《垂直關(guān)系的判定》公開課教學(xué)設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)必修2（北師大版）

4/4《垂直關(guān)系的判定》教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析:本節(jié)內(nèi)容在立體幾何學(xué)習(xí)中，具有重要的意義和地位.在平行的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究立體幾何中最重要的關(guān)系垂直關(guān)系:線面垂直、面面垂直的判定定理，結(jié)合有關(guān)的實(shí)物模型，通過直觀感知、操作確認(rèn)（合情推理，不要求證明）歸納出垂直關(guān)系的判定定理.本節(jié)課的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)學(xué)生空間感與邏輯推理能力起到重要作用，以及之后的考試中都是最為核心的內(nèi)容.當(dāng)然也最為復(fù)雜.本節(jié)課的設(shè)計(jì)遵循從具體到抽象的原則，適當(dāng)運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)手段，借助實(shí)物模型，通過直觀感知、操作確認(rèn)、合情推理歸納出線面、面面垂直的判定定理，將合情推理與演繹推理有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，揭示線面、面面垂直的判定，養(yǎng)成積極主動、勇于探索、自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和空間想象力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力.教學(xué)目標(biāo)：【知識與能力目標(biāo)】1.掌握直線與平面垂直的判定定理；2.掌握兩平面垂直的判定定理；3．了解直線與平面所成角及平面與平面所成角的概念及其求法；4．能熟練應(yīng)用直線與平面、平面與平面垂直的判定定理解決相關(guān)問題．【過程與方法】1.學(xué)生通過觀察實(shí)物及模型，歸納得出直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理.2.通過讀圖、識圖、畫圖的過程，培養(yǎng)空間想象能力及運(yùn)用圖形和符號語言進(jìn)行交流的能力.【情感態(tài)度與價值觀】學(xué)生在觀察、探究、發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)，在自主、合作、交流中學(xué)習(xí).體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣，增強(qiáng)自信心，樹立積極地學(xué)習(xí)態(tài)度，提高學(xué)習(xí)的自我效能感.教學(xué)重難點(diǎn)：【教學(xué)重點(diǎn)】歸納出直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理.【教學(xué)難點(diǎn)】直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理的合情推理及其應(yīng)用.課前準(zhǔn)備：課件、學(xué)案、實(shí)物模型.教學(xué)過程：一、課題引入：之前我們學(xué)習(xí)了線面平行、面面平行的判定定理、性質(zhì)定理.那今天我們一起來研究另一種特殊的位置關(guān)系，垂直關(guān)系.日常生活中,我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識,比如,旗桿與地面的位置關(guān)系,大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系等,都給我們以直線與平面垂直的印象.在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子.隨著時間的變化，盡管影子的位置在移動，但旗桿與影子所在直線永遠(yuǎn)垂直.問題1：如果一條直線垂直于一個平面的無數(shù)條直線,那么這條直線是否與這個平面垂直?舉例說明.問題2：直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線，則直線與平面垂直，但如果用這個方式證明好嗎？那如何證明呢？問題3：請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片,我們一起做一個試驗(yàn):過的頂點(diǎn)翻折紙片,得折痕,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(,與桌面接觸).⑴折痕AD與桌面垂直嗎?⑵如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面α垂直?二、新課探究：1．直線和平面垂直⑴定義：如果直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作.直線叫平面的垂線；平面叫直線的垂面；垂線和平面的交點(diǎn)叫垂足.注：①定義中“平面內(nèi)的任意一條直線”就是指“平面內(nèi)的所有直線”，這與“無數(shù)條直線”不同，注意區(qū)別.②直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式.③若，則.⑵直線與平面垂直的判定定理文字語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．圖形語言：符號語言：,，，，.注:①判定定理的條件中：“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，不可忽視.②要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，則無關(guān)緊要.相關(guān)的重要結(jié)論：①過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個；過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條．②如果兩條平行線中的一條與一個平面垂直，那么另一條也與這個平面垂直．③如果兩個平行平面中的一個與一條直線垂直，那么另一個也與這條直線垂直．2．直線與平面所成角⑴定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線.過斜線上斜足外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.注：(1)直線與平面平行，直線在平面上的射影是一條直線.(2)直線與平面垂直時射影是點(diǎn).(3)斜線上任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上.⑵直線與平面所成的角的范圍：0°≤≤90°直線和平面相交時，0°<≤90°．垂直時，=90°直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，=0°．．⑶求斜線與平面所成角的一般步驟：①確定斜線與平面的交點(diǎn)即斜足；②經(jīng)過斜線上除斜足外任一點(diǎn)作平面的垂線，確定垂足，進(jìn)而確定斜線在平面內(nèi)的射影；③解由垂線、斜線及其射影構(gòu)成的直角三角形，求出線面角．3.二面角⑴定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.表示方法：棱為、面分別為的二面角記作二面角.有時為了方便，也可在內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)，將這個二面角記作二面角.如果棱記作，那么這個二面角記作二面角或.問題4：兩個平面什么狀態(tài)叫面面垂直呢？想直角是九十度一樣，那兩平面的這種角度是在哪體現(xiàn)呢？問題5：那除了找二面角平面角確定垂直還有其他方法嗎？由線面垂直如何得到面面垂直呢？問題6：演示開門、關(guān)門的過程：門與地面始終垂直嗎？為什么？將課本打開，直立放在桌面上，每頁紙張與桌面是否垂直？為什么？（用判定定理解釋）問題7：判定面面垂直的本質(zhì)和關(guān)鍵是什么？⑵二面角的平面角①定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.②二面角的平面角的范圍：0°≤≤180°．當(dāng)兩個半平面重合時，=0°；當(dāng)兩個半平面相交時，0°＜＜180°；當(dāng)兩個半平面合成一個平面時，=180°．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.⑶二面角的平面角的求法方法1：（定義法）在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如右圖，在二面角的棱a上任取一點(diǎn)O，在平面內(nèi)過點(diǎn)O作OA⊥a，在平面內(nèi)過點(diǎn)O作BO⊥a，則∠AOB為二面角的平面角．方法2：（垂面法）過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如下圖（左），已知二面角，過棱上一點(diǎn)O作一平面，使，且，．∴，，且⊥OA，⊥OB，∴∠AOB為二面角的平面角．方法3：（垂線法）過二面角的一個面內(nèi)一點(diǎn)作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角，此種方法通常用于求二面角的所有題目，具體步驟：一找，二證，三求．4.平面與平面垂直⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面垂直.表示方法：平面與垂直，記作.畫法：兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.⑵平面與平面垂直的判定定理文字語言：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.圖形語言：符號語言：特征：線面垂直面面垂直注：平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直.通常我們將其記為“線面垂直，則面面垂直”.因此，處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題.以后證明平面與平面垂直，只要在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線和另一個平面內(nèi)的一條直線垂直即可.三、知識應(yīng)用：題型一概念問題例1.下列命題中正確的個數(shù)是()①如果直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；②如果直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則；③如果直線不垂直于，則內(nèi)沒有與垂直的直線；④如果直線不垂直于，則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與垂直．A．0B．1C．2D．3答案：B題型二線面垂直的證明例2.已知∥，，求證：.證明：設(shè)m是α內(nèi)任意一條直線，∵a⊥α，m?α∴a⊥m而a∥b則b⊥m，根據(jù)線面垂直的定義可知b⊥α.例3.判斷下列命題是否正確，并說明理由.⑴正方體中，棱和底面垂直.⑵三棱錐中，各面均為全等的正三角形，為棱的中點(diǎn)，則棱和平面垂直.解：⑴∵為正方體，∴各面均為正方形，∴,.又∵，∴.⑵∵三棱錐中，各面均為全等的正三角形，∴,又∵,∴.【設(shè)計(jì)意圖】由線線垂直再到線面垂直.在學(xué)完這節(jié)課之后，明確證明方法：一、定義；二、線面垂直的判定定理.第二個更為重要，學(xué)生通過這兩道小題不斷地熟悉證明思路，抓住判定定理的證明條件，強(qiáng)調(diào)兩條相交直線.題型三線面成角的求法例4.在正方體中.求:⑴直線和平面所成的角；⑵直線和平面所成角.解：⑴∵為正方體，∴.∴直線為直線在平面內(nèi)的射影，∴為直線和平面的所成角.∴.∴直線和平面所成的角為.⑵連結(jié)交于O點(diǎn)，連結(jié).∵為正方形，∴.∵為正方體，∴.∴,又∵,∴面，∴為在面內(nèi)的射影.∴為直線和平面的所成角.∴在中，,∴,∴直線和平面的所成角為.【設(shè)計(jì)意圖】找到線面所成角的步驟：1.找線面垂直；2.找直線與其在面內(nèi)的射影；3.指明所成角；4.求所成角.題型四二面角的平面角求法例5.在正方體中(1)求二面角的大小；(2)求二面角的大小.題型五面面垂直的證明例5.如圖，是⊙的直徑,垂直于⊙所在的平面,為圓周上不同于的任意一點(diǎn),求證:平面⊥平面.證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵∠ACB是直徑AB所對的圓周角，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．

∵AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．

∵BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PB