2021年廣東省珠海市南屏中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2021年廣東省珠海市南屏中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)非零向量，滿足，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B因?yàn)榉橇阆蛄?，滿足，所以，所以，所以，即，所以，故選B.

2.若曲線的所有切線中，只有一條與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值等于（

） A．0 B．2 C．0或2 D．3參考答案：B3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（

）A.6 B.7 C.8 D.9參考答案：C由S=0,n=1,第一次循環(huán):S=0+,n=2;第二次循環(huán):S=+=,n=3;第三次循環(huán):S=+=,n=4;第四次循環(huán):S=+=,n=5;第五次循環(huán):S=+=,n=6;第六次循環(huán):S=+=,n=7;第七次循環(huán):S=+=,n=8;符合題意輸出n=8,故選C.4.（00全國(guó)卷）函數(shù)的部分圖象是參考答案：答案:D5.已知向量，，若，則(

)A.

B.

C.0

D.1參考答案：C=,=,解方程=得0.選C.6.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為（）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=log2（x+1），則f（31）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由已知推導(dǎo)出f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=log2（x+1），由此能求出f（31）．【解答】解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=log2（x+1），∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．8.已知，則（

）

A.a>b>c

B.a>c>b

C.c>a>b

D.c>b>a

參考答案：D9.已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，點(diǎn)A（﹣m，0），B（m，0），若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則正數(shù)m的最小值與最大值的和為（）A．11 B．10 C．9 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設(shè)P（a，b）在圓C上，則=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最大（?。┲导礊閨OP|的最大（小）值，可得結(jié)論．【解答】解：圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心C（3，4），半徑r=1，設(shè)P（a，b）在圓C上，則=（a+m，b），=（a﹣m，b），∵∠APB=90°，∴，∴=（a+m）（a﹣m）+b2=0，∴m2=a2+b2=|OP|2，∴m的最大值即為|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值即為|OP|的最小值，等于|OC|﹣r=5﹣1=4，∴正數(shù)m的最小值與最大值的和為10．故選B．10.有以下四個(gè)命題，其中真命題為（）A．原點(diǎn)與點(diǎn)（2，3）在直線2x＋y-3＝0的同側(cè)B．點(diǎn)（2，3）與點(diǎn)（3，1）在直線x-y＝0的同側(cè)C．原點(diǎn)與點(diǎn)（2，1）在直線2y-6x＋1＝0的異側(cè)D．原點(diǎn)與點(diǎn)（2，1）在直線2y-6x＋1＝0的同側(cè)參考答案：答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)是定義域上的連續(xù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)

．參考答案：略12.若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，則

．參考答案：本題考查切線方程、方程的思想.依題意13.函數(shù)的最小正周期為．參考答案：【考點(diǎn)】正切函數(shù)的圖象．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；分析法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期性進(jìn)行求解即可．【解答】解：的周期為T=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的周期的計(jì)算，比較基礎(chǔ)．14.已知函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值是

.參考答案：15.（5分）（理）．參考答案：π+2【考點(diǎn)】：定積分．【專題】：計(jì)算題．【分析】：根據(jù)定積分的定義，找出三角函數(shù)的原函數(shù)然后代入計(jì)算即可．解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，故答案為π+2．【點(diǎn)評(píng)】：此題考查定積分的性質(zhì)及其計(jì)算，是高中新增的內(nèi)容，要掌握定積分基本的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出原函數(shù)．16.設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足x0－2y0=2，則m的取值范圍是

.參考答案：17.已知全集，集合，，則A∪B中所有元素的和是

.參考答案：2006或2007或－2【分析】首先化簡(jiǎn)集合，然后分：①A中有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，②，③A中有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，三種情況進(jìn)行討論即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，

（1）若A中有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，此時(shí)，所有元素之和為2007；

（2）若，則，由韋達(dá)定理可知，所有元素之和為-2；

（3）若A中有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則由韋達(dá)定理可知，所有元素之和為2008+(-2)=2006.

故答案為:2006或2007或-2.【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合關(guān)系的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.國(guó)際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉．已知某種鉆石的價(jià)值y(美元)與其重量x(克拉)的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價(jià)值為54000美元．

(Ⅰ)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價(jià)值損失的百分率；

(Ⅲ)把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉，試證明：當(dāng)m=n時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大．

(注：價(jià)值損失的百分率=×100%；在切割過程中的重量損耗忽略不計(jì))參考答案：解析：(Ⅰ)依題意設(shè)，

……………2分

，故．……………4分(Ⅱ)設(shè)這顆鉆石的重量為克拉，由(Ⅰ)可知，按重量比為l∶3切割后的價(jià)值為．

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

價(jià)值損失為．………………6分

價(jià)值損失的百分率為

∴價(jià)值損失的百分率為37.5％．

……8分(Ⅲ)證明：價(jià)值損失的百分率應(yīng)為，

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)成立.

即把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，當(dāng)兩顆鉆石的重量相等時(shí)，價(jià)值損失的百分率達(dá)到最大.19.（本小題滿分10分）已知數(shù)列滿足且（1）

計(jì)算的值，由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明；（2）

求證：當(dāng)時(shí)，參考答案：⑴，，，猜想：．……………2分①當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，由①②得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．5分⑵原不等式等價(jià)于．證明：顯然，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，．…………………10分20.（本題滿分10分）已知函數(shù)（∈R）．（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：【答案解析】（1）

（2）或解析：（1）

令

得或，

使函數(shù)在區(qū)間上有極小值點(diǎn)，則解得：．

……4分（2）由題意知，即使時(shí)，．

①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

，得或，

由此得：；②當(dāng)，即，在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，得或由此得；③當(dāng)，即，

在上為減函數(shù)，所以得或，由此得；由①②③得實(shí)數(shù)的取值范圍為或．………………10分【思路點(diǎn)撥】（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上有解，由此得關(guān)于a的不等式.

(2)命題為在時(shí)恒成立，所以只需．而，所以①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

，得或，

由此得：；②當(dāng)，即，在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，得或由此得；③當(dāng)，即，

在上為減函數(shù)，所以得或，由此得；由①②③得實(shí)數(shù)的取值范圍為或．21.(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．參考答案：（1）證明：因?yàn)?，則……1分

所以當(dāng)時(shí)，，

整理得．由，令，得，解得．

所以是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．

（2）解：因?yàn)椋?/p>

由，得．

所以

所以．

略22.已知函數(shù)，