三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識點(diǎn)歸納

1.能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，單調(diào)性、技巧，注重考查函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化化歸等思想方法.1(一)三角函數(shù)的定義域和值域1函數(shù)y＝lg(sinx)＋cosx－2的定義域?yàn)開___________sinx0|cosx－2≥0，|cosx≥2，|－3＋2kπ≤x≤3＋2kπππ2函數(shù)y＝sinx－cosx的定義域?yàn)開_______．解:(1)要使函數(shù)有意義，必須有sinx－cosx≥0，即(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)就是解三角不等式(組)．一般可用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線確定3)Dπππ7ππππ7π∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3.17．(滿分12分)已知函數(shù)42x+=[,]，……4分444……5分2………2分………2分sx22sinx2…………3分42sin(2x+)=[,1]，42x5y=Asin(x+)yAsinx+bππ解:函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx的最小值為－f(x)＝a2＋b2sin(x－p)其中cosp＝ab2，sinp＝ab2|，a2＋b2.6(－a2＋b2＝－2，(a＝－3，(a解得〈lb＝1.①引進(jìn)輔助角，將原式化為三角函數(shù)的基本形式；②利用正弦函數(shù)取最值的方法建立方程組．x時，函數(shù)y＝3－sinx－2cos2x的最小值______，最大值是________．又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)1717(補(bǔ)充)(1)求函數(shù)f(x)=tan28f(x)=2sin2x+1=3sin2x+cosxsin2x2sinxcosx ()> ()>xxtanx數(shù)的值域)(補(bǔ)充)9yasinxcosxbsinxcosxc三角函數(shù)，可例2．(5)詳見第一章第二講函數(shù)值域《名師一號》P14問題探究問題(6)當(dāng)一個函數(shù)圖象可作時，通過圖象可求其值域和最值；求函數(shù)y=的值域 ()=y()()()2()24(4(kx–y–k–=41431435令=1解得k=–「35]1則M+m的值是.以f(x)的最大值是M=1+g(x)，max最小值是m=1+g(x)，因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，min所以g(x)+g(x)=0，maxmin所以M+m=1+g(x)+1+g(x)=2.maxmin(三)三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性A.最小正周期為π的奇函數(shù)B.最小正周期為π的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)答案B(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)在函數(shù)①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，函數(shù)為()A．①②③B．①③④C．②④D．①③2π解：由于y＝cos|2x|＝cos2x，所以該函數(shù)的周期為2＝π；由函y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φA.2C.2A.2C.2D.3cosxsinxfx間的距離＋φ)圖象上一個最高點(diǎn)和它相鄰的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值是A函數(shù)圖象質(zhì)、函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)及兩個坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)等．(1)若函數(shù)f(x)＝sin(p∈[0,2π])是偶函數(shù)，π)2πB.3x＋p解：(1)∵f(x)＝sin3是偶函數(shù)，∴f(0)＝±1.x＋p變式：若函數(shù)f(x)＝sin3(p∈[0,2π])是奇函數(shù)，則p＝？ycosxp點(diǎn)，0|中心對稱，那么|p|的最小值為()ππππA.6B.4C.3D.23cos2×＋p＝3cos＋p＋2π＝3cos3＋p＝0，∴3＝3cos3＋p＝0，∴3＋p＝kπ＋2，k∈Z.∴p＝kπ－6∴p＝kπ－6，k∈Z，取k＝0，得|p|的最小值為6.f(x)＝0.(2)對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋p)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷．若f(x)＝Asin(ωx＋p)為偶函數(shù)，若f(x)＝Asin(ωx＋p)為奇函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，同理對于y＝Acos(ωx＋p)，可求其對稱軸與對稱中心，對于y＝Atan(ωx＋p)可求出對稱中心．先求出f(x＋φ)的解析式，然后求解．∵f(x)＝sinx＋3cosx＝2sinx＋.ππ∵函數(shù)f(x＋φ)為偶函數(shù)，∴φ＋3＝2＋kπ，k∈ππππ又∵|φ|≤2，∴φ＝6.(四)三角函數(shù)的單調(diào)性(m)函數(shù)=|-|的單調(diào)遞減區(qū)間為 ()(2)《名師一號》P57高頻考點(diǎn)例2已知函數(shù)f(x)＝4cosωx·sinωx＋))(ω>0)的最小正周期為π.(2)討論f(x)在區(qū)間0，上的單調(diào)性．＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin2ωx＋＋2.fxπ，且ω>0.2π從而有2ω＝π，故ω＝1.ππππ簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”．(2)求形如y＝Asin(ωx＋p)或y＝Acos(ωx＋p)(其中，ω>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋p”為一個整體，通過解不等式f(x)＝cos2x＋asinx＝1－2sin2x＋asinx.∴g(t)＝1－2t2＋at＝－2t2＋at＋1<t<1，1、設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋5)．若對任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則|x1－x2|的最小值為()12為最小值，f(x2)為最大值且(x1，f(x1))，(x2，f(x2))為相鄰的最小(大)值點(diǎn)，即半個周期．T244特殊情況---三角函數(shù)的奇偶性例2(補(bǔ)充)(1)(08.江西)函數(shù)f(x)=sinx是()(07