數(shù)字電子技術(shù) 第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

數(shù)字電子技術(shù)第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)運算法則基本邏輯關(guān)系基本運算規(guī)則基本代數(shù)規(guī)律吸收規(guī)則摩根定理反演定理邏輯函數(shù)的化簡公式法圖形法邏輯函數(shù)表示法2.1概述第二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)邏輯電路邏輯代數(shù)研究工具邏輯函數(shù)邏輯狀態(tài)二值變量2.2

邏輯代數(shù)中的常用運算依據(jù)：1.邏輯變量只?。?、1兩種狀態(tài)。2.與、或、非是三種最基本的邏輯運算。與普通代數(shù)運算法則類似的：分配律、結(jié)合律、交換律等。與普通代數(shù)運算法則不同的：AA=AA+A=AA=A(還原律）第三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三一、“與”邏輯A、B、C條件都具備時，事件F才發(fā)生。EFABC&ABCF邏輯符號2.2.1基本邏輯運算邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)邏輯符號

邏輯式真值表第四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三F=A?B?C邏輯式邏輯乘法邏輯與AFBC00001000010011000010101001101111真值表邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三二、“或”邏輯A、B、C只有一個條件具備時，事件F就發(fā)生。1ABCF邏輯符號AEFBC邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三F=A+B+C邏輯式邏輯加法邏輯或AFBC00001001010111010011101101111111真值表邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三三、“非”邏輯A條件具備時，事件F不發(fā)生；A不具備時，事件F發(fā)生。邏輯符號AEFRAF邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三邏輯式邏輯非邏輯反真值表AF0110邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三2.2.2復(fù)合邏輯運算“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯關(guān)系，任何其它的邏輯關(guān)系都可以以它們?yōu)榛A(chǔ)表示。與非：

條件A、B、C都具備，則F不發(fā)生。&ABCF邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三或非：條件A、B、C任一具備，則F不發(fā)生。1ABCF異或：條件A、B一個具備，另一個不具備則F發(fā)生。=1ABCF邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三一、常量間的運算由三種基本邏輯關(guān)系(與、或、非），可得邏輯運算結(jié)果：0?0=0?1=1?0=01?1=10+0=00+1=1+0=1+1=1邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2.3邏輯代數(shù)中的基本定律和常用公式2.3.1邏輯代數(shù)中的基本定律第十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三二、基本定律A+0=A邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)A·0=0A+1=1A·1=A第十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三三、基本代數(shù)規(guī)律交換律結(jié)合律分配律A+B=B+AA·B=B·AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA·(B·C)=(A·B)·CA(B+C)=A·B+A·CA+B·C=(A+B)(A+C)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)普通代數(shù)不適用第十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三四、吸收規(guī)則吸收：多余（冗余）項，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。1.原變量的吸收：A+AB=A證明：左式=A(1+B)原式成立口訣：長中含短,留下短。長項短項

=A=右式1||第十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三2.反變量的吸收：

A+AB=A+B證明：=右式口訣：長中含反,去掉反。原(反)變量反(原)變量添冗余項

1||第十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三3.混合變量的吸收：

證明：添冗余因子AB+AC+BC=AB+AC互為反變量=右式口訣：正負相對,余全完。（消冗余項）添加第十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三五、德摩根定理（DeMorgan)證明：窮舉法推廣到多變量：說明：變量的與非（或非）運算等于變量的非或（非與）運算。第十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三可以用列真值表的方法證明：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三六、反演定理++變量與常數(shù)均取反（求反運算）互補運算1.運算順序：先括號再乘法后加法。2.不是一個變量上的反號不動。注意:用處：實現(xiàn)互補運算（求反運算）。新表達式：顯然：(變換時,原函數(shù)運算的先后順序不變)(反函數(shù))將函數(shù)式F中所有的第二十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三例1：與或式注意括號注意括號第二十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三例2：與或式反號不動反號不動第二十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三1、真值表：將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應(yīng)地列出。設(shè)A、B、C為輸入變量，F(xiàn)為輸出變量。2.4

邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)請注意n個變量可有2n個組合，按二進制順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。真值表、函數(shù)式、卡諾圖、邏輯圖第二十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三2、邏輯函數(shù)式:把輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式，常用“與或”的形式。如：最小項:乘積項中包含所有輸入變量的原變量或反變量。邏輯相鄰:兩個最小項中只有一個變量以原、反狀態(tài)相區(qū)別。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第二十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三邏輯相鄰邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第二十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三3、邏輯圖：把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號和連線表示。&AB&CD1FF=AB+CD邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第二十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三2.4.2

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

一、邏輯函數(shù)的最小項及其性質(zhì)二、邏輯函數(shù)的最小項表達式第二十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三一、邏輯函數(shù)的最小項及其性質(zhì)

（1）最小項：如果一個函數(shù)的某個乘積項包含了函數(shù)的全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為該函數(shù)的一個標(biāo)準(zhǔn)積項，通常稱為最小項。

3個變量A、B、C可組成8個最小項：第二十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三

（2）最小項的表示方法：通常用符號mi來表示最小項。下標(biāo)i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進制數(shù)，則與這個二進制數(shù)相對應(yīng)的十進制數(shù)，就是這個最小項的下標(biāo)i。

3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：第二十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三（3）最小項的性質(zhì)：①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項的和必為1。ABCABC②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。第三十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三2、邏輯函數(shù)的最小項表達式

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達式，也稱為最小項表達式。第三十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三

如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm2＝ABC第三十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三

2.5

邏輯函數(shù)的公式化簡法2.5.1邏輯函數(shù)的最簡表達式1、最簡與或表達式

乘積項最少、并且每個乘積項中的變量也最少的與或表達式。最簡與或表達式第三十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三2.5邏輯函數(shù)的表達式

一個邏輯函數(shù)的表達式可以有與或表達式、或與表達式、與非-與非表達式、或非-或非表達式、與或非表達式5種表示形式。第三十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三2.5.2邏輯函數(shù)的公式化簡法1、并項法利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。運用摩根定律運用分配律運用分配律第三十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三2、吸收法如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。運用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的變量。

如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。第三十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三３、配項法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項配上其所能合并的項。第三十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三４、消去冗余項法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去。第三十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三數(shù)字電子技術(shù)2.6.1用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.6邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法第三十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三卡諾圖：將n個輸入變量的全部最小項用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項放在相鄰的幾何位置上。邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)AB0101ABC0001111001兩變量卡諾圖三變量卡諾圖第四十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元編號0010，對應(yīng)于最小項：ABCD=0100時函數(shù)取值函數(shù)取0、1均可，為任意狀態(tài)。只有一項不同邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第四十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三為了方便，有時用二進制對應(yīng)的十進制表示單元編號。ABC0001111001F(A,B,C)=Σ(1,2,4,7)1,2,4,7單元取1,其它取0邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)ABCD0001111000011110第四十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三2.6.2邏輯函數(shù)的化簡——圖形化簡法卡諾圖法步驟:一、布陣（畫法規(guī)則）二、填項(用卡諾圖表示邏輯函數(shù))三、勾圈化簡(用卡諾圖化簡)三步曲第四十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三一、布陣（畫法規(guī)則）卡諾圖:是與真值表關(guān)系相對應(yīng)，按一定規(guī)則畫出來的方塊圖。n個變量:N=2n項

n=3:N=8

n=4:N=16最小項：構(gòu)成邏輯函數(shù)的基本單元。卡諾圖小方塊真值表第四十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三1.N=2n

格（n5）:

最小項2.循環(huán)碼編排循環(huán)鄰接上下封閉ABCD00011110000111

1000001111

0000

0001

0011

0010

0100

0101

0111

0110

1100

1101

1111

1110

1000

1001

1011

1010相鄰兩項只有一個變量取值不同最小項編號方式一：布陣第四十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三最小項編號方式二：變量取值0反變量取值1原變量ABCD00011110000111

10ABDC第四十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三ABCD00011110000111

10ABDC最小項編號方式三：按十進制數(shù)編號：

m0m1m3m2

m4m5m7m6

m8m9m11m10

m12m13m15m14高位低位m0m15第四十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三布陣:1.N=2n

格（n5）:

最小項2.循環(huán)碼編排最小項編號方式:

1)0000

11113)m0

m15例:四變量卡諾圖2)ABCDABCD第四十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三二、填項用卡諾圖表示邏輯函數(shù)填F=1項1.最小項直接填入；2.刷項（填公因子所包含的項）；3.按（m0,m15)

編號填入。按F=1與或式填項第四十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三例1:ABCD00011110000111

10ABDC1直接填入1公因子:有重復(fù)“1”者，只填一個“1”。第五十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三ABCD00011110000111

10ABDC1111公因子:BD有重復(fù)“1”者，只填一個“1”。刷項：填公因子包含的項例1:第五十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三ABCD00011110000111

10ABDC1111

11111111有重復(fù)“1”者，只填一個“1”。刷項：填公因子包含的項例1:第五十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三ABCD00011110000111

10ABDC11111111

11

11F=1的項全部填完以后,填項結(jié)束;不填者自動為“0”。例1:第五十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三三、勾圈化簡1.圈最少,圈內(nèi)“1”最多,但為2

n個(n≥0);2.2

n個“1”被圈消n個變量;3.所有“1”圈過，化簡結(jié)束。用卡諾圖化簡方法：可得最簡與或式第五十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三ABCD00011110000111

10ABDC11111111

11

11D保留公因子：消取值不同的變量：B保留公因子：合理重疊（“1”可以重復(fù)使用）。例1:第五十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三也可以取F=0的項化簡:ABCD00011110000111

1011111111

11

110000第五十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三BABCD00011110000111

10ACD

111111填項：第五十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三BABCD00011110000111

10ACD

111111111F=1的項全部填完以后,填項結(jié)束。第五十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三BABCD00011110000111

10ACD

111111111冗余項勾圈化簡第五十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三例：用公式化簡法得到下式，是否為最簡式?ABC01000111101111BC填項第六十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三ABC0100011110111111BCF=1全部填完,填項結(jié)束第六十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三ABC0100011110111111勾圈化簡圈最少,圈內(nèi)“1”最多,但為2

n個第六十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三ABC0100011110

111111

圈最少,圈內(nèi)“1”最多,但為2

n個第六十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三ABC0100011110111111ABC0100011110111111說明：化簡結(jié)果不唯一。第六十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期三BABCD0001111