軸向拉壓桿及受扭桿的內(nèi)力計(jì)算課件

第二篇

桿件的強(qiáng)度

剛度和穩(wěn)定性

引言在建筑物中承受并傳遞荷載而起骨架作用的部分，結(jié)構(gòu)。

組成結(jié)構(gòu)的單個(gè)物體稱為構(gòu)件例如梁、板、墻、柱、基礎(chǔ)等都是常見的構(gòu)件。引言構(gòu)件設(shè)計(jì)構(gòu)件時(shí)，必須做到:有足夠的抵抗破壞的能力，使構(gòu)件在載荷作用下能安全工作。有足夠的抵抗變形的能力，使構(gòu)件在載荷作用下產(chǎn)生的變形在工程允許范圍內(nèi)。（2）足夠的剛度：(1)足夠的強(qiáng)度：強(qiáng)度：構(gòu)件抵抗破壞的能力剛度：構(gòu)件抵抗變形的能力引言（3）足夠的穩(wěn)定性：構(gòu)件在載荷作用下能保持原有形狀下的平衡。穩(wěn)定性：構(gòu)件保持原有形狀下平衡的能力引言

學(xué)習(xí)本篇的任務(wù)是：通過研究構(gòu)件在荷載作用下所產(chǎn)生的內(nèi)力、應(yīng)力、變形等，建立強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性條件，為既安全又經(jīng)濟(jì)地設(shè)計(jì)構(gòu)件提供一定的原理和計(jì)算方法。引言軸向拉伸與壓縮桿件變形的基本形式剪切引言扭轉(zhuǎn)平面彎曲引言第五章軸向拉伸和壓縮

屋架結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化第一節(jié)軸向拉伸和壓縮的概念

工程中有很多構(gòu)件，例如屋架中的桿，是等直桿，作用于桿上的外力的合力的作用線與桿的軸線重合。在這種受力情況下，桿的主要變形形式是軸向伸長(zhǎng)或縮短。軸向拉伸和壓縮兩個(gè)FP力指向端截面，使桿發(fā)生縱向收縮，稱為軸向壓力。FPFPFPFP

在桿的兩端各受一集中力FP作用，兩個(gè)FP力大小相等，指向相反，且作用線與桿軸線重合兩個(gè)FP力背離端截面，使桿發(fā)生縱向伸長(zhǎng)，稱為軸向拉力。軸向拉伸和壓縮第二節(jié)軸向拉（壓）桿的內(nèi)力所謂內(nèi)力，從廣義上講，是指桿件內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力。顯然，在無荷載時(shí)，這種力是自然存在的，但一旦有外部荷載存在，桿件內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位置就要發(fā)生改變，這種由于荷載作用而引起的受力構(gòu)件內(nèi)部之間相互作用力的改變量稱為附加內(nèi)力。建筑力學(xué)中研究的是這種附加內(nèi)力，以后簡(jiǎn)稱內(nèi)力。軸向拉伸和壓縮構(gòu)件中的內(nèi)力隨著變形的增加而增加大，但對(duì)于確定的材料，內(nèi)力的增加有一定的限度，超過這一限度，構(gòu)件將發(fā)生破壞。因此，內(nèi)力與構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度都有密切的聯(lián)系。在研究構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度等問題時(shí)，必須知道構(gòu)件在外力作用下某截面上的內(nèi)力值。軸向拉伸和壓縮二、求內(nèi)力的基本方法——截面法

內(nèi)力的計(jì)算是分析構(gòu)件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等問題的基礎(chǔ)。求內(nèi)力的一般方法是截面法。

截面法的基本步驟：

（1）截開：在所求內(nèi)力的截面處，假想地用截面將桿件一分為二。

（2）代替：任取一部分，其棄去部分對(duì)留下部分的作用，用作用在截開面上相應(yīng)的內(nèi)力（力或力偶）代替。

（3）平衡：對(duì)留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的已知外力來計(jì)算桿在截開面上的未知內(nèi)力。軸向拉伸和壓縮截開：FPFPⅠⅡmmFNFPmmxⅠFNFPmmⅡ由平衡方程

∑Fx=0，F(xiàn)N-FP=0得

FN=FP（１）截開（２）代替（３）列平衡方程軸向拉伸和壓縮三、軸向拉（壓）桿的內(nèi)力——軸力

軸向拉（壓）桿的內(nèi)力是一個(gè)作用線與桿件軸線重合的力，習(xí)慣上把與桿件軸線相重合的內(nèi)力稱為軸力。并用符號(hào)FN表示。

軸力的正負(fù)規(guī)定:

FN與外法線同向,為正軸力(拉力)FN與外法線反向,為負(fù)軸力(壓力)FNFNFNFN軸向拉伸和壓縮

注意:

在計(jì)算桿件內(nèi)力時(shí)，將桿截開之前，不能用合力來代替力系的作用，也不能使用力的可傳性原理以及力偶的可移性原理。因?yàn)槭褂眠@些方法會(huì)改變桿件各部分的內(nèi)力及變形。軸向拉伸和壓縮120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0FN1+20=0FN1=-20kN于1-1截面處將桿截開，取右段為分離體，設(shè)軸力為正值。則例1試求等直桿指定截面的軸力。FN120kND軸向拉伸和壓縮20kN20kNFN2DC

于2-2截面處將桿截開，取右段為分離體，設(shè)軸力為正值。則120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0-FN2+20-20=0FN2=0軸向拉伸和壓縮FN320kN20kN30kNDCB

于3-3截面處將桿截開，取右段為分離體，設(shè)軸力為正值。則120kN20kN30kNABCD12233∑Fx=0-FN3+30+20-20=0FN3=30kN軸向拉伸和壓縮

任一截面上的軸力的數(shù)值等于對(duì)應(yīng)截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和，且當(dāng)外力的方向使截面受拉時(shí)為正，受壓時(shí)為負(fù)。FN=ΣF結(jié)論120kN20kN30kNABCD12233FN1=-20kNFN2=0FN1=-20kN軸向拉伸和壓縮四、軸力圖

為了形象地表明桿的軸力隨橫截面位置變化的規(guī)律，通常以平行于桿軸線的坐標(biāo)（即x坐標(biāo)）表示橫截面的位置，以垂直于桿軸線的坐標(biāo)（即FN坐標(biāo)）表示橫截面上軸力的數(shù)值，按適當(dāng)比例將軸力隨橫截面位置變化的情況畫成圖形，這種表明軸力隨橫截面位置變化規(guī)律的圖稱為軸力圖。軸向拉伸和壓縮（1）反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀；（2）確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。意義：軸向拉伸和壓縮

例

桿受力如圖所示。試畫出桿的軸力圖。BD段：DE

段：AB段：30kN20kN30kN402010–++FN圖（kN）

注：內(nèi)力的大小與桿截面的大小無關(guān)，與材料無關(guān)。軸向拉伸和壓縮

軸力圖要求：練習(xí)直桿受力如圖所示，試畫出桿的軸力圖。2FPFP2FP5FPABCED軸向拉伸和壓縮正負(fù)號(hào)數(shù)值陰影線與軸線垂直圖名問題提出：FPFPFPFP1.內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強(qiáng)度的大小。2.強(qiáng)度

(1)內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力；

(2)材料承受荷載的能力。第三節(jié)軸向拉（壓）桿的應(yīng)力軸向拉伸和壓縮FRAK總應(yīng)力：一、應(yīng)力的概念受力桿件截面上某一點(diǎn)處的內(nèi)力集度稱為該點(diǎn)的應(yīng)力。總應(yīng)力p是一個(gè)矢量，通常情況下，它既不與截面垂直，也不與截面相切。為了研究問題時(shí)方便起見，習(xí)慣上常將它分解為與截面垂直的分量σ和與截面相切的分量τ。軸向拉伸和壓縮總應(yīng)力分解為與截面相切pK工程中應(yīng)力的單位常用Pa或MPa。

1Pa=1N/m2

1MPa=1N/mm2另外，應(yīng)力的單位有時(shí)也用kPa和GPa，各單位的換算情況如下：

1kPa=103Pa，

1GPa=109Pa=103MPa1MPa=106Pa正應(yīng)力σ剪應(yīng)力τ與截面垂直軸向拉伸和壓縮說明：（1）應(yīng)力是針對(duì)受力桿件的某一截面上某一點(diǎn)而言的，所以提及應(yīng)力時(shí)必須明確指出桿件、截面、點(diǎn)的名稱。（2）應(yīng)力是矢量，不僅有大小還有方向。（3）內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系：內(nèi)力在某一點(diǎn)處的集度為該點(diǎn)的應(yīng)力；整個(gè)截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力總和等于該截面上的內(nèi)力。軸向拉伸和壓縮FPFP’變形規(guī)律試驗(yàn)：二、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)桿受到軸向拉力作用后，所有的縱向線都伸長(zhǎng)了，而且伸長(zhǎng)量都相等，并且仍然都與軸線平行；所有的橫向線仍然保持與縱向線垂直，而且仍為直線，只是它們之間的相對(duì)距離增大了。軸向拉伸和壓縮根據(jù)從桿件表面觀察到的現(xiàn)象，從變形的可能性考慮，可推斷：

軸向拉桿在受力變形時(shí)，橫截面只沿桿軸線平行移動(dòng)。由此可知：橫截面上只有正應(yīng)力σ。假如把桿想象成是由許多縱向纖維組成的話，則任意兩個(gè)橫截面之間所有縱向纖維的伸長(zhǎng)量均相等，即兩橫截面間的變形是均勻的，所以拉（壓）桿在橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力σ都相同。

sFNFP軸向拉伸和壓縮通過上述分析知：軸心拉桿橫截面上只有一種應(yīng)力——正應(yīng)力，并且正應(yīng)力在橫截面上是均勻分布的，所以拉桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式為式中A—拉（壓）桿橫截面的面積；

FN—軸力。

當(dāng)軸力為拉力時(shí)，正應(yīng)力為拉應(yīng)力，取正號(hào)；當(dāng)軸力為壓力時(shí)，正應(yīng)力為壓應(yīng)力，取負(fù)號(hào)。軸向拉伸和壓縮對(duì)于等截面直桿，最大正應(yīng)力一定發(fā)生在軸力最大的截面上。習(xí)慣上把桿件在荷載作用下產(chǎn)生的應(yīng)力，稱為工作應(yīng)力。通常把產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截面，產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。對(duì)于產(chǎn)生軸向拉（壓）變形的等直桿，軸力最大的截面就是危險(xiǎn)截面，該截面上任一點(diǎn)都是危險(xiǎn)點(diǎn)。軸向拉伸和壓縮

例5-1

圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。FABC

解：1、計(jì)算各桿件的軸力。用截面法取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象45°12BF45°軸向拉伸和壓縮BF45°2、計(jì)算各桿件的應(yīng)力。軸向拉伸和壓縮一、拉壓桿的變形及應(yīng)變第四節(jié)軸向拉（壓）桿的變形及胡克定律縱向變形

長(zhǎng)度量綱FP

FP

all1a1橫向變形軸向拉伸和壓縮

為了消除原始尺寸對(duì)桿件變形量的影響，準(zhǔn)確說明桿件的變形程度，將桿件的縱向變形量△l除以桿的原長(zhǎng)l，得到桿件單位長(zhǎng)度的縱向變形。橫向線應(yīng)變

線應(yīng)變--每單位長(zhǎng)度的變形，無量綱?？v向線應(yīng)變

FP

FP

all1a1軸向拉伸和壓縮二、泊松比

從上述分析我們已經(jīng)知道：桿件在軸向拉（壓）變形時(shí)，縱向線應(yīng)變?chǔ)排c橫向線應(yīng)變?chǔ)拧淇偸钦⒇?fù)相反的。通過實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)軸向拉（壓）桿的應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，橫向線應(yīng)變?chǔ)拧渑c縱向線應(yīng)變?chǔ)诺谋戎档慕^對(duì)值為一常數(shù)，通常將這一常數(shù)稱為泊松比或橫向變形系數(shù)。用μ表示?；?/p>

泊松比μ是一個(gè)無單位的量。它的值與材料有關(guān)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)出。

軸向拉伸和壓縮三、胡克定律

當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過材料的某一極限值（“比例極限”）時(shí)引進(jìn)比例常數(shù)E

E稱為材料的彈性模量，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)出。量綱與應(yīng)力相同。從式可推斷出：對(duì)于長(zhǎng)度相同，軸力相同的桿件，分母EA越大，桿的縱向變形△l就越小，可見EA反映了桿件抵抗拉（壓）變形的能力，稱為桿件的抗拉（壓）剛度?！硕伞］S向拉伸和壓縮若將上式的兩邊同時(shí)除以桿件的原長(zhǎng)l，并將代入，于是得——胡克定律。表明：在彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比。比例系數(shù)即為材料的彈性模量E。軸向拉伸和壓縮

例5-2一矩形截面鋼桿，其截面尺寸b×h=3mm×80mm，材料的E=200GPa。經(jīng)拉伸試驗(yàn)測(cè)得：在縱向100mm的長(zhǎng)度內(nèi)，桿伸長(zhǎng)了0.05mm，在橫向60mm的高度內(nèi)桿的尺寸縮小了0.0093mm，試求：⑴該鋼材的泊松比；⑵桿件所受的軸向拉力FP。解：（1）求泊松比。

求桿的縱向線應(yīng)比ε求桿的橫向線應(yīng)變?chǔ)拧淝蟛此杀圈梯S向拉伸和壓縮（2）計(jì)算桿受到的軸向拉力由虎克定律σ=ε·E

計(jì)算圖示桿件在FP作用下任一橫截面上的正應(yīng)力可求得在FP作用下，桿件橫截面上的軸力σ=ε·E=5×10-4×200×103=100MPa又按照應(yīng)力的計(jì)算公式FN=σ·A=100×3×80=24×103=24kN該桿為二力桿，任一截面上的軸力與兩端拉力相等，即FN=FP，所以該桿受到的軸向外力FP=24kN。軸向拉伸和壓縮第六節(jié)許用應(yīng)力、安全系數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算一、許用應(yīng)力和安全系數(shù)塑性材料脆性材料極限應(yīng)力

n—安全系數(shù)

—許用應(yīng)力。任何一種材料都存在一個(gè)能承受應(yīng)力的上限，這個(gè)上限稱為極限應(yīng)力，常用符號(hào)σo表示。軸向拉伸和壓縮塑性材料的許用應(yīng)力脆性材料的許用應(yīng)力

選取安全系數(shù)的原則是：在保證構(gòu)件安全可靠的前提下，盡可能減小安全系數(shù)來提高許用應(yīng)力。

確定安全系數(shù)時(shí)要考慮的因素，如：材料的均勻程度、荷載的取值和計(jì)算方法的準(zhǔn)確程度、構(gòu)件的工作條件等。塑性材料nS取1.4～1.7；脆性材料nb取2.5～3。某些構(gòu)件的安全系數(shù)和許用應(yīng)力可以從有關(guān)的規(guī)范中查到。軸向拉伸和壓縮二、軸向拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算σmax≤[σ]

σmax是桿件的最大工作應(yīng)力，可能是拉應(yīng)力，也可能是壓應(yīng)力。對(duì)于脆性材料的等截面桿，其強(qiáng)度條件式為：

式中：σtmax及[σt]分別為最大工作拉應(yīng)力和許用拉應(yīng)力；σcmax及[σc]分別為最大工作壓應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。1.強(qiáng)度條件軸向拉伸和壓縮根據(jù)強(qiáng)度條件，可以解決三類強(qiáng)度計(jì)算問題1、強(qiáng)度校核：2、設(shè)計(jì)截面：3、確定許可載荷：⒉強(qiáng)度條件在工程中的應(yīng)用軸向拉伸和壓縮例5-4正方形截面階梯形磚柱。已知：材料的許用壓應(yīng)力[σC]=1.05MPa，彈性模量E=3GPa，荷載FP=60kN，試校核該柱的強(qiáng)度。解（1）畫軸力圖如圖b所示。（2）計(jì)算最大工作