高二排列組合常見(jiàn)題型素質(zhì)能力提高競(jìng)賽綜合測(cè)試

高二排列組合常見(jiàn)題型素質(zhì)能力提高競(jìng)賽綜合測(cè)試第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.給圖中A,B,C,D,E,廠(chǎng)六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（）種不同的染色方案.A.96 B.144 C.240 D.360【答案】A【分析】通過(guò)分析題目給出的圖形，可知要完成給圖中A、B、C、D、E、產(chǎn)六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，最少需要3種顏色，即"同色，BO同色，CE同色，由排列知識(shí)可得該類(lèi)染色方法的種數(shù)；也可以4種顏色全部用上，即AT,BD,CE三組中有一組不同色，同樣利用排列組合知識(shí)求解該種染法的方法種數(shù)，最后利用分類(lèi)加法求和.【詳解】解：要完成給圖中A、B、。、D、E、尸六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，染色方法可分兩類(lèi)，第一類(lèi)是僅用三種顏色染色，即"同色，5。同色，CE同色，則從四種顏色中取三種顏色有優(yōu)=4種取法，三種顏色染三個(gè)區(qū)域有看=6種染法，共4x6=24種染法；第二類(lèi)是用四種顏色染色，即AF,BD,CE中有一組不同色，則有3種方案（A/不同色或BD不同色或C￡不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有看=12種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有3x12x2=72種染法.???由分類(lèi)加法原理得總的染色種數(shù)為24+72=96種.故選：A.2.甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（）A.257 B.336 C.343 D.384【答案】CC.A：x(aJ D.C；x4+C：x㈤2【答案】ACD【分析】選項(xiàng)ACD均可以對(duì)其每一步的方法數(shù)進(jìn)行合理解釋?zhuān)x項(xiàng)B方法總數(shù)錯(cuò)誤，不能對(duì)其每一步的方法數(shù)進(jìn)行合理解釋.【詳解】選項(xiàng)A：表示先著色中間兩格下面一格.從4種顏色取3種，有國(guó)個(gè)方法，上面一格，從與中間兩格不同的顏色中取出一個(gè)，有4個(gè)方法，故共有=48個(gè)不同方法.正確；選項(xiàng)B："x置=144,方法總數(shù)不對(duì).錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：表示先對(duì)中間兩格涂顏色.從4種顏色取2種，共有A：個(gè)方法，上下兩格都是從與中間兩格不同的顏色中取出一個(gè)，有8A：(aJ=48個(gè)不同方法.正確；選項(xiàng)D：表示兩種情況：①上下兩格顏色相同，中間兩格從3個(gè)剩下的顏色取2種，共有C；?用個(gè)不同方法；②上下兩格顏色不同，中間兩格從2個(gè)剩下的顏色取2種，共有C；看&個(gè)不同方法.綜合①②可知方法總數(shù)為：C；A；+C：(A；『=48個(gè)不同方法.正確.故選：ACD第II卷(非選擇題)三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分..由LL2,2,3,3,4,4可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.【答案】204【解析】根據(jù)所選的數(shù)字的情況將此問(wèn)題可以分為以下三種情況：。選取的4個(gè)數(shù)字是1,234；〃)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取兩組；位)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一組,再?gòu)氖Ｏ碌?組中的不同的三個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字，利用排列與組合的計(jì)算公式及其乘法原理即可得出.【詳解】詳解：。選取的四個(gè)數(shù)字是1,234,則可組成個(gè)不同的四位數(shù)；從四組(LD,(2,2),(3,3),(4,4)中任取兩組有種取法，如假設(shè)取的是1,1,2,2四個(gè)數(shù):得到以下6個(gè)四位數(shù)：1122,2211,1212,2121,1221,2112.所以此時(shí)共有6C：個(gè)不同的四位數(shù)；位)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一組有C：種取法，再?gòu)氖Ｏ碌娜M中的不同的三個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)字有C；種取法，把這兩個(gè)不同的數(shù)字安排到四個(gè)數(shù)位上共有&種方法，而剩下的兩個(gè)相同數(shù)字只有一種方法，由乘法原理可得此時(shí)共有C；?2?A：?c；個(gè)不同的四位數(shù)；綜上可知，用8個(gè)數(shù)字1,1,22334,4可以組成不同的四位數(shù)個(gè)數(shù)是+6?C：+C：C?&?C；=204,故答案為：204【點(diǎn)睛】本題考查了排列與組合的計(jì)算公式及其乘法原理、分類(lèi)討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于難題..某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會(huì)”、“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”五個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這6個(gè)人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為.【答案】5040【分析】參加“演講團(tuán)”人數(shù)分為有1人或無(wú)人的情況，而每種情況又各自包含2種情況，分別求出對(duì)應(yīng)的方法數(shù)，結(jié)合計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】若有1人參加“演講團(tuán)”，則從6人選1人參加該社團(tuán)，其余5人去剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有2種情況：LLL2和122,故1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為端[節(jié)看+當(dāng)G]=3600；若無(wú)人參加“演講團(tuán)”，則6人參加剩下4個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排安排有2種情況：1,122和222,故無(wú)人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為第￡a：+C；C；C：=1440,故滿(mǎn)足條件的方法數(shù)為3600+144()=504(),故答案為：5040.從A,B,C,D,a,b,c,d中任選5個(gè)字母排成一排，要求按字母先后順序排列(即按4*個(gè)字。?，。⑷先后順序，但大小寫(xiě)可以交換位置，如或a都可以)，這樣的情況有種.(用數(shù)字作答)【答案】160【分析】先根據(jù)A、B、C、D選取的個(gè)數(shù)分為四類(lèi)：第一類(lèi):A、B、C、D中取四個(gè)，a、b、c、d中取一個(gè)；第二類(lèi):A、B、C、D中取三個(gè)，a、b、c、d中取二個(gè)；第三類(lèi):A、B、C、D中取二個(gè),a、b、c、d中取三個(gè)；第四類(lèi):A、B、C、D中取一個(gè),a、b、c、d中取四個(gè).【詳解】分為四類(lèi)情況：第一類(lèi)：在A、B、C、D中取四個(gè)，在a、b、c、d中取一個(gè)，共有2C：C；=8；第二類(lèi):在第二類(lèi):在A、B、C、D中取三個(gè)，在a、b、c、d中取兩個(gè),分兩種情況：形如AaBbC（大小寫(xiě)有兩個(gè)字母相同）共有形如AaBCd（大小寫(xiě)只有一個(gè)字母相同）共有；第三類(lèi)：在A、B、C、D中取兩個(gè)，在a、b、c、d中取三個(gè)，取法同第二類(lèi)情況;第四類(lèi)：在A、B、C、D中取一個(gè)，在a、b、c、d中取四個(gè)，取法同第一類(lèi)情況;所以共有：2（8+4C：C；+2C：C；）=160【點(diǎn)睛】本題考查了分步計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，其中有序排列給題目增加了分類(lèi)的難度，在解題時(shí)需要耐心細(xì)致，認(rèn)真思考分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).【詳解】分析：結(jié)合圖形進(jìn)行分類(lèi)，利用排列組合的性質(zhì)求解每類(lèi)中矩形的個(gè)數(shù)，然后利用加法原理即可求得圖中矩形的個(gè)數(shù).詳解：如圖所示，由排列組合知識(shí)可知，在矩形A5CD中，含有矩形的個(gè)數(shù)為C：xCj在矩形BCG/中，含有矩形的個(gè)數(shù)為，除去上面考慮過(guò)的情況，在矩形皿/￡中，含有矩形的個(gè)數(shù)為C；,在矩形APG/中，含有矩形的個(gè)數(shù)為C：,綜上可得：圖中矩形的個(gè)數(shù)為：C：xC：+C；xC；+C；+G=45.DHBDHB點(diǎn)睛：（1）解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿(mǎn)足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).⑵不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類(lèi)型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類(lèi)型中，不同分組方法的求法.四、解答題17.已知〃eN*,對(duì)于有限集丁={123,…/},令團(tuán)表示集合T中元素的個(gè)數(shù).例如：當(dāng)〃=3時(shí)，T={1,2,3),T\=3.(1)當(dāng)〃=3時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出集合丁的子集的個(gè)數(shù)；⑵當(dāng)〃=5時(shí)，A,3都是集合丁的子集(A,5可以相同)，并且B\-\Ai)B\.求滿(mǎn)足條件的有序集合對(duì)(A3)的個(gè)數(shù)；⑶假設(shè)存在集合7、T具有以下性質(zhì)：將1,1,2,2, \T\,|T|.這26個(gè)整數(shù)按某種次序排成一列，使得在這個(gè)序列中，對(duì)于任意攵￡7，左與攵之間恰好排列上個(gè)整數(shù).證明：|中+|刀是4的倍數(shù).【答案】⑴8(2)454(3)證明見(jiàn)詳解【分析】(1)72元集合的直接個(gè)數(shù)為2〃可得；(2)由已知結(jié)合|A即=網(wǎng)+已|—|A』可得|AB|=|A|,或|AB\=\B\,然后可得集合的包含關(guān)系可解;(3)根據(jù)每?jī)蓚€(gè)相同整數(shù)之間的整數(shù)個(gè)數(shù)之和與總的數(shù)字個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可證.當(dāng)〃=3時(shí)，集合T={12集的子集個(gè)數(shù)為23=8易知|Al理=同+忸|—B\9又⑷忸|=|AB\-\A\JB\9所以例=|AB|(|A|+|B|-|AB|),即|AB|2-(|A|+|B|)|AB|-|A||B|=O,得|AB\=\A\9或|A「M=|4所以Au5或5uA1)若Au3,則滿(mǎn)足條件的集合對(duì)共有C1x25+C"x24+Cjx23+C5 x2°=243,2)若3uA,同理，滿(mǎn)足條件的集合對(duì)共有2433)當(dāng)A=8時(shí)，滿(mǎn)足條件的集合對(duì)共有25=32所以，滿(mǎn)足條件的集合對(duì)共243+243-32=454個(gè).記閉=〃，則1,1,2,2,??，圖，國(guó)共2〃個(gè)正整數(shù),將這2〃個(gè)正整數(shù)按照要求排列時(shí)、需在1和1中間放入1個(gè)數(shù)，在2和2中間放入2個(gè)數(shù)，.…在〃和〃中間放入〃個(gè)數(shù)，共放入了空W個(gè)數(shù)，由于排列完成后共有2〃個(gè)數(shù)，且1,1,2,2,圖剛好放完，所以放入數(shù)字個(gè)數(shù)**必為偶數(shù)，即當(dāng)辿=2&?wZ,所以〃2+鹿=4攵，/Z,所以|呼+|乃是4的倍數(shù).(1)把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？(2)把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？(3)把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？(4)把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？【答案】(1)2；(2)10；(3)65；(4)1560.【分析】(1)根據(jù)條件每個(gè)箱子先放一個(gè)，確定余下兩個(gè)小球的放法即為答案；(2)將6個(gè)相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得；(3)把6個(gè)不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1兩種方案分成4組，求出所有分組方法數(shù)即可；(4)把6個(gè)不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1兩種方案分成4組，再將每一種分法放入4個(gè)不同箱子即可得解.【詳解】(1)把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子至少放1個(gè)小球，每個(gè)箱子先放入1個(gè)小球，還剩下2個(gè)小球，則余下2個(gè)小球放在1個(gè)箱子中，或分開(kāi)放在2個(gè)箱子中，所以共有2種放法；6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子至少放1個(gè)小球，將6個(gè)相同的小球排成一列，在形成的中間5個(gè)空隙中插入3塊隔板，所以不同的放法種數(shù)為C：=10；6個(gè)不同的小球放入4個(gè)相同的箱子，每個(gè)箱子至少放1個(gè)小球，先把6個(gè)不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1兩種方案分成4組，每一種分法的4組小球分別放入4個(gè)箱子滿(mǎn)足要求，一種分組方法即為一種放法，C2c2cde1所以不同的放法種數(shù)為+=65；6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子至少放1個(gè)小球，先把6個(gè)不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1兩種方案分成4組，每一種分法的4組小球全排列，得到的每一個(gè)排列的4組小球分別放入4個(gè)箱子滿(mǎn)足要求，所以不同的放法種數(shù)為(C《：C+C：)?A：=1560.A;A;19.江夏一中高二年級(jí)計(jì)劃假期開(kāi)展歷史類(lèi)班級(jí)研學(xué)活動(dòng)，共有6個(gè)名額，分配到歷史類(lèi)5個(gè)班級(jí)(每個(gè)班至少。個(gè)名額，所有名額全部分完).(1)共有多少種分配方案？6名學(xué)生確定后，分成A、B、C、。四個(gè)小組，每小組至少一人，共有多少種方法？6名學(xué)生來(lái)到武漢火車(chē)站.火車(chē)站共設(shè)有3個(gè)“安檢”入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)旅客，求6人進(jìn)站的不同方案種數(shù).【答案】(1)210；(2)1560；(3)729.【解析】(1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不定方程%+%+尤3+%+/=6的非負(fù)整數(shù)解問(wèn)題，再利用隔板原理進(jìn)行求解；4、B、C、。四個(gè)小組即可；(3)每名學(xué)生有3種進(jìn)站方法，分步乘法計(jì)數(shù)原理即得6人進(jìn)站的不同方案種數(shù).【詳解】(1)由題意得：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為不定方程石+犬2+工3+尤4+%5=6的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，???方程又等價(jià)于不定方程%+/ +Z+/=11的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，利用隔板原理得：方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為＜4=210,，共有210種分配方案.(2))先把6名學(xué)生按人數(shù)分成沒(méi)有區(qū)別的4組，有2類(lèi)：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人,再把每一類(lèi)中的人數(shù)分到A、B、C、。四個(gè)小組.第一種分法：1人，1人，1人，3人，有C：A：=480種方法；r2r2第二種分法：1人，1人，2人，2人，有十乂+xA：=1080種方法.共有480+1080=1560種方法.（3）每名學(xué)生有3種進(jìn)站方法，分步乘法計(jì)數(shù)原理得6人進(jìn)站有36=729種不同的方案.【點(diǎn)睛】本題考查隔板原理的應(yīng)用，考查平均分組、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，考查學(xué)生的邏輯推理能力和計(jì)算能力.20.5名男生4名女生站成一排，求滿(mǎn)足下列條件的排法：（1）女生都不相鄰有多少種排法？（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考慮位置的前后順序），有多少種排法？（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？【答案】（1）43200（2）60480（3）287280【詳解】試題分析：（1）不相鄰排法，可使用插空法，先將男生排好，再將男生排入女生的空檔中；（2）可以先將所有學(xué)生任意全排列，再將男生三人的多余排法除去；（3）分類(lèi)，先考慮甲在末位；甲在首位，乙在末位；甲不在首位，乙在末位；甲乙都在首位與末位的.試題解析：解：（1）任何2名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先排男生再讓女生插到男生的空中，共有64=43200（種）不同排法.（2）9人的所有排列方法有4種，其中甲、乙、丙的排序有用種，又對(duì)應(yīng)甲、乙、丙只有一種排序，A9所以甲、乙、丙排序一定的排法有片=6048。（種）.4（3）法一：甲不在首位，按甲的排法分類(lèi)，若甲在末位，則有履種排法，若甲不在末位，則甲有4種排法，乙有4種排法，其余有種排法，綜上共有（履+A；A；用）=287280（種）排法.（或者）工-2履+=287280（種）（或者）用-=287280（種）點(diǎn)睛：在處理排列問(wèn)題時(shí)，要以?xún)蓚€(gè)原理為基礎(chǔ)，確定好是分類(lèi)還是分步，再用排列數(shù)表示每類(lèi)或每步的個(gè)數(shù)，遇到特殊元素或特殊位置可用以下常見(jiàn)思路解決.一般情況下，會(huì)從受到限制的特殊元素開(kāi)始考慮，有時(shí)也從特殊的位置開(kāi)始討論，對(duì)于相鄰問(wèn)題，常用“捆綁法“；對(duì)于不相鄰問(wèn)題，常用“插空法”（特殊元素后考慮），對(duì)于“在“與“不在”的問(wèn)題，常常使用“直接法“或“排除法”（特殊元素先考慮）.21.把1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們由小大到的順序排成一個(gè)數(shù)列.（I）求43251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)；（II）求這個(gè)數(shù)列的第96項(xiàng)；(Ill)求這個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)和.【答案】(1)第88項(xiàng).(2)45321.(3)3999960.【詳解】試題分析：(1)可從反面出發(fā)：大于43251的數(shù)可分為以下三類(lèi)：以5開(kāi)頭，以45開(kāi)頭，以435開(kāi)頭，最后用反減即得，(2)比第96項(xiàng)所表示的五位數(shù)大的五位數(shù)有耳-96=24個(gè)，而以5開(kāi)頭的有24(個(gè))，所以第96項(xiàng)為45321(3)每位數(shù)字之和為1+2+3+4+5,共有閣=24(個(gè))，所以所有項(xiàng)和為(1+2+3+4+5)x24x(1+10+100+1000+10000)試題解析：(I)大于43251的數(shù)可分為以下三類(lèi)：第一類(lèi)：以5開(kāi)頭的有8=24(個(gè))，第二類(lèi)：以45開(kāi)頭的有￡=6(個(gè))，第三類(lèi)：以435開(kāi)頭的有用=2(個(gè))，故不大于43251的五位數(shù)有8-(24+6+2)=88(個(gè))，即43251是第88項(xiàng).(II)數(shù)列共有120項(xiàng)，96項(xiàng)之后還有120-96=24項(xiàng).即比第96項(xiàng)所表示的五位數(shù)大的五位數(shù)有24個(gè)，???小于5開(kāi)頭的五位數(shù)中最大的一個(gè)就是該數(shù)列的第96項(xiàng)，即為45321.(III)???123,4,5各在萬(wàn)位上時(shí)都有24個(gè)五位數(shù)，，萬(wàn)位上數(shù)字的和為(1+2+3+4+5N24,同理1,2,3,4,5在千位、百位、十位、個(gè)位上也有24個(gè)五位數(shù)，.??這個(gè)數(shù)列的所有項(xiàng)和為(1+2+3+4+5)x24x(1+10+100+1000+10000)=15x24x11111=3999960.22.在數(shù)字1,2,???，〃(論2)的任意一個(gè)排列A：〃/,〃2,,。歷中，如果對(duì)于八六N*,有3＞勾,那么就稱(chēng)(4，勾)為一個(gè)逆序?qū)?記排列A中逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)為S(A).如刀=4時(shí),在排列B：3,2,4,1中,逆序?qū)τ?3,2),(3,1),(2,1),(4,1),則S(B)=4.(1)設(shè)排列C：3,5,6,4,1,2,寫(xiě)出S(C)的值；(2)對(duì)于數(shù)字1,2,…，〃的一切排列A,求所有S(A)的算術(shù)平均值；(3)如果把排列A：0，。2,…，斯中兩個(gè)數(shù)字加勾g)交換位置，而其余數(shù)字的位置保持不變，那么就得到一個(gè)新的排列Albi,b2,??.,b〃,求證：S(A)+S(A1)為奇數(shù).【答案】(1)10(2)嗎D(3)證明見(jiàn)解析4【分析】(I)由逆序?qū)Φ亩x，列舉即可得到所求值為10；(2)考察排列D：山,ch,…，dn/，dn,運(yùn)用組合數(shù)可得排列D中數(shù)對(duì)(力山)共有C；=""二1個(gè),2即可得到所有s(A)的算術(shù)平均值；(3)討論⑴當(dāng)尸+1,即即勾相鄰時(shí)，(ii)當(dāng)并i+1,即山，切不相鄰時(shí),由新定義,運(yùn)用調(diào)整法,可得S(A)+S(A')為奇數(shù).【詳解】(1)逆序?qū)τ?3,1),(3,2),(5,4),(5,1),(5,2),(4,1),(4,2),(6,4),(6,1),(6,2)則S(C)=10；(2)考察排列D：di,ch,dn-b與排列Di：dn,dn/，…,ch,di,因?yàn)閿?shù)對(duì)(由，dj)與Qdj,di)中必有一個(gè)為逆序?qū)?其中1WV左〃)，且排列D中數(shù)對(duì)(由，dj)共有C：=巫二D個(gè)，所以S(D)+S(Dj=」一所以排列D與D］的逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為嗎1，4而對(duì)于數(shù)字1,2,〃的任意一個(gè)排列A：aj9。2,…，an,都可以構(gòu)造排列Ai：an-i,…，。2,an且這兩個(gè)排列的逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為w”，4所以所有S(A)的算術(shù)平均值為嗎(3)證明：(i)當(dāng)戶(hù)計(jì)1,即出,句相鄰時(shí)，不妨設(shè)山〈出十人則排列A為幻,。2,…,ai-bai+i9不出+2,an9此時(shí)排列A，與排列A：ab。2,…，相比,僅多了一個(gè)逆序?qū)Υ薸+/,ai),所以S(A1)=S(A)+1,所以S(A)+S(A>2S(A)+1為奇數(shù)，(ii)當(dāng)片i+1,即山,行不相鄰時(shí),假設(shè)出，包?之間有加個(gè)數(shù)字,記排列A：ai9〃2,…,ai,ki,依,km,aj，…,an,先將出向右移動(dòng)一個(gè)位置,得到排列Ai：ai,42,…，ai-b先先左2,…,km,aj,cm,由(i)知S(Ai)與S(A)的奇偶性不同,再將c"向右移動(dòng)一個(gè)位置，得到排列A2：ai,Q2,…，Qi-i,ki,攵2,ai,依，??.，km,aj,an,由(i)知S(A2)與S(Ai)的奇偶性不同，以此類(lèi)推，出共向右移動(dòng)機(jī)次，得到排列A加：ab。2,.?.，kb%2,??.，km,ai,aj，…,an,再將旬?向左移動(dòng)一個(gè)位置，得到排列Am+八ai942,??.，ai-bki，…,km,aj,ai9an,以此類(lèi)推,可共向左移動(dòng)機(jī)+1次，得到排列A2/n+/：an。2,??.,aj,ki，…,km,ai,an,即為排列A;由(i)可知僅有相鄰兩數(shù)的位置發(fā)生變化時(shí)，排列的逆序?qū)€(gè)數(shù)的奇偶性發(fā)生變化，而排列A經(jīng)過(guò)2m+l次的前后兩數(shù)交換位置，可以得到排列A1,所以排列A與排列6的逆序數(shù)的奇偶性不同，所以S(A)+S(A')為奇數(shù).綜上，得S(A)+S(A')為奇數(shù).【分析】共有三種情況，3人各站一個(gè)臺(tái)階，或有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人，或3人站一個(gè)臺(tái)階，然后根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理即得.【詳解】由題意知本題需要分組解共有三種情況：第一種情況是3人各站一個(gè)臺(tái)階，有A，種;第二種情況有一個(gè)臺(tái)階有2人，另一個(gè)臺(tái)階是1人，共有C；用種,第三種情況3人站一個(gè)臺(tái)階，有A；種所以根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是用+C；G+￡=343種.故選：C..現(xiàn)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物各一本，均分給3個(gè)人，其中數(shù)學(xué)和物理不分給同一個(gè)人,則不同的分配方法有()A.36 B.54 C.72 D.84【答案】C【分析】先計(jì)算將6本書(shū)平均分給三人，再計(jì)算數(shù)學(xué)物理作為一組分配給一個(gè)人的分法，利用間接法即可求解.①，將6本書(shū)分成3組，有鐘①，將6本書(shū)分成3組，有鐘G=15種分組方法，②，將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)三人，有6=6種情況，則將6本書(shū)平均分給三人，有15x6=90種分配方法;再計(jì)算其中數(shù)學(xué)和物理分給同一個(gè)人的情況，分2步分析:C2c2①，將除數(shù)學(xué)和物理之外的4本書(shū)，分成2組，有個(gè)=3種分組方法,4②，將數(shù)學(xué)和物理作為1組，和其他2組一起全排列，對(duì)應(yīng)三人，有6=6種情況，則數(shù)學(xué)和物理分給同一個(gè)人的分配方法有3x6=18種分派方法，則數(shù)學(xué)和物理不分給同一個(gè)人的分配方法有90-18=72種；故選：C.若從甲、乙2名女志愿者和6名男志愿者中選出正組長(zhǎng)1人，副組長(zhǎng)1人，普通組員2人到北京冬奧會(huì)花樣滑冰場(chǎng)館服務(wù)，且要求女志愿者甲不能做正組長(zhǎng)，女志愿者乙不能做普通組員，則不同的選法種數(shù)為()A.210B.390C.555D.660【答案】C【分析?】分為四種情況即可得出答案，第一種4人均從6名男志愿者中選取，第二種女志愿者甲被選中且乙沒(méi)有被選中，第三種女志愿者乙被選中且甲沒(méi)有被選中，第四種女志愿者甲、乙均被選中.【詳解】若4人均從6名男志愿者中選取，則不同的選法種數(shù)為C；C；C；=180；若女志愿者甲被選中且乙沒(méi)有被選中，則不同的選法種數(shù)為C：C；+C；C；C；=180；若女志愿者乙被選中且甲沒(méi)有被選中，則不同的選法種數(shù)為C；C；x2=120；若女志愿者甲、乙均被選中，則不同的選法種數(shù)為或+C：C；x2=75.所以滿(mǎn)足題意的不同選法種數(shù)為180+180+120+75=555.故選：C.5.一個(gè)國(guó)際象棋棋盤(pán)（由8x8個(gè)方格組成），其中有一個(gè)小方格因破損而被剪去（破損位置不確定）FL”形骨牌由三個(gè)相鄰的小方格組成，如圖所示.現(xiàn)要將這個(gè)破損的棋盤(pán)剪成數(shù)個(gè)形骨牌，則（）國(guó)際象根棋盤(pán)國(guó)際象根棋盤(pán)A.至多能剪成A.至多能剪成19塊形骨牌C.一定能剪成21塊形骨牌【答案】CB.至多能剪成20塊“L”形骨牌D.前三個(gè)答案都不對(duì)【分析】由如用的一個(gè)圖形能剪成2塊“L”形骨牌，在一個(gè)國(guó)際象棋棋盤(pán)（由8x8個(gè)方格組成），共包含有10個(gè)這樣的能剪成2塊形骨牌的圖形，且包含一個(gè)田字圖形，這個(gè)田字圖形能剪成1塊形骨牌,據(jù)此即可求出最多可以剪出多少個(gè)形骨牌.【詳解】由下圖的一個(gè)圖形能剪成2塊形骨牌，i在一個(gè)國(guó)際象棋棋盤(pán)（由8x8個(gè)方格組成），共包含有10個(gè)這樣能剪成2塊形骨牌的圖形，且包含一個(gè)田字圖形，這個(gè)田字圖形能剪成1塊形骨牌，故要將這個(gè)破損的棋盤(pán)剪成數(shù)個(gè)形骨牌，一定能剪成21塊形骨牌.故選：C..學(xué)校決定把12個(gè)參觀航天航空博物館的名額給二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四個(gè)班級(jí).要求每個(gè)班分得的名額不比班級(jí)序號(hào)少；即二（1）班至少1個(gè)名額，二⑵班至少2個(gè)名額，……，則分配方案有（）A.10種 B.6種 C.165種 D.495種【答案】A【詳解】根據(jù)題意，先在編號(hào)為2、3、4的3個(gè)班級(jí)中分別分配1、2、3個(gè)名額，編號(hào)為1的班級(jí)里不分配；再將剩下的6個(gè)名額分配4個(gè)班級(jí)里，每個(gè)班級(jí)里至少一個(gè)，分析可得，共。5?=1。種放法，即可得符合題目耍求的放法共1。種，故答案為A.現(xiàn)安排甲乙丙丁戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語(yǔ)文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，若丙當(dāng)物理科代表則丁必須當(dāng)化學(xué)科代表，則不同的選法共有多少種A.53 B.67 C.85 D.91【答案】B【詳解】丙當(dāng)物理課代表則丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，以丙進(jìn)行分類(lèi)第一類(lèi)，當(dāng)丙當(dāng)物理課代表時(shí)，丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，再根據(jù)甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，乙戊可以當(dāng)英語(yǔ)和語(yǔ)文中的任一課，有&=2種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能當(dāng)英語(yǔ)課代表，乙只能當(dāng)語(yǔ)文課代表，戊當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，有1種，共計(jì)2+1=3種，第二類(lèi)，當(dāng)丙不當(dāng)物理課代表時(shí)，分四類(lèi)①丙為語(yǔ)文課代表時(shí)，乙只能從英語(yǔ)、物理和U學(xué)中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種聞-6=18,②丙為數(shù)學(xué)課代表時(shí)，甲只能從英語(yǔ)、物理和化學(xué)課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有凡.8=18種，③丙為英語(yǔ)課代表時(shí)，繼續(xù)分類(lèi)，甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表時(shí)，其他三位同學(xué)任意當(dāng)有6=6種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能從物理和化學(xué)課中選一課，乙只能從語(yǔ)文和甲選完后的剩下的一課中選一課，丁和戊做剩下的兩課，有司?4?A；=8,共計(jì)8、=種④丙為化學(xué)課代表時(shí)，同③的選法一樣有14種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，不同的選法共有3+18+18+14+14=67故選氏【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題?有關(guān)排列組合的綜合問(wèn)題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問(wèn)題交叉應(yīng)用才能解決問(wèn)題，解答這類(lèi)問(wèn)題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過(guò)程中要首先分清”是分類(lèi)還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類(lèi)計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率..小林同學(xué)喜歡吃4種堅(jiān)果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每日?qǐng)?jiān)果”袋.每個(gè)袋子中至少裝1種堅(jiān)果，至多裝4種堅(jiān)果.小林同學(xué)希望五個(gè)袋子中所裝堅(jiān)果種類(lèi)各不相同，且每一種堅(jiān)果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為()A.20160 B.20220 C.20280 D.20340【答案】A【分析】設(shè)出核桃、腰果、杏仁、榛子為“，匕X,Z,分類(lèi)討論求出分堆情況，再進(jìn)行排列，求出最后答案.【詳解】依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為從匕X,Z,則每個(gè)字母出現(xiàn)2次或4次，分類(lèi)計(jì)算分堆可能：(1)/7,H；Y,Y；X,X；Z,Z.若是“8=4+1+1+1+10則其中的“4"必須是"KXZ,故1種可能；若是“8=3+2+1+1+1?,則考慮(”力0(2※)(X)(X),故有種可能；若是“8=1+1+2+2+2”,則考慮(Z)(X)(2※)若※)(※※》故有冠=12種可能;小計(jì)：1+12+12=25；(2)諸如“凡H,H,H；Y；X,X；乙，類(lèi)型若是“10=4+3+1+1+1”，則四個(gè)H無(wú)論怎么安排，都會(huì)出現(xiàn)某兩個(gè)袋僅放H,故。種可能；若是“10=4+2+2+1+1”，則“1+1”中有一個(gè)是〃“4+2+2”中各一個(gè)凡“2+2”中除了一個(gè)H外,另一個(gè)互異，故有C；=3種可能；若是“10=3+3+2+1+1”,則“1+1”中各有1個(gè)H,“3+3+2”中各一個(gè)H,可以考慮含※模式，5※※)(7/※※)(//※)(X)QH),故有C；A；=6種可能;若是“10=3+2+2+2+1”，則可用下表進(jìn)一步分類(lèi)，有l(wèi)+C；+C；C；=10種可能;YXZ以※H成※//※X※※H若是“10=2+2+2+2+2”，則四個(gè)〃至少有兩個(gè)出現(xiàn)搭配相同，故。種可能;小計(jì)：《*(。+3+6+10+0)=76；(3)諸如“h,h,h,h；y,y,y,y；x,x；z,z’類(lèi)型若是“12=4+4+2+1+1”，則“4+4”必然重復(fù)，故。種可能；若是“12=4+3+3+1+1”,則枚舉“3+3”的情況,發(fā)現(xiàn)僅QHYXZ)(HFZ)(HYX)(Z)若)可能；若是“12=4+3+2+2+1”，則考慮(HYXZ)("丫※)(派派)(派派)(※)或(”次Z)(XZX)(※※)(※※)(※只故有C；C；=4種可能；若是“12=3+3+3+2+1”，貝IJ有(HYX)(HYZ)(ZXH)(HY)(Y)或(HYX)(HYZ)(ZXY)(HY)(H)都成立，有2種可能；若是“12=3+3+2+2+2”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)(HYX)(HYZ)(HY)(月※)(丫※)，有2種可能.小計(jì)C：x9=54；諸如h,h,h；y,y,y,y；x,x,x,x；z,z’類(lèi)型若是“14=4+4+*+*+*”，則“4+4”必然重復(fù)，故。種可能；若是“14=4+3+3+3+1”,則“4+3+3+3”中至少有3個(gè)Z,故0種可能；若是“14=4+3+3+2+2"，貝『4+3+3”至少有2個(gè)Z,考慮(”KXZ)(HKX)(工※※)(※※)(※※)，其中有C；=3種可能，故此小類(lèi)有3種可能；若是“14=3+3+3+3+2”,則“3+3+3+3”中至少有3個(gè)Z,故0種可能；小計(jì)3C：=12；(5)h,h,h；r,y,y,y；x,x,x,x；z,z,z,z'只有"16=4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；綜上：共有25+76+54+12+1=168個(gè)分堆可能，故不同的方案數(shù)為1686=168x120=20160種.故選：A【點(diǎn)睛】比較復(fù)雜一些的排列組合問(wèn)題，要結(jié)合分類(lèi)加法原理和分步乘法原理進(jìn)行求解，特別是分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，要做到不重不漏，本題中，應(yīng)用的是把8/0,12』4,16分為5個(gè)數(shù)(從1至IJ4)的和的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，可以做到不重不漏.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得2分..下列命題中，正確的命題是()A.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)13這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1人的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為］OB.在三位數(shù)中，形如“而a 的數(shù)叫做“對(duì)稱(chēng)凹數(shù)”,如:212,434,…，則在所有三位數(shù)中共有37個(gè)對(duì)稱(chēng)凹數(shù)C.北京2022年冬奧會(huì)即將開(kāi)幕，北京某大學(xué)5名同學(xué)報(bào)名到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有150種D.用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且比1000大的四位奇數(shù)共有36個(gè)【答案】ACD【分析】設(shè)該學(xué)校的學(xué)生數(shù)為加，得出該校學(xué)生有0.4加人近視，有0.2加人學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)有0.8機(jī)人學(xué)生每天玩手機(jī)不超過(guò)1人，每天玩手機(jī)超過(guò)的近視的學(xué)生人數(shù)為。1加，可得每天玩手機(jī)不超過(guò)1/7的近視的學(xué)生為03%,從而可判斷A；利用列舉法可判斷BD；5名同學(xué)分三組有14,3和2,1,2兩種分法再計(jì)算每種情況的安排分法可判斷C.【詳解】對(duì)于A,假設(shè)該學(xué)校的學(xué)生數(shù)為加，因?yàn)樵撔W(xué)生大約40%的人近視，所以該校學(xué)生大約有mxO.4=0.4m人近視，因?yàn)樵撔４蠹s有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1口所以該校大約有3<。2=0.為人學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1h,所以該校有6-。2〃2=0.86人學(xué)生每天玩手機(jī)不超過(guò)1h,因?yàn)槊刻焱媸謾C(jī)超過(guò)1h的近視率約為50%,所以該校每天玩手機(jī)超過(guò)l/i的近視的學(xué)生人數(shù)為。2g<0.5=01%所以該校每天玩手機(jī)不超過(guò)"的近視的學(xué)生為。4m-0.1加=0.3加，所以從每天玩手機(jī)不超過(guò)1%的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為粵=］故正確；0.8帆8對(duì)于B,當(dāng)人=0時(shí)，。=1,2,3,4,5,6,7,8,9,共有9個(gè)“對(duì)稱(chēng)凹數(shù)”，當(dāng)人=1時(shí)，4=2,345,6,7,8,9,共有8個(gè)“對(duì)稱(chēng)凹數(shù)”，當(dāng)〃=2時(shí)，。=3,4,5,6,7,8,9,共有7個(gè)“對(duì)稱(chēng)凹數(shù)1當(dāng)人=30寸，。=4,5,6,7,8,9,共有6個(gè)“對(duì)稱(chēng)凹數(shù)”，當(dāng)b=4時(shí),。=5,6,7,8,9,共有5個(gè)“對(duì)稱(chēng)凹數(shù)”,當(dāng)人=5時(shí)，。=6,7,8,9,共有4個(gè)“對(duì)稱(chēng)凹數(shù)”,當(dāng)〃=6時(shí)，々=7,8,9,共有3個(gè)“對(duì)稱(chēng)凹數(shù)”,當(dāng)匕=7時(shí)，〃=8,9,共有2個(gè)“對(duì)稱(chēng)凹數(shù)”,當(dāng)6=8時(shí):4=9,共有1個(gè)“對(duì)稱(chēng)凹數(shù)”，則在所有三位數(shù)中共有9+8+7+6+4+5+3