《6.2.1 排列與排列數(shù)》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《6.2.1排列與排列數(shù)》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第六章《計(jì)數(shù)原理》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)排列與排列數(shù)。排列與組合是在學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理之后，由于排列、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是以兩個(gè)計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ)，同時(shí)排列和組合又能進(jìn)一步簡化和優(yōu)化計(jì)數(shù)問題。教學(xué)的重點(diǎn)是排列的理解，利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，難點(diǎn)是運(yùn)用排列解決實(shí)際問題?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解并掌握排列、排列數(shù)的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列.B.掌握排列數(shù)公式及其變式,并能運(yùn)用排列數(shù)公式熟練地進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.C.掌握有限制條件的排列應(yīng)用題的一些常用方法,并能運(yùn)用排列的相關(guān)知識(shí)解一些簡單的排列應(yīng)用題.1.數(shù)學(xué)抽象：排列的概念2.邏輯推理：排列數(shù)的性質(zhì)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用排列數(shù)解決計(jì)數(shù)問題4.數(shù)學(xué)建模：將計(jì)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為排列問題【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：理解排列的定義及排列數(shù)的計(jì)算難點(diǎn)：運(yùn)用排列解決計(jì)算問題【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)一、溫故知新兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個(gè)步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)問題1.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng).分析：要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動(dòng)，1名參加上午的活動(dòng)，另1名參加下午的活動(dòng)”，可以分兩個(gè)步驟：第1步，確定上午的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；第2步，確定下午的同學(xué)，只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為3×2=6.問題如果把上面問題中被取出的對(duì)象叫做元素，則問題可敘述為：從3個(gè)不同的元素中任意取出2個(gè)，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？問題2.從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：從4個(gè)數(shù)中每次取出三個(gè)按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列，就得到一個(gè)三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù)，可以分三個(gè)步驟解決：第1步，確定百位上的數(shù)字，從1、2、3、4這4個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，只能從余下的3個(gè)數(shù)字中取，有3種方法；第3步，確定個(gè)位上的數(shù)字，只能從余下的2個(gè)數(shù)字中取，有2種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1、2、3、4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3個(gè)數(shù)字，按百位、十位、個(gè)位的順序排成一列，不同的排列方法為4×3×2=24因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù)，如圖所示同樣，問題2可以歸結(jié)為：從4個(gè)不同的元素a,b,c,d中任意取出3個(gè)，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cbd,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,不同的排列方法為4×3×2=24上述問題1,2的共同特點(diǎn)是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？一、排列的相關(guān)概念1.排列:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.相同排列:兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.名師點(diǎn)析理解排列應(yīng)注意的問題(1)排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.(2)定義中的“一定順序”說明了排列的本質(zhì):有序.1.下列問題中:①10本不同的書分給10名同學(xué),每人一本;②10位同學(xué)互通一次電話;③10位同學(xué)互通一封信;④10個(gè)沒有任何三點(diǎn)共線的點(diǎn)構(gòu)成的線段.屬于排列的有()A.1個(gè)B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析:由排列的定義可知①③是排列,②④不是排列.答案:B二、典例解析例1.某省中學(xué)足球隊(duì)賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場分別比賽1場，那么每組共進(jìn)行多少場比賽？分析：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊(duì)中選取2支，按“主隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成的一個(gè)排列.解：可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì).按分步乘法計(jì)數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場數(shù)為6×5=30.例2.（1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？（2）學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？分析：3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3個(gè)位置（給3名同學(xué)）的一個(gè)排列；而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個(gè)排列.解：（1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5×4×3=60.（2）可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5×5×5=125.二、排列數(shù)與排列數(shù)公式1.排列數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)An2.排列數(shù)公式:Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!3.全排列和階乘:n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列,叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列.這時(shí),排列數(shù)公式中m=n,即有Ann=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是說,將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù),等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘,用n!表示.于是,n個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫成Ann=n!問題3.你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個(gè)概念嗎?它們有什么區(qū)別?“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念,一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個(gè)數(shù),而是具體的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)”,它是一個(gè)數(shù).例3.計(jì)算：（1）A解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得（1）A73（2）A74（3）A77（4）A由例3可以看出，A77A觀察這兩個(gè)結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？事實(shí)上，A==An例4.用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在0~9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上，而其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個(gè)特殊的元素。一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題。解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：第1步，確定百位上的數(shù)字可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出1個(gè)，有A91種取法；第2步，確定十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從剩下的9個(gè)數(shù)中取2個(gè),有根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A91×A9解法2：如圖，符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類，每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出3個(gè)，有A93種取法；第2類，個(gè)位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個(gè)數(shù)中取出2個(gè)放在百位和十位，有A92種取法；第3類，十位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和個(gè)位，有解法3：從0~9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的排列數(shù)為A103，其中0在百位上的排列數(shù)為即所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A103-A921.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個(gè)題的目的是:希望通過對(duì)本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法對(duì)重要元素區(qū)別對(duì)待,間接法對(duì)對(duì)立面比較容易求解的題目特別實(shí)用.跟蹤訓(xùn)練有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程,從中選4門安排在上午的4節(jié)課中,其中化學(xué)不排在第四節(jié),共有多少種不同的安排方法?解:(方法一分類法)分兩類:第1類,化學(xué)被選上,有A3第2類,化學(xué)不被選上,有A5故共有A3(方法二分步法)第1步,第四節(jié)有A51種排法;第2步,其余三節(jié)有A5(方法三間接法)從6門課程中選4門安排在上午,有A64種排法,而化學(xué)排第四節(jié),有A5通過引導(dǎo)學(xué)生回顧計(jì)數(shù)原理，進(jìn)一步比較分析加深對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理得理解。通過具體問題，分析、比較、歸納出對(duì)排列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉排列和排列數(shù)的概念，進(jìn)而靈活運(yùn)用排列數(shù)解決問題。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué),每人一本,則不同的送書方法的種數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.60解析:此問題相當(dāng)于從5個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù),即共有A5答案:C2.設(shè)m∈N*,且m<15,則A20A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)解析:A20-m答案:C3.某次演出共有6位演員參加,規(guī)定甲只能排在第一個(gè)或最后一個(gè)出場,乙和丙必須排在相鄰的順序出場,不同的演出順序共有()A.24種 B.144種 C.48種 D.96種解析:第1步,先安排甲有A21種不同的演出順序;第2步,安排乙和丙有A22A答案:D4.有8種不同的菜種,任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地里,有種不同的種法.解析:將4塊不同土質(zhì)的地看作4個(gè)不同的位置,從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地里,則本題即為從8個(gè)不同元素中任選4個(gè)元素的排列問題,所以不同的種法共有A8答案:16805.用1、2、3、4、5、6、7這7個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)?能被5整除的有多少個(gè)?(2)這些四位數(shù)中大于6500的有多少個(gè)?解:(1)偶數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是2、4、6,有A31種排法,其他位上有A63種排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有四位偶數(shù)A31·(2)最高位上是7時(shí)大于6500,有A63種,最高位上是6時(shí),百位上只能是7或5,故有2×A52種.由分類加法計(jì)數(shù)原理知,這些四位數(shù)中大于6500的共有A6通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題（或困難、障礙）是綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，產(chǎn)生這一問題的原因是不能根據(jù)問題的特征選擇對(duì)應(yīng)的原理。要解決這一問題，就要要通過典型的、學(xué)生比較熟悉的實(shí)例，經(jīng)過概括得出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，然后從單一到綜合的方式，安排例題，其中關(guān)鍵是從單一到綜合，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本思想。《6.2.1排列與排列數(shù)》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握排列、排列數(shù)的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列.2.掌握排列數(shù)公式及其變式,并能運(yùn)用排列數(shù)公式熟練地進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.3.掌握有限制條件的排列應(yīng)用題的一些常用方法,并能運(yùn)用排列的相關(guān)知識(shí)解一些簡單的排列應(yīng)用題.【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：理解排列的定義及排列數(shù)的計(jì)算難點(diǎn)：運(yùn)用排列解決計(jì)算問題【知識(shí)梳理】兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法.2.區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個(gè)步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)一、排列的相關(guān)概念1.排列:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.相同排列:兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.名師點(diǎn)析理解排列應(yīng)注意的問題(1)排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.(2)定義中的“一定順序”說明了排列的本質(zhì):有序.二、排列數(shù)與排列數(shù)公式1.排列數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)An2.排列數(shù)公式:Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!3.全排列和階乘:n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列,叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列.這時(shí),排列數(shù)公式中m=n,即有Ann=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是說,將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù),等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘,用n!表示.于是,n個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫成Ann=n!1.下列問題中:①10本不同的書分給10名同學(xué),每人一本;②10位同學(xué)互通一次電話;③10位同學(xué)互通一封信;④10個(gè)沒有任何三點(diǎn)共線的點(diǎn)構(gòu)成的線段.屬于排列的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【學(xué)習(xí)過程】一、問題探究問題1.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng).如果把上面問題中被取出的對(duì)象叫做元素，則問題可敘述為：從3個(gè)不同的元素中任意取出2個(gè)，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？問題2.從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？同樣，問題2可以歸結(jié)為：從4個(gè)不同的元素a,b,c,d中任意取出3個(gè)，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？問題3.你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個(gè)概念嗎?它們有什么區(qū)別?二、典例解析例1.某省中學(xué)足球隊(duì)賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場分別比賽1場，那么每組共進(jìn)行多少場比賽？例2.（1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法？（2）學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法？例3.計(jì)算：（1）A例4.用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？1.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個(gè)題的目的是:希望通過對(duì)本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法對(duì)重要元素區(qū)別對(duì)待,間接法對(duì)對(duì)立面比較容易求解的題目特別實(shí)用.跟蹤訓(xùn)練有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程,從中選4門安排在上午的4節(jié)課中,其中化學(xué)不排在第四節(jié),共有多少種不同的安排方法?【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué),每人一本,則不同的送書方法的種數(shù)為()A.5B.10C.20D.602.設(shè)m∈N*,且m<15,則A20A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)3.某次演出共有6位演員參加,規(guī)定甲只能排在第一個(gè)或最后一個(gè)出場,乙和丙必須排在相鄰的順序出場,不同的演出順序共有()A.24種B.144種C.48種D.96種4.有8種不同的菜種,任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地里,有種不同的種法.5.用1、2、3、4、5、6、7這7個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)?能被5整除的有多少個(gè)?(2)這些四位數(shù)中大于6500的有多少個(gè)?【課堂小結(jié)】【參考答案】知識(shí)梳理1.解析:由排列的定義可知①③是排列,②④不是排列.答案:B學(xué)習(xí)過程一、問題探究問題1.分析：要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動(dòng)，1名參加上午的活動(dòng)，另1名參加下午的活動(dòng)”，可以分兩個(gè)步驟：第1步，確定上午的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；第2步，確定下午的同學(xué)，只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為3×2=6.問題問題2.分析：從4個(gè)數(shù)中每次取出三個(gè)按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列，就得到一個(gè)三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù)，可以分三個(gè)步驟解決：第1步，確定百位上的數(shù)字，從1、2、3、4這4個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，只能從余下的3個(gè)數(shù)字中取，有3種方法；第3步，確定個(gè)位上的數(shù)字，只能從余下的2個(gè)數(shù)字中取，有2種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1、2、3、4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3個(gè)數(shù)字，按百位、十位、個(gè)位的順序排成一列，不同的排列方法為4×3×2=24因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù)，如圖所示同樣，問題2可以歸結(jié)為：從4個(gè)不同的元素a,b,c,d中任意取出3個(gè)，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cbd,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,不同的排列方法為4×3×2=24上述問題1,2的共同特點(diǎn)是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？問題3.“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念,一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個(gè)數(shù),而是具體的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)”,它是一個(gè)數(shù).二、典例解析例1.分析：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊(duì)中選取2支，按“主隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成的一個(gè)排列.解：可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì).按分步乘法計(jì)數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場數(shù)為6×5=30.例2.分析：3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3個(gè)位置（給3名同學(xué)）的一個(gè)排列；而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個(gè)排列.解：（1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5×4×3=60.（2）可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5×5×5=125.問題3.“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念,一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個(gè)數(shù),而是具體的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)”,它是一個(gè)數(shù).例3.解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得（1）A73（2）A74（3）A77（4）A由例3可以看出，A77A觀察這兩個(gè)結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？事實(shí)上，A==An例4.分析：在0~9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上，而其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個(gè)特殊的元素。一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題。解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：第1步，確定百位上的數(shù)字可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出1個(gè)，有A91種取法；第2步，確定十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從剩下的9個(gè)數(shù)中取2個(gè),有根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A91×A9解法2：如圖，符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類，每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出3個(gè)，有A93種取法；第2類，個(gè)位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個(gè)數(shù)中取出2個(gè)放在百位和十位，有A92種取法；第3類，十位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和個(gè)位，有解法3：從0~9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的排列數(shù)為A103，其中0在百位上的排列數(shù)為即所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A103-A921.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個(gè)題的目的是:希望通過對(duì)本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法對(duì)重要元素區(qū)別對(duì)待,間接法對(duì)對(duì)立面比較容易求解的題目特別實(shí)用.跟蹤訓(xùn)練解:(方法一分類法)分兩類:第1類,化學(xué)被選上,有A3第2類,化學(xué)不被選上,有A5故共有A3(方法二分步法)第1步,第四節(jié)有A51種排法;第2步,其余三節(jié)有A5(方法三間接法)從6門課程中選4門安排在上午,有A64種排法,而化學(xué)排第四節(jié),有A5達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.解析:此問題相當(dāng)于從5個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù),即共有A5答案:C2.解析:A20-m答案:C3.解析:第1步,先安排甲有A21種不同的演出順序;第2步,安排乙和丙有A22A答案:D4.解析:將4塊不同土質(zhì)的地看作4個(gè)不同的位置,從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地里,則本題即為從8個(gè)不同元素中任選4個(gè)元素的排列問題,所以不同的種法共有A8答案:16805.解:(1)偶數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是2、4、6,有A31種排法,其他位上有A63種排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有四位偶數(shù)A31·(2)最高位上是7時(shí)大于6500,有A63種,最高位上是6時(shí),百位上只能是7或5,故有2×A52種.由分類加法計(jì)數(shù)原理知,這些四位數(shù)中大于6500的共有A6《6.2.1排列與排列數(shù)》基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1．下列問題中屬于排列問題的是（）．A．從個(gè)人中選出人去勞動(dòng)B．從個(gè)人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競賽C．從班級(jí)內(nèi)名男生中選出人組成一個(gè)籃球隊(duì)D．從數(shù)字5、、、中任取2個(gè)不同的數(shù)做中的底數(shù)與真數(shù)2．可表示為（）A．B．C．D．3．已知，則（）．A．B．C．D．4．某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場做節(jié)目開場詩詞，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六場開場詩詞的排法有（）A．72種B．48種C．36種D．24種5．（多選題）5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是（）A．B．60C．72D．6．（多選題）對(duì)于正整數(shù)，定義“”如下：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；則下列命題中正確的是（）A.B.C.的個(gè)位數(shù)是0D.的個(gè)位數(shù)是5二、填空題7．54_____.8．用數(shù)字1，2，3，4，6可以組成無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有______個(gè).(用數(shù)字作答)9．省實(shí)驗(yàn)中學(xué)為預(yù)防秋季流感爆發(fā)，計(jì)劃安排學(xué)生在校內(nèi)進(jìn)行常規(guī)體檢，共有3個(gè)檢查項(xiàng)目，需要安排在3間空教室進(jìn)行檢查，學(xué)?，F(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了避免學(xué)生擁擠，要求作為檢查項(xiàng)目的教室不能相鄰，則共有______種安排方式.(用數(shù)字作答)10．某年級(jí)舉辦線上小型音樂會(huì)，由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目丙必須排在節(jié)目乙的下一個(gè)，則該小型音樂會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有______種.(用數(shù)字作答)三、解答題11.（1）解不等式；（2）解方程.12．一場小型晚會(huì)有個(gè)唱歌節(jié)目和個(gè)相聲節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單．（1）個(gè)相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（2）第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？（3）前個(gè)節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？答案解析一、選擇題1．下列問題中屬于排列問題的是（）．A．從個(gè)人中選出人去勞動(dòng)B．從個(gè)人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競賽C．從班級(jí)內(nèi)名男生中選出人組成一個(gè)籃球隊(duì)D．從數(shù)字5、、、中任取2個(gè)不同的數(shù)做中的底數(shù)與真數(shù)【答案】D【詳解】A.從個(gè)人中選出人去勞動(dòng)，與順序無關(guān)，故錯(cuò)誤；B.從個(gè)人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競賽，與順序無關(guān)，故錯(cuò)誤；C.從班級(jí)內(nèi)名男生中選出人組成一個(gè)籃球隊(duì)，與順序無關(guān)，故錯(cuò)誤；D.從數(shù)字5、、、中任取2個(gè)不同的數(shù)做中的底數(shù)與真數(shù)，底數(shù)與真數(shù)位置不同，即與順序有關(guān)，故正確；故選：D2．可表示為（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】.3．已知，則（）．A．B．C．D．【答案】C【詳解】，則，約分得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意．4．某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場做節(jié)目開場詩詞，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六場開場詩詞的排法有（）A．72種B．48種C．36種D．24種【答案】C【詳解】首先可將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列，共有種排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個(gè)空里(最后一個(gè)空不排)，共有種排法，則后六場開場詩詞的排法有種，故選：C.5．（多選題）5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是（）A．B．60C．72D．【答案】AC【詳解】先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共=3×2×1=6種不同的排法，再將甲、乙兩人從產(chǎn)生的4個(gè)空中選2個(gè)插入共=12種不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是=6×12=72，故選：AC．6．（多選題）對(duì)于正整數(shù)，定義“”如下：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；則下列命題中正確的是（）A.B.C.的個(gè)位數(shù)是0D.的個(gè)位數(shù)是5【答案】ABCD【詳解】A.，正確；B.，正確；C.的個(gè)位數(shù)是0，正確；D.的個(gè)位數(shù)是5；正確的是ABCD．二、填空題7．54_____.【答案】348【詳解】.8．?dāng)?shù)字1，2，3，4，6可以組成無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有______個(gè).(用數(shù)字作答)【答案】72【詳解】滿足條件的五位偶數(shù)有：.9．省實(shí)驗(yàn)中學(xué)為預(yù)防秋季流感爆發(fā)，計(jì)劃安排學(xué)生在校內(nèi)進(jìn)行常規(guī)體檢，共有3個(gè)檢查項(xiàng)目，需要安排在3間空教室進(jìn)行檢查，學(xué)?，F(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了避免學(xué)生擁擠，要求作為檢查項(xiàng)目的教室不能相鄰，則共有______種安排方式.(用數(shù)字作答)【答案】24【詳解】6間空教室，有3個(gè)空教室不使用，故可把作為檢查項(xiàng)目的教室插入3個(gè)不使用的教室之間，故所有不同的安排方式的總數(shù)為.10．某年級(jí)舉辦線上小型音樂會(huì)，由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目丙必須排在節(jié)目乙的下一個(gè)，則該小型音樂會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有______種.(用數(shù)字作答)【答案】42【詳解】由題意知，甲的位置影響乙的排列，∴①甲排在第一位共有種，②甲排在第二位共有種，∴故編排方案共有種.故答案為：42.三、解答題11.（1）解不等式；（2）解方程.【答案】（1）8(2)3【解析】（1）由，得，化簡得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①又∴2<x≤8，②由①②及x∈N*得x＝8.（2）因?yàn)樗詘≥3，，由得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2).化簡得，4x2－35x＋69＝0，解得x1＝3，(舍去).所以方程的解為x＝3.12．一場小型晚會(huì)有個(gè)唱歌節(jié)目和個(gè)相聲節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單．（1）個(gè)相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（2）第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？（3）前個(gè)節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？【詳解】（1）把兩個(gè)相聲節(jié)目捆綁在一起作為一個(gè)節(jié)目與其他節(jié)目排列共有排法；（2）選兩個(gè)唱歌節(jié)目排在首尾，剩下的3個(gè)節(jié)目在中間排列，排法為；（3）5個(gè)節(jié)目全排列減去后兩個(gè)都是相聲的排法，共有．《6.2.1排列與排列數(shù)》提高訓(xùn)練一、選擇題1．用數(shù)字1，2，3，4，6可以組成無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有（）A．48個(gè)B．64個(gè)C．72個(gè)D．90個(gè)2．若a∈N＋，且a<20，則(27－a)(28－a)…(34－a)等于（）A．B．C．D．3．在某校舉行的秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中，有甲，乙，丙，丁四位同學(xué)參加了50米短跑比賽.現(xiàn)將四位同學(xué)安排在1，2，3，4這4個(gè)跑道上，每個(gè)跑道安排一名同學(xué)，則甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（）種.A．12B．14C．16D．184．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種B．30種C．40種D．60種5．（多選題）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．B．C．D．6.（多選題）A、B、C、D、E五個(gè)人并排站在一起，則下列說法正確的有（）A．若A、B不相鄰共有72種方法B．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法．C．若A在B左邊有60種排法D．若A、B兩人站在一起有24種方法二、填空題7．設(shè)，，則等式中_____．8．從2，4，6，8，10這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為，共可得到的不同值的個(gè)數(shù)是_______個(gè)．9．北京大興國際機(jī)場擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機(jī)器人自動(dòng)泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問題，現(xiàn)有4輛載有救援物資的車輛可以停放在8個(gè)并排的泊車位上，要求停放的車輛相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有____種．（用數(shù)字作答）10．為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某學(xué)校欲利用每周的社團(tuán)活動(dòng)課可設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”6門課程，每周開設(shè)一門，連續(xù)開設(shè)六周．若課程“樂”不排在第一周，課程“書”排在第三周或第四周，則所有可能的排法種數(shù)為_______．三、解答題11．8人圍圓桌開會(huì)，其中正、副組長各1人，記錄員1人.（1）若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種坐法？12．把1?2?3?4?5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列.（1）45312是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？（2）這個(gè)數(shù)列的第71項(xiàng)是多少？（3）求這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和.答案解析一、選擇題1．用數(shù)字1，2，3，4，6可以組成無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有（）A．48個(gè)B．64個(gè)C．72個(gè)D．90個(gè)【答案】C【詳解】滿足條件的五位偶數(shù)有：.2．若a∈N＋，且a<20，則(27－a)(28－a)…(34－a)等于（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】.故選：D3．在某校舉行的秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中，有甲，乙，丙，丁四位同學(xué)參加了50米短跑比賽.現(xiàn)將四位同學(xué)安排在1，2，3，4這4個(gè)跑道上，每個(gè)跑道安排一名同學(xué)，則甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（）種.A．12B．14C．16D．18【答案】B【詳解】①甲在2道的安排方法有：種；②甲不在2道，則甲只能在3或4號(hào)道，乙不能在2道，只能在剩下的2個(gè)道中選擇一個(gè)，丙丁有2種，所以甲不在2號(hào)跑道的分配方案有種，共有種方案.故選B.4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種B．30種C．40種D．60種【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，要求甲安排在另外兩位前面，則甲有3種分配方法，即甲在星期一、二、三；分3種情況討論可得，甲在星期一有A42=12種安排方法，甲在星期二有A32=