(guān)，而ε是常數(shù)，因此事先設(shè)計好電流球接觸時不通電，而圓球離開時通電。(1)如果a，求空隙的函數(shù)表達(dá)式0=0Γ，并畫出示意圖。z(2)如果a，求空隙的函數(shù)表達(dá)式0>Γ，并畫出示意圖。Γ與Γ有何關(guān)系？a0a所以點的軌跡是拋物線(的一部分)，這也就是空隙的方程。而曲線Γ是Γ的漸進線。0a(3)當(dāng)時，設(shè)P點是AB桿與yz平面的交點，當(dāng)P點位于AB桿中點且時，如果要求P點的速度和加速度，你如何考慮？如果取作定軸轉(zhuǎn)動，絕對運動是在當(dāng)P為AB桿中點時，設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,y,z)，B點的坐標(biāo)為(x,y,z)∠BOC=pppBBB由于點在平面內(nèi)運動，因此有((ii)加速度分析：中代入數(shù)據(jù)，有第六屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題一、聲東擊西的射擊手(分)射擊的最高境界，不僅是指哪打哪，還要知道往哪兒指。歡迎來到這個與眾不同的射擊場。在這里，共有10個小球P(號碼從0到9)，你需要把某個小球放在圓弧的適當(dāng)位置上，然后靜止釋放小球即ii質(zhì)量均為m，不計半徑，小球iP與CD桿或地面碰撞的恢復(fù)因數(shù)均為e，且滿足iEC二、驕傲自滿的大力士(分)有位大力士總是自命不凡，他夫人決定找機會教訓(xùn)他一下。正好附近足球場的球門壞了一半，剩下的論，材料的屈服應(yīng)力σS=57MPa。大力士認(rèn)為自己肯定不會輸，因為他知道兩人鞋底與地面摩擦系數(shù)都是μ=0.5，自己重量為G=1700N，夫人重量為G=700N。為了顯示自己的大度，他允許夫人享受一點點優(yōu)惠條件。于是夫人以B在2(1)當(dāng)大力士讓繩索與地面成θ角度，繩索中的拉力最大為多大？該最大拉力與大力士拉繩的姿勢有無(2)當(dāng)大力士讓繩索與地面成θ角度，球門中最危險點的坐標(biāo)值是多少？(3)在限制條件下，θ角為多少時大力士最接近把球門拉倒？夫人可能采用什么方式把球門拉倒？三、顧此失彼的挑戰(zhàn)者(分)魔術(shù)正式開始前，魔術(shù)師邀請觀眾上臺了解道具，并體驗如何讓水晶球在板上平衡，有位觀眾自告奮魔術(shù)師首先介紹道具(如圖所示)：兩個透明的水晶圓球O和O；一個滾軸D；一個透明的水12BO(3)如果把滾軸D安裝在AB(3)如果把滾軸D安裝在AB板的中點，能否讓水晶球O1在AD1時讓水晶球O在DB之間某位置平衡，接觸點為C。觀眾試著擺弄了很久，總是顧此失彼，最終也沒有成22功。如果你認(rèn)為本問題有解，AC和AC的水平距離是多少？如果沒有解，如何證明？12四、技高一籌的魔術(shù)師(分)魔術(shù)正式開始，仍用上一題中的道具(板和球的具體參數(shù)見第三題)。魔術(shù)師首先撤去了滾軸D，很光滑。說完在后落下的水晶球O1表面貼上了小紙片以示區(qū)別(假設(shè)小紙片的尺寸和重量相對水晶球均B(1)根據(jù)題目敘述，試判斷哪個水晶球涂了新型材料？(2)水晶球O1可在B點一直穩(wěn)穩(wěn)地停留，簡要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參(3)水晶球O2只能在B點停留很短的時間，簡要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各注：第四題解答中所用的參數(shù)都應(yīng)在第三、第四題中提及過。第六屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題參考答案清華大學(xué)航天航空學(xué)院一、聲東擊西的射擊手(30分)二、驕傲自滿的大力士(35分)(1)(1)；大力士拉繩的姿勢不影響繩中最大拉力的大小。(2)危險點坐標(biāo)三、顧此失彼的挑戰(zhàn)者(30分)(1)最大撓度處(1)最大撓度處：(2)滾軸D更靠近B點；撓度示意圖如下：(3)解不存在，證明見解題過程。四、技高一籌的魔術(shù)師(25分)(1)水晶球O2涂了新型材料。(2)關(guān)鍵參數(shù)：；紙片重量(3)關(guān)鍵參數(shù)：；初始角速度第七屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題一、小球在高腳玻璃杯中的運動分高腳玻璃杯會不會滑動；(2)高腳玻璃杯會不會側(cè)傾(即一側(cè)翹起)。二、雜耍圓環(huán)分將一個剛性圓環(huán)沿水平地面滾出，起始圓環(huán)一跳一跳地向前滾動，隨后不離開地面向前滾動，地面接觸瞬時圓環(huán)中心O點的速度大小為v，圓環(huán)的角速度為ω，圓環(huán)半徑為r，質(zhì)量為m，圓環(huán)與00數(shù)為sf，不計滾動摩阻，試問：(1)圓環(huán)能自己滾回來的條件是什么？(2)圓環(huán)開始向回滾動直到無滑動地滾動，在此運動過程中，圓環(huán)所走過的距離是多少？(3)當(dāng)圓環(huán)在水