有理系數(shù)多項(xiàng)式

有理系數(shù)多項(xiàng)式第一頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三二、本原多項(xiàng)式1.定義設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0

是一有理系數(shù)多項(xiàng)式.選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)c

乘f(x)，總可以使c

f(x)是一整系數(shù)多項(xiàng)式.如果c

f(x)的各項(xiàng)系數(shù)有公因子，就可以提出來(lái)，得到第二頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三c

f(x)=d

g(x)，也就是其中g(shù)(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且各項(xiàng)系數(shù)沒(méi)有異于1的公因子.例如第三頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三定義10

如果一個(gè)非零的整系數(shù)多項(xiàng)式g(x)=bnxn+bn-1xn-1+…+b0

的系數(shù)bn,bn-1,…,b0

沒(méi)有異于1的公因子，也就是說(shuō)，它們是互素的，它就稱為一個(gè)本原多項(xiàng)式.上面的分析表明，任何一個(gè)非零的有理系數(shù)多項(xiàng)式f(x)都可以表示成一個(gè)有理數(shù)r

與一個(gè)本原多項(xiàng)式g(x)的乘積，即第四頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三f(x)=r

g(x).可以證明，這種表示法除了差一個(gè)正負(fù)號(hào)是唯一的.亦即，如果f(x)=r

g(x)=r1

g1(x),其中g(shù)(x),g1(x)都是本原多項(xiàng)式，r=

r1,g(x)=

g1(x).因?yàn)閒(x)與g(x)只差一個(gè)常數(shù)倍，所以f(x)的因式分解問(wèn)題，可以歸結(jié)為本原多項(xiàng)式g(x)的因那么必有第五頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三式分解問(wèn)題.下面我們進(jìn)一步指出，一個(gè)本原多項(xiàng)式能否分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘乘積的問(wèn)題是一致的.積與它能否分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的作為準(zhǔn)備，我們先證2.性質(zhì)定理10(高斯(Gauss)引理)

兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式.第六頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三證明設(shè)g(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b0

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,是兩個(gè)本原多項(xiàng)式，h(x)=f(x)g(x)=dn+mxn+m+dn+m-1xn+m-1+…+d0

是它們的乘積.我們用反證法.如果h(x)不是本原的，也就是說(shuō)h(x)的系數(shù)dn+m,dn+m-1

,…,d0

有而第七頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三一異于1的公因子，那么就有一個(gè)素?cái)?shù)p

能整除h(x)的每一個(gè)系數(shù).因?yàn)閒(x)是本原的，所以p

不能同時(shí)整除f(x)的每一個(gè)系數(shù).令ai

是第一個(gè)不能被p

整除的系數(shù)，即p|a0,…,p|ai-1,p|ai.同樣地，g(x)也是本原的，令bj是第一個(gè)不能被p

整除的系數(shù)，即p|b0,…,p|bj-1,p|bj.第八頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三我們來(lái)看h(x)的系數(shù)di+j,由乘積的定義di+j=aibj+ai+1bj-1+ai+2bj-2+...+ai-1bj+1+ai-2bj+2+….由上面的假設(shè)，p

整除等式左端的di+j

，p

整除右端aibj

以外的每一項(xiàng)，但是p

不能整除aibj

.這是不可能的.這就證明了，h(x)一定也是本原多項(xiàng)式.證畢第九頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三三、整系數(shù)多項(xiàng)式的分解定理定理11

如果一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積,那么它一定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.證明設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)有分解式f(x)=g(x)h(x)，其中g(shù)(x),h(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，且(g(x))<(f(x))，(h(x))<(f(x)).第十頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三令f(x)=af1(x)，g(x)=rg1(x)，h(x)=sh1(x)，這里f1(x)，g1(x)，h1(x)都是本原多項(xiàng)式，a是整數(shù)，r,s

是有理數(shù).于是af1(x)=rsg1(x)h1(x).由g1(x)h1(x)是本原多項(xiàng)式，從而rs=a.這就是說(shuō)，rs是一整數(shù).因此，我們有第十一頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三f(x)=(rsg1(x))h1(x).這里rsg1(x)與h1(x)都是整系數(shù)多項(xiàng)式，且次數(shù)都低于f(x)的次數(shù).證畢由定理的證明容易得出推論

設(shè)f

(x)，g

(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且g

(x)是本原的.如果

f

(x)=g

(x)h

(x)，其中h

(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，那么

h

(x)一定是整系數(shù)的.第十二頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三四、整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法定理12

設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而是它的一個(gè)有理根，其中r,s

互素，那么必有s|an,r|a0.特別地，如果

f(x)的首項(xiàng)系數(shù)an=1，那么f(x)的有理根都是整數(shù)，而且是a0的因子.第十三頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三證明因?yàn)槭莊(x)

的一個(gè)有理根.因此在有理數(shù)域上從而(sx-r)|f(x).因?yàn)?/p>

r,s

互素，所以sx-r是一個(gè)本原多項(xiàng)式.根據(jù)上述第十四頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三f(x)=(sx-r)(bn-1xn-1+…+b0),式中bn-1,…,b0都是整數(shù).比較兩邊系數(shù)，即得an

=sbn-1,a0=-rb0.因此s|an,r|a0.證畢第十五頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三五、舉例例1

求方程2x4-x3+2x-3=0的有理根.解這個(gè)方程的有理根只可能是用剩余除法可以得出，除去1以外全不是它的根，因之這個(gè)方程的有理根只有x=1.第十六頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三例2

證明f(x)=x3-5x+1在有理數(shù)域上不可約.證明如果f(x)可約，那么它至少有一個(gè)一次因子，也就是有一個(gè)有理根.但是f(x)的有理根只可能是1.直接驗(yàn)算可知1全不是根，因而f(x)在有理數(shù)域上不可約.第十七頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三六、整系數(shù)多項(xiàng)式不可約的條件定理13(艾森斯坦(Eisenstein)判別法)

設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式.如果有一個(gè)素?cái)?shù)p,使得1.

p

|

an;2.

p

|

an-1,an-2,…,a0;3.

p2

|

a0;那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.第十八頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三證明如果f(x)在有理數(shù)域上可約，那么由f(x)可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積：f(x)=(blxl+bl-1xl-1+…+b0)(cmxm+cm-1xm-1+…+c0)(l,m<n,l+m=n).因此an=blcm,a0=b0c0.因?yàn)閜|a0,所以p能整除b0或c0.但p2|a0,第十九頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三所以p

不能同時(shí)整除b0及c0.因此不妨假設(shè)p|b0

但p|c0.另一方面，因?yàn)閜|an,所以p|bl.假設(shè)b0,b1,…,bl

中第一個(gè)不能被p

整除的是bk.比較f(x)中xk

的系數(shù)，得等式ak=bkc0+bk-1c1+…+b0ck.式中ak,