計(jì)算方法期末復(fù)習(xí)課件

考試范圍課堂中重點(diǎn)講述內(nèi)容課堂例題作業(yè)習(xí)題第一章緒論關(guān)于有效數(shù)字的位數(shù)問題若近似值x

的誤差限是某一數(shù)位的半個單位，該位到x的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱x

有n

位有效數(shù)字定義證明：例問：有幾位有效數(shù)字？請證明你的結(jié)論。有4位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第3位。類似題目：作業(yè)中習(xí)題一的一、二題。第二章插值與擬合拉格朗日插值N次拉格朗日插值多項(xiàng)式公式余項(xiàng)牛頓插值Hermit插值二次曲線擬合一、

n次拉格朗日插值niyxLiin,...,0,)(==求n次插值多項(xiàng)式使得已知:f(xi)=yi(i=0,1,…,n)

k=0,1

,?,

n

.結(jié)論:n次拉格朗日插值多項(xiàng)式n次拉格朗日插值基函數(shù)設(shè)節(jié)點(diǎn),f(x)在[a,b]上具有n+1階導(dǎo)數(shù)，Ln(x)是其n次Lagrange插值多項(xiàng)式，則對

其中

Lagrange插值余項(xiàng)定理解利用三點(diǎn)二次Lagrange插值.記

則f(x)的二次Lagrange插值多項(xiàng)式為

插值法計(jì)算，并估計(jì)誤差。例1：已知∵誤差估計(jì)差商的計(jì)算-差商表一階差商二階差商三階差商四階差商二、牛頓插值多項(xiàng)式例已知x=0,2,3,5對應(yīng)的函數(shù)值為y=1,3,2,5，作三次Newton插值多項(xiàng)式.如再增加x=6時的函數(shù)數(shù)值為6，作四次Newton插值多項(xiàng)式.解首先構(gòu)造差商表

xif(xi)一階差商二階差商三階差商01

23132-1-2/3553/25/63/10三次Newton插值多項(xiàng)式為增加x4=6，f(x4)=6作差商表

xif(xi)一階差商二階差商三階差商四階差商0123132-1-2/3553/25/63/10661-1/6-1/4-11/120四次Newton插值多項(xiàng)為三、Hermit插值已知：構(gòu)造一個次數(shù)3的多項(xiàng)式H3(x)，滿足插值條件：（*）兩點(diǎn)三次Hermit插值已知：構(gòu)造一個次數(shù)3的多項(xiàng)式H3(x)，滿足插值條件：（*）兩點(diǎn)三次Hermit插值（續(xù)1）直接設(shè)待定系數(shù)將使計(jì)算復(fù)雜，且不易推廣到高次?；貞汱agrange插值基函數(shù)的方法，引入四個基函數(shù)使之滿足5兩點(diǎn)三次Hermit插值（續(xù)2）其中都是次數(shù)為3的多項(xiàng)式則H3(x)是一個次數(shù)3的多項(xiàng)式且滿足插值條件（*）基函數(shù)求法：求3同理設(shè)

由β'0(x0)=1，得,于是同理有定理：滿足插值條件（*）的三次Hermite插值多項(xiàng)式H3(x)存在且唯一。四、擬合(2)12例題例設(shè)函數(shù)y=f(x)的離散數(shù)據(jù)如下表所示

試用二次多項(xiàng)式擬合上述數(shù)據(jù).01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718解方程組得所以二次擬合多項(xiàng)式為解：設(shè)所求的二次擬合多項(xiàng)式為則有如下方程組第三章、數(shù)值積分與數(shù)值微分一、等距節(jié)點(diǎn)求積公式梯形公式

Simpson公式四、代數(shù)精度的概念定義2：若一個求積公式對f(x)=1,x,x2,…,xm均精確成立，而對f(x)=xm+1不精確成立,則稱此求積公式具有m次代數(shù)精度.驗(yàn)證:梯形公式1次代數(shù)精度辛甫生公式3次代數(shù)精度定理:求積公式至少有n次代數(shù)精度的充要條件是它是插值型求積公式。換言之，n+1個節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度例設(shè)有求積公式求A0，A1，A2，使其代數(shù)精度盡量高，并問此時求積公式的代數(shù)精度解：（3個未知系數(shù)需三個方程）令求積公式分別對f(x)=1、x、x2精確成立。即

解之得A0=A2=1/3，A1=4/3，二、復(fù)合求積法復(fù)合梯形公式復(fù)合Simpson公式例：利用函數(shù)表分別利用復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式計(jì)算積分的近似值，01/81/43/810.9973980.9896880.9767271/25/86/87/810.9588510.9361560.9088580.8771930.841471將區(qū)間8等分，用復(fù)合梯形公式,得到解：問題：8等分對應(yīng)于逐次二分的次數(shù)為幾次？將區(qū)間4等分，用復(fù)合Simpson公式,得到三、龍貝格算法通過上述3個積分值序列求積分近似值的方法，稱之為Romberg算法。4個積分值序列：梯形值序列Simpson值序列Romberg值序列Cotes值序列圖3.3.1計(jì)算停止準(zhǔn)則:同一行或同一列相鄰兩數(shù)之差的絕對值不超過預(yù)先給定的誤差.

Romberg算法：例：用Romberg算法求解定積分：誤差限：1.0e-5

解：（要求兩分三次，保留5位有效數(shù)字）

解：按Romberg公式的求積步驟進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如下：四、數(shù)值微分第四章、非線性方程的數(shù)值解法重點(diǎn)：迭代法一、簡單迭代法收斂定理——局部收斂定理例設(shè)F(x)=x+c(x2-3)，應(yīng)如何選取c才能使迭xk+1=F(xk)代具有局部收斂性？

解:方程x=F(x)的根為，函數(shù)F(x)在根附近具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，又

F'(x)=1+2cx,，解得解得從而要使迭代xk+1=F(xk)具有局部收斂性，則.

例已知迭代公式收斂于證明該迭代公式平方收斂。證:迭代公式相應(yīng)的迭代函數(shù)為將代入，故迭代公式平方收斂。二、牛頓迭代法第五章、線性方程組的數(shù)值解法直接求解：高斯消去法高斯列主元消去法矩陣的三角分解法：Doolittle分解法迭代法雅克比迭代法高斯-賽德爾迭代法SOR迭代法雅克比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的收斂性判斷（1.充要條件求解矩陣特征值，2.嚴(yán)格占優(yōu)）例:用矩陣的直接三角分解法解方程組或用Doolittle分解法Jacobi迭代矩陣的特征方程的推導(dǎo)Gauss-Seidel迭代矩陣的特征方程的推導(dǎo)第七章、常微分方程的數(shù)值解法尤拉法及改進(jìn)尤拉法三改進(jìn)尤拉公式

Step1:先用顯式尤拉公式作預(yù)測，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy改進(jìn)尤拉公式

這是一種顯式格式,它可以表示為嵌套形式。改進(jìn)尤拉公式例：用改進(jìn)尤拉公式求解初值問題

要求取步長h=0.2，計(jì)算y(1.2)及y(1.4)的近似值，小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位.解設(shè)