數(shù)字圖像處理二值圖像處理

數(shù)字圖像處理二值圖像處理第一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三本章內(nèi)容6.1距離與連通

6.2二值圖像的幾何特征描述

6.3二值圖像的常規(guī)處理6.4二值圖像的形態(tài)學(xué)處理第二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.1距離與連通

二值圖像只含有兩個灰度級，一般用0來表示背景區(qū)域，1表示目標(biāo)區(qū)域。對圖像分割的結(jié)果如果目標(biāo)區(qū)域像素標(biāo)記為1而背景區(qū)域清零則會得到分割結(jié)果的二值圖像，或者對邊緣提取得結(jié)果邊緣點(diǎn)取值為1而非邊緣點(diǎn)取值為0則會得到圖像的邊緣二值圖，這個獲取二值圖像的過程叫做二值化過程。第三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.1.1距離的定義

在二值圖像處理中，往往需要計(jì)算兩個像素點(diǎn)間的距離，比如在連通分量本身的尺寸大小相對于其它各個區(qū)域間的距離很小時，計(jì)算兩個區(qū)域間的距離可以近似為計(jì)算兩個區(qū)域間質(zhì)心的位置距離。滿足下面三條性質(zhì)的函數(shù)形式均可以作為距離的定義，假定圖像中三點(diǎn)A,B,C：①非負(fù)性：，當(dāng)和點(diǎn)重合的時候，等號成立；②對稱性：；③三角不等式：第四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三假設(shè)計(jì)算點(diǎn)P(a,b)與Q(c,d)間距離可以采取下面的幾種定義形式：

①歐幾里德距離，用來De表示，如下式所示： (6-1)

②街區(qū)距離，用Ds來表示： (6-2)

③棋盤距離，用Dg表示如下： (6-3)

三者之間的關(guān)系為：，如圖6-1(a)、(b)和(c)所示。第五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

考慮距離點(diǎn)P(a,b)小于t的所有像素點(diǎn)，將發(fā)現(xiàn)使用街區(qū)距離這些點(diǎn)組成一個菱形區(qū)域，使用棋盤距離這些點(diǎn)組成一個正方形區(qū)域。點(diǎn)P(a,b)到連通區(qū)域R的距離定義為該點(diǎn)到中所有點(diǎn)之間距離的最小距離；R的直徑定義為R中兩點(diǎn)間的最大的距離。

(a)歐氏距離(b)街區(qū)距離(c)棋盤距離(d)≤2構(gòu)成菱形(e)≤2構(gòu)成正方形圖6-1三種距離示意圖第六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

(a)8-近鄰(b)i近鄰(c)d近鄰

圖6-2像素的近鄰關(guān)系與編碼方式

5.1.2鄰接與連通關(guān)系d近鄰：如果兩個相鄰像素單元有一條公共邊，則這兩個像素為直接近鄰，簡稱d近鄰，其它像素點(diǎn)為非直接近鄰；i近鄰：如果二者只有一個公共點(diǎn)鄰接，這種近鄰簡稱i近鄰。

一般所指的近鄰就是這兩種近鄰的總稱，叫做n近鄰。如果我們按照圖6-2(a)中的方式對近鄰進(jìn)行編碼，其中編號為奇數(shù)的為d近鄰，編號為偶數(shù)的為i近鄰，通常我們使用的為4近鄰和8近鄰。第七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

i通路(簡稱通路)是一個像素序列，并且當(dāng)

時像素Lk-1和Lk互為一個i近鄰；d通路則是要求Lk-1和Lk必須為d近鄰。如果對于一個像素集合R中任意兩個象素點(diǎn)p1和p2，都存在一條首尾為p1和p2的i通路，并且這條通路上的其余像素都屬于集合R，那么我們稱這個像素集合R是i連通的。一個連通的像素集R的邊界（i邊界）定義為至少有一個i近鄰不存在R內(nèi)的所有R中的像素點(diǎn)的集合；R的d邊界是至少有一個近鄰不在R內(nèi)的所有R中的象素點(diǎn)的集合。第八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

區(qū)域就是一個像素點(diǎn)集合，這個集合中的任意兩點(diǎn)都可以用包含在集合內(nèi)的一條曲線連接起來；區(qū)域的邊界點(diǎn)，就是指那些無論它的鄰域有多小，它都包含有集合的內(nèi)點(diǎn)和外點(diǎn)的點(diǎn)集。

區(qū)域的連通性具有互逆性和傳遞性，記區(qū)域R、S和T:(1)自連通性：R與R連通；(2)對稱性：若R與S連通，那么S與R也連通；(3)傳遞性：若R與S連通，S與T連通，則R與T也連通。第九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三5.1.3

區(qū)域的連通分量標(biāo)記

圖像經(jīng)過分割后得到多個目標(biāo)區(qū)域，有必要對每個目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行標(biāo)記和識別。一般在標(biāo)記時把屬于同一區(qū)域的不同連通分量標(biāo)記為不同的標(biāo)號。標(biāo)記的方法通常采用順序標(biāo)記的方法。順序標(biāo)記法通過對圖像做兩次掃描來實(shí)現(xiàn)標(biāo)記，掃描的方向是由左到右，由上到下。假定1表示目標(biāo)區(qū)域像素點(diǎn)，0表示背景區(qū)域像素點(diǎn)。下面分別介紹4連通分量和8連通分量的順序標(biāo)注。第十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三4連通分量的順序標(biāo)注：

假設(shè)掃描到像素點(diǎn)Ai,j，其灰度值為1，那么檢查Ai-1,j和Ai,j-1，因?yàn)槭琼樞驋呙?，所以Ai-1,j和Ai,j-1一定是進(jìn)行過標(biāo)記處理。所以針對這兩個鄰接點(diǎn)的不同情況可以對Ai,j進(jìn)行標(biāo)記：(1)Ai-1,j和Ai,j-1均未被標(biāo)記，則分配Ai,j一個新的標(biāo)記符；(2)有一個被標(biāo)記，標(biāo)記符為a，則把Ai,j也標(biāo)記為a；(3)均被標(biāo)記(分別為a和b)，那么把Ai,j標(biāo)記為a，也就是和其左邊的鄰接點(diǎn)相同的標(biāo)記；記下標(biāo)識符a和b等價。

(a)原二值圖像(b)第一遍掃描標(biāo)記(c)第二遍掃描標(biāo)記 圖6-44連通分量的順序標(biāo)記第十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三8連通分量的順序標(biāo)注：

與4連通分量的標(biāo)記方法類似，不同的是當(dāng)掃描到像素點(diǎn)Ai,j時，需要檢查Ai,j的左邊i鄰接點(diǎn)Ai-1,j，左上i鄰接點(diǎn)Ai-1,j-1，上i鄰接點(diǎn)Ai,j-1和右上i鄰接點(diǎn)Ai+1,j-1的4個鄰接點(diǎn)的標(biāo)記情況來對其進(jìn)行標(biāo)記。

(a)原二值圖像(b)第一遍掃描標(biāo)記(c)第二遍掃描標(biāo)記 圖6-58連通分量的順序標(biāo)記第十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.2.1二值圖像中曲線的描述6.2.1.1輪廓跟蹤-甲蟲算法

目標(biāo)區(qū)域的邊界輪廓是描述目標(biāo)的重要特征，對于二值圖像中的目標(biāo)區(qū)域輪廓可以通過一種簡單的輪廓跟蹤算法來得到，這種方法也被稱作甲蟲算法。如圖6-6所示的二值圖像4連通分量，假定目標(biāo)區(qū)域用1(黑色)表示，背景區(qū)域用0(白色)表示，給定甲蟲起點(diǎn)p(i,j)，遵循準(zhǔn)則：

6.2二值圖像的幾何特征描述

第十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

一直到甲蟲爬回起始點(diǎn)為止。甲蟲的爬行軌跡反映了目標(biāo)區(qū)域的輪廓特征。在邊界跟蹤的過程中，會出現(xiàn)一些小循環(huán)，這些小循環(huán)則需要在后繼的處理中除去；另外，不同的起點(diǎn)將會生成不同的甲蟲軌跡，但是差別不是很大。甲蟲算法可以方便的得到目標(biāo)區(qū)域的輪廓，經(jīng)過改進(jìn)的甲蟲算法可以方便的實(shí)現(xiàn)四連通鏈碼。(a)甲蟲算法示例(b)不同起點(diǎn)將導(dǎo)致不同結(jié)果圖6-64連通甲蟲算法

第十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

8連通區(qū)域的邊界：這需要改變甲蟲的爬行準(zhǔn)則，假定當(dāng)前甲蟲位置為p(i,j)，從該點(diǎn)的左邊(垂直先前前進(jìn)方向90o)開始順時針順序考察p(i,j)的8鄰接像素點(diǎn)，如果發(fā)現(xiàn)有像素點(diǎn)不為0，則前進(jìn)至該點(diǎn)，持續(xù)該過程，直至回到起始點(diǎn)。相對比8連通的甲蟲算法產(chǎn)生的軌跡全部在區(qū)域內(nèi)部，并且不會產(chǎn)生小環(huán)結(jié)構(gòu)。圖6-78連通甲蟲算法

第十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

6.2.1.2鏈碼（chaincode）

鏈碼(又稱Freeman鏈碼)在二值圖像中常常用來表示連通分量的邊界或者線條。還可以計(jì)算出許多幾何特征量(線條的長度，閉合曲線的周長，所圍面積等)。如圖6-8(b)所示的曲線S從p點(diǎn)開始，形成的4鏈碼為：00300333212232211011；圖6-8(d)曲線S從q點(diǎn)開始，形成的8鏈碼為：1100776655443322。(a)4鏈碼指向符(b)曲線的4鏈碼表示(c)8鏈碼指向符(d)邊界的8鏈碼表示圖6-8曲線的鏈碼表示

第十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三鏈碼的表示方法具有下面一些有趣的特性：

①如果曲線上的像素?cái)?shù)目為N，那么鏈碼的長度則為N-1；②鏈碼是和起點(diǎn)相關(guān)的，不同的起點(diǎn)可以得到不同的鏈碼表示。③鏈碼具有平移的不變性，也就是說曲線的位置變動不改變其鏈碼結(jié)構(gòu)；④曲線的旋轉(zhuǎn)將使得得到的鏈碼中的每個元素分量增加相同的數(shù)值。第十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.2.2區(qū)域簡單特征描述6.2.2.1連通分量的面積

連通分量的面積實(shí)際上就是連通像素點(diǎn)集中像素的個數(shù)，也就是區(qū)域邊界內(nèi)包含像素點(diǎn)的數(shù)目。設(shè)二值圖像f(x,y)的連通分量的大小為，其中：那么區(qū)域的面積為：如果經(jīng)過目標(biāo)標(biāo)記，區(qū)域占有的連通分量有k個，那么目標(biāo)區(qū)域的面積則是k個連通分量的面積總和，即有：第十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.2.2.2連通分量的周長

連通分量的周長常用的定義一般有下面兩種形式：①周長可以使采用8鏈碼進(jìn)行編碼的曲線的長度：

其中N1表示指向方向?yàn)?,2,4,6的像素點(diǎn)數(shù)；N2為指向1,3,5,7的像素點(diǎn)數(shù)目；

②將邊界像素點(diǎn)所占的面積定義為周長，也即邊界點(diǎn)所占的像素點(diǎn)數(shù)目。第十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.2.2.3連通分量的位置

連通區(qū)域在二值圖像中一般除了是單像素外，一般都有自己的形狀，因此也具有質(zhì)心，通過對質(zhì)心的定位，在目標(biāo)識別中具有一定的實(shí)用意義。假定二值圖像f(x,y)，連通區(qū)域的面積為S，則其質(zhì)心坐標(biāo)為：第二十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.2.2.4區(qū)域的不變矩描述

用矩來描述圖像具有旋轉(zhuǎn)、比例縮放和平移具有不變性，因此可以用矩來刻劃圖像中的目標(biāo)區(qū)域在很多場合得到廣泛應(yīng)用。連續(xù)的二維矩（第（p+q）階矩）定義為：只要f(x,y)在圖像xy平面上有限區(qū)域有非零值，則其各階矩都存在且唯一，同時可以通過其各階矩可以實(shí)施對f(x,y)函數(shù)的重建，重建公式為：

第二十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三零階矩為：零階矩表述的是圖像的總質(zhì)量或者可以說是圖像的面積。一階矩：

一階矩則反映了圖像質(zhì)心的位置。對一階矩歸一化，于是可以得到圖像的質(zhì)心位置如下：

第二十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三二階矩：二階矩則描述了圖像的對于直線和對軸與軸的轉(zhuǎn)動慣量，因此常常也把物體的二階矩稱為慣性矩。中心矩：第二十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

低階矩主要描述區(qū)域的面積、轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)心等等，具有明顯得幾何意義，而高階矩一般主要描述區(qū)域的細(xì)節(jié)特征，比如三階矩描述扭曲度，四階矩描述峰值的狀態(tài)等等，一般來說高階矩受到圖像離散化等的影響，高階矩一般在應(yīng)用中不一定十分準(zhǔn)確。

對于離散的的數(shù)字圖像f(i,j)，矩定義為：對于二值圖像，在目標(biāo)區(qū)域R有f(i,j)=1，背景區(qū)域f(i,j)=0，因此：

第二十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

同樣的，考察二值圖像各階矩，我們可以知道，其零階矩m00為目標(biāo)區(qū)域的面積，也即區(qū)域中包含的點(diǎn)數(shù)；假設(shè)為目標(biāo)的質(zhì)心位置，其中有:則離散圖像的中心矩為：第二十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.3二值圖像的常規(guī)處理6.3.1二值圖像的布爾(Boolean)操作

二值圖像的基本的布爾操作有非(NOT)，或(OR)，與(AND)，異或(XOR)和相減(SUB)操作，其它的布爾操作都可以由這些基本操作推論得出。假設(shè)二值圖像a,b和結(jié)果二值圖像c這些基本布爾操作描述如下：

NOT：c=；

OR： c=a+b；

AND：c=；

XOR：c=；

SUB：c=第二十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

在具體實(shí)現(xiàn)的時候，這些布爾操作實(shí)際上是對具體的每個像素進(jìn)行布爾操作，比如SUB操作可以描述為：=具體的描述可以用圖6-15的表格來說明：圖6-15布爾操作示意圖

第二十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

(d)OR(a,b)(b)AND(a,b)(c)XOR(a,b)(d)SUB(a,b)圖6-16各種二值圖像布爾操作示例

如果二值圖像中1用黑色表示，0用白色表示，圖6-16給出了二值圖像布爾操作的結(jié)果示例。

(a)圖像a(b)圖像b(c)NOT(b)第二十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.3.2二值圖像的黑白點(diǎn)噪聲消除

對圖像直接分割處理，在二值化后結(jié)果也可能會產(chǎn)生類似黑白點(diǎn)樣的噪聲，假定目標(biāo)區(qū)域用黑色表示，背景為白色，這種噪聲具體表現(xiàn)則為目標(biāo)區(qū)域出現(xiàn)零星白色像素點(diǎn)或者背景區(qū)域出現(xiàn)少數(shù)的黑色像素點(diǎn)。為了提高對二值圖像的特征提取準(zhǔn)確性和后繼處理的方便性，往往需要消除這些黑白點(diǎn)噪聲。這里我們介紹一種去除黑白點(diǎn)噪聲的簡單方法。

第二十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三①消除孤立黑（白）像素點(diǎn)在4鄰接的情況下，若黑（白）像素點(diǎn)p(i,j)的上下左右4個鄰接像素點(diǎn)全部為白（黑）像素點(diǎn)，則將p(i,j)的值改為白（黑）；如果是8鄰接的情況下，則若黑（白）像素點(diǎn)p(i,j)的8個鄰接像素全部為白（黑）時，把p(i,j)的值修改為白（黑）。

②消除黑白點(diǎn)噪聲消除黑白點(diǎn)噪聲可以通過對像素點(diǎn)進(jìn)行鄰域平均來判斷是否清除該點(diǎn)。具體的實(shí)現(xiàn)方法如下，設(shè)像素點(diǎn)p(i,j)的8個鄰接像素點(diǎn)平均灰度值為：其中-p(i,j)表示反轉(zhuǎn)像素點(diǎn)p(i,j)的取值，即0變1，1變0。

第三十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.3.3二值圖像的細(xì)化（Thinning）

圖像細(xì)化是在不改變圖像像素拓?fù)溥B接性關(guān)系的前提下，連續(xù)地剝落圖像的外層像素，使之最終成為單像素寬的過程。細(xì)化是一個迭代的過程，需要遵循下面的準(zhǔn)則：①在去除區(qū)域邊界點(diǎn)時，不能消除破壞區(qū)域的連通性的點(diǎn)，如圖5-17(a)不能刪除其中心像素。②不能減小區(qū)域形狀的的長度，也就是說迭代的過程中不能去掉端點(diǎn)(只有一個鄰接點(diǎn)的點(diǎn))。

③如果把邊界分為上下左右四個方向，那么每次的迭代只能消除一個方向上的邊界點(diǎn)，為了保持細(xì)化的結(jié)果盡量靠近骨架，也即位于中線附近，需要交替的對四個方向進(jìn)行細(xì)化，比如采用上、下、左、右、上…的順序。(a)破壞連通性(b)減小形狀長度圖6-17細(xì)化準(zhǔn)則

第三十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

簡單邊界點(diǎn)：對于區(qū)域R的一個邊界點(diǎn)p，如果屬于區(qū)域R的鄰域元素中只有一個與p鄰接，則稱p點(diǎn)為區(qū)域R的簡單邊界點(diǎn)。細(xì)化的過程可以概述為在不破壞連通性且不減小區(qū)域形狀長度的條件下消去R中不是端點(diǎn)的簡單邊界點(diǎn)，過程是按S的上（北）、下（南）、左（西）、右（東）四個方向順序，反復(fù)進(jìn)行掃描以消去可刪除簡單邊界點(diǎn)，直到不存在可以消去的簡單邊界點(diǎn)為止。

第三十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

采取圖6-18所示的8連通進(jìn)行細(xì)化。準(zhǔn)則可以演化為下面的四個公式，式中的乘和加為邏輯乘與加：①上邊界點(diǎn)f00(f00=1且f0,-1=0)消除：②下邊界點(diǎn)f00(f00=1且f0,1=0)消除：③左邊界點(diǎn)f00(f00=1且f-1,0=0)消除：④右邊界點(diǎn)f00(f00=1且f1,0=0)消除：圖6-188連通示意圖

第三十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

下面介紹一種比較簡單的細(xì)化算法，由E.S.Deutsch提出。該算法需要對圖像進(jìn)行兩次掃描：通過統(tǒng)計(jì)點(diǎn)8鄰域內(nèi)的像素?cái)?shù)目依照一定的邏輯準(zhǔn)則來對要消去的像素進(jìn)行標(biāo)記；第二遍時采取另外一個邏輯準(zhǔn)則處理點(diǎn)鄰域內(nèi)的像素，對要消去的像素進(jìn)行標(biāo)記；掃描完畢之后去掉作了標(biāo)記的像素，重復(fù)上述的操作，直到得到單像素寬的線條為止。

第三十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三假定用N(p)表示p點(diǎn)鄰域內(nèi)目標(biāo)像素的數(shù)目：

T(p)表示p點(diǎn)鄰域像素逆時針序列中變化的次數(shù)，那么邏輯準(zhǔn)則和描述如下：第三十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三圖6-20是針對一幅指紋圖像采取上述細(xì)化方法的細(xì)化的結(jié)果。

(a)指紋原圖(b)二值化的結(jié)果(c)細(xì)化圖圖6-20對指紋圖像細(xì)化的結(jié)果第三十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.4二值圖像的形態(tài)學(xué)處理

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)(MathematicalMorphology)是一門建立在集合理論基礎(chǔ)上的學(xué)科，它是幾何形態(tài)分析和描述的有力工具。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以方便地對二值圖像進(jìn)行噪聲濾除、邊界提取、區(qū)域填充、細(xì)化與骨架提取等算法，并且還可方便地推廣到一般的灰度圖像空間。第三十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理二值圖像時，要設(shè)計(jì)一種搜集圖像信息的“探針”，稱為結(jié)構(gòu)元素，結(jié)構(gòu)元素通常是一些小的簡單集合，如圓形，正方形等的集合。觀察者在圖像中不斷移動結(jié)構(gòu)元素，便可以考察圖像各個部分之間的關(guān)系，從而提取出有用的信息作結(jié)構(gòu)分析和描述。使用不同的結(jié)構(gòu)元素和形態(tài)學(xué)算子可以獲得關(guān)于目標(biāo)的大小、形狀、連通性和方向等信息，形態(tài)學(xué)處理的效果則取決于結(jié)構(gòu)元素的大小、內(nèi)容、邏輯運(yùn)算的性質(zhì)。第三十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.4.1基本概念(d)集合A和Ac(e)A的平移Ax

(f)A的映射(g)A,B的差集A-B圖6-22集合定義的示例(a)B包含于A(b)B擊中A(c)B擊不中A第三十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

在引入上面的一些基本集合定義之后，我們給出明可夫斯基(Minkowski)集合運(yùn)算的定義，對于集合A和B： Minkowski加： Minkowski減：

第四十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

6.4.2二值形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算

在實(shí)際運(yùn)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理圖像時，集合A和B并不視作對等關(guān)系，一個集合作為圖像，另外一個集合為結(jié)構(gòu)元素。在下面的分析中假定集合B為結(jié)構(gòu)元素，集合A為待處理圖像。絕大多數(shù)的形態(tài)學(xué)運(yùn)算都定義在兩個基本運(yùn)算的基礎(chǔ)即：腐蝕和膨脹，在此基礎(chǔ)上定義了其它常用的形態(tài)變換。下面對二值圖像的形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算作一介紹。第四十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

6.4.2.1膨脹（Dilation）與腐蝕（Erosion）

膨脹運(yùn)算D(A,B)為： （6-47）腐蝕運(yùn)算E(A,B)為： （6-48）膨脹和腐蝕運(yùn)算是明可夫斯基加和減運(yùn)算的特例。式(6-47)描述的膨脹公式說明用B來膨脹A就是對于B中的每一個元素b來位移A并把結(jié)果“或(OR)”起來；式(6-48)描述的腐蝕公式說明用B來腐蝕A就是對于B中的每一個元素b來反向位移A并把結(jié)果“與(AND)”起來。第四十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

觀察圖6-23(g)和(h)標(biāo)有問號的點(diǎn)，(g)中被膨脹后原來屬于集合A的元素現(xiàn)在沒有了，(h)中原來不屬于集合A的元素現(xiàn)在屬于腐蝕后的結(jié)果，因此膨脹的結(jié)果或者腐蝕的結(jié)果與原集合沒有任何包含或者被包含的關(guān)系。(a)集合A(b)結(jié)構(gòu)元素B(c)膨脹結(jié)果(d)腐蝕結(jié)果

腐蝕是一種消除邊界點(diǎn)，使邊界向內(nèi)部收縮的過程?？梢杂脕硐∏覠o意義的物體區(qū)域；膨脹則是將與物體接觸的所有背景點(diǎn)合并到該物體中，使邊界向外部擴(kuò)張的過程，可以用來填補(bǔ)物體中的空洞部分。

(e)集合(f)結(jié)構(gòu)元素(g)膨脹結(jié)果(h)腐蝕結(jié)果圖6-23膨脹與腐蝕示例第四十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

結(jié)構(gòu)元素在形態(tài)學(xué)算子中起的作用如同卷積核在線性濾波中起的作用一樣重要，不同的結(jié)構(gòu)元素將產(chǎn)生不同的圖像膨脹和腐蝕結(jié)果，在實(shí)際應(yīng)用中最常用的結(jié)構(gòu)元素是如圖6-24所示的4連通集合和8連通集合。圖6-24常用的結(jié)構(gòu)元素(N4和N8)

第四十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三膨脹和腐蝕算子的特性：①膨脹交換率：②膨脹結(jié)合率：③平移不變性：

④膨脹分配率：⑤腐蝕分配率：第四十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三⑥若B為獨(dú)點(diǎn)集{x}，則以B為結(jié)構(gòu)元素作膨脹運(yùn)算則相當(dāng)于平移操作，此時：D(A,B)=Ax⑦膨脹和腐蝕是一對對偶算子，它們滿足對偶率：

注意：腐蝕不滿足交換率，即有：；膨脹和腐蝕操作之間也不具有交換率，即：因此也就意味著膨脹和腐蝕是不可逆的過程，同時也說明膨脹和腐蝕運(yùn)算是可以級聯(lián)使用的。

第四十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

圖6-25采用圖6-23中的集合和圖6-23(f)中的結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行級聯(lián)運(yùn)算，結(jié)果說明：先膨脹后腐蝕的結(jié)果和先腐蝕后膨脹的結(jié)果是并不一樣。一般定義對集合先腐蝕后膨脹為開啟運(yùn)算，對集合先膨脹后腐蝕為閉合運(yùn)算，下面主要介紹這兩個運(yùn)算。(a)膨脹的結(jié)果(b)膨脹后再腐蝕(c)腐蝕的結(jié)果(d)腐蝕后再膨脹圖6-25膨脹和腐蝕的不可逆性第四十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

6.4.2.2開啟（Open）與閉合（Close）假定集合A,B,A1和A2，其中A1是A2的子集。開啟運(yùn)算：集合B對集合A先腐蝕后膨脹；閉合運(yùn)算：集合B對集合A先膨脹后腐蝕。第四十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三原來集合A是連通的，由于兩個主要區(qū)域的連接部分寬度小于小球的直徑，因此腐蝕后形成了兩個部分;集合A經(jīng)過開啟運(yùn)算后集合中向外的突出角未變，但是所有向內(nèi)的突出角被圓滑了；經(jīng)過閉合運(yùn)算后集合中向內(nèi)的突出角未變，但是所有向外的突出角被圓滑了。

(a)集合A(b)結(jié)構(gòu)元素B

(e)被膨脹的結(jié)果(f)閉合運(yùn)算的結(jié)果圖6-26開運(yùn)算和閉運(yùn)算示例

(c)被腐蝕的結(jié)果(d)開啟運(yùn)算的結(jié)果第四十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

觀察圖6-26的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：開運(yùn)算有消除細(xì)小物體，在纖細(xì)點(diǎn)出分離物體，平滑物體邊界，而又不明顯改變其面積的功能；閉運(yùn)算則有填充物體內(nèi)細(xì)小空洞，連接相鄰物體，在不明顯改變物體面積的情況下平滑邊界的作用。有時候把開啟、閉合運(yùn)算反復(fù)做多次，能起到滿意的效果。例如有噪聲的圖像閾值二值化時，所得到的邊界往往很不平滑，物體內(nèi)部有孔，背景區(qū)域上有噪聲。即需要開元素，也需要閉運(yùn)算。有時要幾次腐蝕，再做相同次數(shù)膨脹。第五十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三開啟和閉合運(yùn)算具有下面的特性：①對偶率： ②平移不變性：

③開運(yùn)算具有非擴(kuò)展性，閉合運(yùn)算則具有擴(kuò)展性，即有：

第五十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三

④單調(diào)增加性：

⑤冪等性：

從概念上講，一次閉合運(yùn)算已經(jīng)把的毛刺等細(xì)節(jié)去掉了，再做一次開啟運(yùn)算，沒有更多的毛刺可消去，因此，第二次開啟運(yùn)算不再改變其形狀，因此有等冪性。第五十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期三6.4.5形態(tài)學(xué)在二值圖