初三復(fù)習(xí)專題幾何探究題復(fù)習(xí)夏勝利

幾何探究題思考及備考建議

光谷二初·夏勝利

目前我們的教學(xué)現(xiàn)狀與學(xué)生學(xué)習(xí)的困難.教師：教得累；不講白不講，講了等于白講.

“對(duì)牛彈琴”學(xué)生：學(xué)得累；“對(duì)，牛彈琴”.我為什么選擇這個(gè)話題幾何探究CONTENTS01重視分類討論ADDYOURTITLEHERE02加強(qiáng)幾何作圖ADDYOURTITLEHERE03注重解題規(guī)律ADDYOURTITLEHERE04專題復(fù)習(xí)建議ADDYOURTITLEHERE

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縱觀近幾年武漢市中考數(shù)學(xué)試卷，幾何探究題不再是定格在“條件—演繹—結(jié)論”這樣封閉的固定模式中，而是必須利用題設(shè)大膽猜想、分析、比較、歸納、推理，或由條件去推導(dǎo)不明確的結(jié)論，或由結(jié)論去探索未給予的條件，或探究結(jié)果存在的各種可能性.這其中，探索圖形的運(yùn)動(dòng)、變化規(guī)律更是中考的熱點(diǎn)題型.備考復(fù)習(xí)中，有些教師選擇從探究的類型上對(duì)幾何題進(jìn)行歸類，交給學(xué)生各種各樣的解題方法來(lái)處理此類習(xí)題.我個(gè)人認(rèn)為：快速準(zhǔn)確的解決此類問(wèn)題，數(shù)學(xué)思想的合理應(yīng)用起著關(guān)鍵性的作用，一道幾何探究題的順利解答也往往涉及到幾種數(shù)學(xué)思想方法的交織應(yīng)用.因此,我結(jié)合了近五年的武漢市調(diào)考、中考試題談一談自己對(duì)幾何探究題的認(rèn)識(shí)，并提出幾點(diǎn)復(fù)習(xí)建議，僅供各位同仁參考.

例題1.（2016·武漢中考10）平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，2)、B(4，0).若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的C的個(gè)數(shù)是（）A.5B.6C.7D.8武漢市中考、調(diào)考試題帶給我的啟示:【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)【答案】A【解析】構(gòu)造等腰三角形，分別以A，B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作圓；作AB的中垂線.如圖，一共有5個(gè)C點(diǎn)，注意，與B點(diǎn)重合及與AB共線的點(diǎn)要排除.

分類討論思想是數(shù)學(xué)中最重要的思想方法之一，數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題由于題設(shè)交代籠統(tǒng)，需要進(jìn)行具體的討論，另外由于題意復(fù)雜，包含情況較多也需要分門別類解答.分類是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)或差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的方法，其目的是將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化.分類的標(biāo)準(zhǔn)必須周全，做到不重不漏；分類的原則是：（1）分類中的每一部分必須是獨(dú)立的；（2）一次分類必須是一個(gè)確定標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行.一.在常規(guī)教學(xué)中重視“分類討論思想”的數(shù)學(xué)滲透

例題2.（2017·武漢中考10）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為（）A.4B.5C.6D.7【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)【分析】①以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，△BCD就是等腰三角形；②以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，△ACE就是等腰三角形；③以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)F，△BCF就是等腰三角形；④作AC的垂直平分線交AB于H，則△ACH是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分線交AC于G，則△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI是等腰三角形；⑦以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)K，則△BCK是等腰三角形.【解答】如圖：圖6圖7故選D.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生往往感到困難重重的往往是幾何題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞往往就取決于幾何成績(jī)的好壞.自從進(jìn)入八年級(jí)，教師教的很累，學(xué)生學(xué)得也很辛苦.一節(jié)課下來(lái)，教師可能感覺到教學(xué)很被動(dòng)很低效，其原因是什么呢？原因肯定是多方面的，就我認(rèn)為：幾何作圖教學(xué)的不到位是造成這種尷尬局面的主要原因之一.二.

在常規(guī)教學(xué)中加強(qiáng)“幾何作圖的訓(xùn)練，提高學(xué)生的思維能力”

例題3.（2012·武漢中考12）在面積為15的平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE垂直于直BC于點(diǎn)E，作AF垂直于直線CD于點(diǎn)F，若AB＝5，BC＝6，則CE＋CF的值為（）A.

B.C.D.或或【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】計(jì)算題；分類討論【分析】根據(jù)平行四邊形面積求出AE和AF，有兩種情況，求出BE、DF的值，又求出CE和CF的值，相加即可得出答案.【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，

①如圖：由平行四邊形面積公式：BC×AE＝CD×AF＝15，求出AE＝，AF＝3

在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2＋BE2，

求出AB＝5，AE＝代入求出BE＝，

同理DF=，即F在DC的延長(zhǎng)線上（如上圖），

∴CE＝，CF＝，

即CE＋CF＝，

②如圖：

∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，

同理DF＝，

由①知：CE＝，CF＝，

∴CE＋CF＝，故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題是將之前連續(xù)三年中考的四邊形結(jié)論題首次改為求平行四邊形中線段長(zhǎng)問(wèn)題；這個(gè)題型在2000年之前經(jīng)常以填空題形式出現(xiàn)；這道題放在選擇題中難度無(wú)疑下降了許多；相比多結(jié)論選擇題在難度上更是下降了很多；但是當(dāng)時(shí)得學(xué)生很難適應(yīng)這種變化，這種題目由于沒有圖形的限制通常是多解；從選項(xiàng)就可以知道題目有兩解；學(xué)生只需要畫圖，通過(guò)條件發(fā)現(xiàn)30°這個(gè)結(jié)論；再計(jì)算會(huì)簡(jiǎn)單得多；當(dāng)年有許多學(xué)生掉入陷阱因?yàn)椴荒軠?zhǔn)確畫圖，從而不易發(fā)現(xiàn)垂足是在延長(zhǎng)線；在緊張的考場(chǎng)上又忘記比較和5的大小；直接拿5－來(lái)表示線段長(zhǎng)，從而丟分.

例題4.（2012·武漢中考24）已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6.（1）如圖1，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取點(diǎn)N，使△AMN與△ABC相似，求線段MN的長(zhǎng)；（2）如圖2，是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10×10的正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形.①請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△A1B1C1與△ABC全等（畫出一個(gè)即可，不需證明）②試直接寫出所給的網(wǎng)格中與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫出其中一個(gè)（不需證明）【考點(diǎn)】作圖；相似變換【專題】作圖題【解答】（1）①△AMN∽△ABC，∴，∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，AB＝，∴AM＝，∵BC＝6，∴MN＝3；②△AMN∽△ACB，∴，∵BC＝6，AC＝，AM＝，∴MN＝1.5；（2）①如圖所示：②每條對(duì)角線處可作4個(gè)三角形與原三角形相似，那么共有8個(gè).【點(diǎn)評(píng)】主要考查相似作圖和全等作圖；注意相似作圖及解答有多種情況.本題是當(dāng)年數(shù)學(xué)試卷中的亮點(diǎn)同時(shí)也是丟分的重災(zāi)區(qū)；試題設(shè)計(jì)起點(diǎn)很低；但是坡度很大.第一問(wèn)2種情況都不難；第一是構(gòu)造平行相似；一種是構(gòu)造交叉相似（實(shí)質(zhì)是割線定理）第二問(wèn)是利用勾股進(jìn)行畫圖難度不大；難就難在畫出相似且面積最大的圖形；要使得面積最大，那么相似比也應(yīng)該最大；因此新三角形的最長(zhǎng)邊也應(yīng)該最大；由于10×10的正方形的最長(zhǎng)邊的對(duì)角線；且原三角形的最長(zhǎng)邊為；所以相似比為.所以余下邊為；；再用勾股定理即可得出圖形，利用對(duì)稱可以找到8個(gè)這樣的點(diǎn).

正確作出幾何圖形，是幾何證明中的重要環(huán)節(jié)，在學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)該給予足夠的重視與關(guān)注，必須使學(xué)生懂得，要學(xué)好幾何，就必須掌握幾何基本作圖方法，知道作圖的基本原理，注意作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性.1.傳統(tǒng)的東西在逐步丟失，教師、家長(zhǎng)包辦得太多.學(xué)生作圖現(xiàn)狀：能力欠缺，訓(xùn)練太少.1．重視學(xué)生自行作圖，提高思維能力

2.教學(xué)評(píng)價(jià)壓力大，教師課堂教學(xué)必須大容量、快節(jié)奏.因而出現(xiàn)了：提前在黑板上畫好圖，在評(píng)講試卷時(shí)提前在幾何畫板上準(zhǔn)備好現(xiàn)成的滿足條件的圖形，命題試卷題題配圖（沒有起到示范作用），被資料綁架（圖已經(jīng)畫好了）等等現(xiàn)象.而我們的學(xué)生在思考、在做作業(yè)時(shí)形成了思維定式：有圖是應(yīng)該的，沒有圖形那才是奇怪呢.殊不知，自己按照題意準(zhǔn)確的做出圖形，對(duì)理解題意、分析問(wèn)題大有幫助.有時(shí)由于作圖不好，給領(lǐng)會(huì)題意、尋找等量關(guān)系帶來(lái)不便，這也是形成幾何證明困難的一大原因.所以，在常規(guī)教學(xué)中把握好作圖關(guān)的確不容忽視.一線三等角三.在常規(guī)教學(xué)中注重解題規(guī)律小結(jié)，重視基本圖形的研究-----相似三角形判定的基本模型A字型

X字型

反A字型

反8字型母子型旋轉(zhuǎn)型雙垂直三垂直ADEBCABCDEA字型ABCEDMNX字型EGFEGFM練習(xí)、添平行線構(gòu)造相似三角形的基本模型--A型若G為BC中點(diǎn),EG交AB于點(diǎn)F,且EF:FG=2:3,試求AF:FB的值.圖形演變ADEBC圖形演變DABEC反A型A型ABCEDABCEDMNMN圖形演變

X字型（8字型）反8字型ABD

C(E)圖形演變ACDE母子型B反A字型圖形演變DCBAADCB雙垂直母子型ADCBFE三垂直--一線三等角圖形演變構(gòu)造相似圖形間接求已知相似圖形直接求相似基本圖形的運(yùn)用方程思想分類思想整體思想轉(zhuǎn)化思想歸納小結(jié)學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形.

例題5.（2017·武漢中考23）已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.（1）如圖1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：ED·EA＝EC·EB；（2）如圖2，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖3，另一組對(duì)邊AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接寫出AD的長(zhǎng)（用含n的式子表示）圖1圖2圖3【考點(diǎn)】相似形綜合題【分析】（1）只要證明△EDC∽△EBA（2）如圖2中，過(guò)C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G.想辦法求出EB，AG即可求出△ABE的面積；（3）如圖3中，作CH⊥AD于H，則CH＝4，DH等于3，作AG⊥DF于點(diǎn)G，設(shè)AD＝5a，則DG＝3a，AG＝4a，只要證明△AFG∽△CEH，可得，即，求出a即可解決問(wèn)題；【解答】（1）如圖1中，∵∠ADC＝90°，∠EDC+∠ADC=180°，∴∠EDC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠EDC＝∠ABC，∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴，∴ED·EA＝EC·EB.圖1（2）如圖2中，過(guò)C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G.在Rt△CDF中，cos∠ADC＝，∴，∵CD＝5，∴DF＝3，∴CF＝＝4，∵S△CDE＝6，∴·ED·CF＝6，∴ED＝＝3，∵∠BAC＝120°，∠G＝90°，∠G＋∠BAG＝∠ABC，∴∠BAG=30°，∴在Rt△ABG中，BG＝AB＝6，AG＝＝，∵CF⊥AD，AG⊥EB，∴∠EFC＝∠G＝90°，∵∠E＝∠E，∴△EFC∽△EGA，∴，∴，∴EG＝，∴BE＝EG－BG＝－6，∴S四邊形ABCD＝S△CDE－S△CDE＝(－6)×－6＝75－.圖1（3）如圖3中，作CH⊥AD于H，則CH＝4，DH＝3，∴tan∠E＝，作AG⊥DF于點(diǎn)G，設(shè)AD＝5a，則DG＝3a，AG＝4a，∴FG＝DF－DG＝5＋n－3a，∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E＝∠F，易證△AFG∽△CEH，∴，∴，∴，∴AD＝5a＝.圖3

例題6.（2016·武漢中考23）在△ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)．(1)如圖1，若∠ACP＝∠B，求證：AC2＝AP·AB；(2)若M為CP的中點(diǎn)，AC＝2，①如圖2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的長(zhǎng)；②如圖3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接寫出BP的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】相似形綜合，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，勾股定理.【答案】（1）證△ACP∽△ABC即可；（2）①BP＝；②【解析】（1）證明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝AP：AC，∴AC2＝AP·AB；（2）①如圖，作CQ∥BM交AB延長(zhǎng)線于Q，設(shè)BP＝x，則PQ＝2x∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝；

即BP＝；②如圖：作CQ⊥AB于點(diǎn)Q，作CP0＝CP交AB于點(diǎn)P0，∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝，設(shè)P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP0C∽△MPB，∴，∴MP·P0C＝＝AP0?BP＝x（