數(shù)學實驗對稱性

數(shù)學實驗課件對稱性AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算簡化前提（結構對稱）

1.幾何形狀對稱2.剛度對稱關于對稱軸對稱的任一對桿段，剛度相等。3.約束形式對稱包含支座的對稱和結點的對稱。坡屋面框架EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI2EI2EI3EI3EI3EI3EI4EI4EI4EI4對稱結構第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算對稱荷載沿對稱軸對折后，對稱軸以左荷載的大小、方向和作用點，都完全與以右的荷載重合的一組荷載。坡屋面框架FP1FP1對稱結構承受對稱荷載FP2FP2第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算簡化思路力法計算的主要工作量在于求解典型方程。式中，主系數(shù)dii>0，而盡量使副系數(shù)和自由項等于0，從而系數(shù)和自由項的計算工作量大副系數(shù)自由項第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算可以簡化為獨立方程和少元聯(lián)立方程，以便求解。簡化目標使典型方程中盡量多的副系數(shù)和自由項為0，以方便典型方程的求解。第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算原結構FPFP基本結構之一對稱的基本結構基本體系FPX2X2X3X3X1X1FP按力法步驟推導簡化方法超靜定次數(shù)為3。選擇對稱的基本結構。使基本未知力滿足對稱性或反對稱性。寫出典型方程。著重研究副系數(shù)dij和自由項DiP的計算，找出其中為0者。第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算求副系數(shù)：繪制圖反對稱彎矩圖與對稱彎矩圖的圖乘結果為0。即X2=1圖（對稱）圖（對稱）X3=1X1=1X1=1圖（反對稱）第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算求自由項：繪制MP圖和圖MP圖（對稱）FPFPX1=1X1=1圖（反對稱）第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算原典型方程簡化為其中，（a）是獨立方程，（b）是少元聯(lián)立方程。方程組（a）中主系數(shù)d11不為零，因此X1=0。（a）（b）第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算原典型方程最終簡化為（b）第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算疊加法繪內力圖同理，最終變形也是對稱的?！罼2（對稱）+=M（對稱）MP圖（對稱）FPFPX2=1圖（對稱）圖（對稱）X3=1+×X3（對稱）第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算【小結】對稱結構承受反對稱荷載時的特征1.內力和變形是對稱的；2.對稱軸截面上只有對稱的內力（X2和X3），而反對稱內力為零（X1）。第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算半結構法（進一步簡化）奇數(shù)跨對稱結構簡化方法按結論1，只需取原結構一半的基本體系計算即可。這樣，在對稱軸截面上附加垂直于對稱軸的定向支座，就能使半結構在受力和變形兩方面都與原結構相符。奇數(shù)跨等效半結構原結構DH=0q=0DVFPFPllFPFPX2X3DVDH=0q=0lFPDH=0q=0DVFR=X3MR=X2第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算偶數(shù)對稱跨結構的半結構取法DH=0DV=0q=0原結構FPFPFPFRxMFRy偶數(shù)跨等效半結構取一半，中柱去除對稱軸截面加固定支座中柱僅有軸力。第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算【例1】利用對稱性簡化圖示結構，繪其彎矩圖。已知各桿EI相同，為常數(shù)。解：原結構n=2，取其等效半結構如圖。半結構n=1，按力法計算其M圖。最后補全另一半，得原結構彎矩圖。8kN8kN3m3m3m3m3m3mABCDEEIEI8kN3m3m3mABE半結構8kNX1基本體系1X1=1X1=1圖8kN12圖M圖(kNm)123.6原結構M圖(kNm)12123.6第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受對稱荷載的簡化計算【思考題】1.如何處理對稱軸經過結構鉸結點的情況？FP思考題1圖FP等效半結構FP第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算簡化前提（結構對稱）1.幾何形狀對稱；2.剛度對稱；3.約束形式對稱。反對稱荷載在繞對稱軸對折后，其大小相等，作用點重合，但方向相反的荷載。坡屋面框架EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI2EI2EI3EI3EI3EI3EI4EI4EI4EI4FP1FP2FP1對稱結構承受反對稱荷載FP2第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算簡化目標使典型方程中盡量多的副系數(shù)和自由項為0，以方便典型方程的求解。第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算按力法步驟推導簡化方法超靜定次數(shù)為3。選擇對稱的基本結構。使基本未知力滿足對稱性或反對稱性。寫出典型方程。著重研究副系數(shù)dij和自由項DiP的計算，找出其中為0者。原結構FPFP對稱的基本結構基本體系FPX2X2X3X3X1X1FP第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算求副系數(shù)：繪制圖反對稱彎矩圖與對稱彎矩圖的圖乘結果為0。即X2=1圖（對稱）圖（對稱）X3=1X1=1X1=1圖（反對稱）第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算求自由項：繪制MP圖和圖X2=1圖（對稱）圖（對稱）X3=1MP圖（反對稱）FPFP第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算原典型方程簡化為其中，（a）是獨立方程，（b）是少元聯(lián)立方程。方程組（b）為線性齊次方程組，可證明系數(shù)行列式不為零，于是X2=0，X3=0。（a）（b）第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算原典型方程最終簡化為（a）第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算疊加法繪內力圖同理，最終變形也是反對稱的。X1=1X1=1圖（反對稱）MP圖（反對稱）FPFP×X1（反對稱）+=M（反對稱）第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算【小結】對稱結構承受反對稱荷載時的特征1.內力和變形是反對稱的；2.對稱軸截面上只有反對稱的內力（X1），而對稱內力為零（X2和X3）。第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算半結構法（進一步簡化）奇數(shù)跨對稱結構簡化方法按結論1，只需取原結構一半的基本體系計算即可。這樣，在對稱軸截面上附加沿對稱軸的活動鉸支座，就能使半結構在受力和變形兩方面都與原結構相符。奇數(shù)跨等效半結構原結構FPFPllDHqDV=0X1FPFPX1DHqDV=0lFPFR=X1DHqDV=0第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算偶數(shù)對稱跨結構簡化方法(a)原結構EIFPFPC(b)中柱看作雙柱EI/2EI/2FPFPC(c)按奇數(shù)跨取半結構EI/2EI/2FPFPCCFQC(d)偶數(shù)跨等效半結構FPEI/2C取一半，中柱剛度折半還原時，中柱M、FQ乘2第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三AllRightsReserved重慶大學土木工程學院?對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算【例1】利用對稱性簡化圖示結構，繪其彎矩圖。已知各桿EI相同，為常數(shù)。解：原結構n=1，取其等效半結構如圖。該半結構為靜定！直接按靜力平衡條件計算，繪其彎矩圖。最后，補全另一半，得原結構彎矩圖。FPFPllC2lFPlC等效半結構半結構M圖FPlC2FP