運輸包裝課件第四章沖擊與脆值

一、概念二、包裝件跌落沖擊的力學(xué)模型三、產(chǎn)品的跌落沖擊過程四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)一、概念沖擊：物體在極短的時間內(nèi)速度或能量產(chǎn)生突然的變化。根據(jù)牛頓第二定律：F

=ma

可知沖擊的特點：沖擊力的作用時間極短；沖擊力極大；產(chǎn)生極大的沖擊加速度。包裝件在流通過程中主要受到的沖擊為垂直沖擊（跌落沖擊）和水平碰撞沖擊。在這些沖擊環(huán)境中，跌落沖擊最為強(qiáng)烈，因此我們研究的沖擊理論主要是針對跌落沖擊的。一、概念動量：物體的質(zhì)量與速度的乘積，表示為K

=mv動量是矢量，方向與速度方向一致，單位為kg·m/s所以牛頓第二定律可寫為dv

dmv

dKF

=

ma

=

mdt

dt

dt=

=沖量：為了描述物體動量的改變，把作用在物體上的力在作用的時間內(nèi)積累起來的效應(yīng)，叫做這個力的沖量。F

=

dK

dK

=

Fdtdt設(shè)作用在物體上的力F

從時刻t0

到t1

，所以t1

F

(t

)dt

=000KtKP

=dK

=

K

-

K一、概念動量定理：物體動量的改變等于在同一時間內(nèi)作用在物體上的合力的沖量。若設(shè)沖擊時間為t

=t1

-t0

，平均沖擊力為F

，沖擊前后的速度為v0

、v1

，動量定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為Ft

=

mv1

-

mv0F

=

mv1

-

mv0t由上式可見，沖擊時間t

越長，沖擊力F

越小，那么所產(chǎn)生的沖擊加速度也就越小。因此，在分析包裝件的跌落沖擊的過程中，沖擊持續(xù)時間和產(chǎn)品所產(chǎn)生的響應(yīng)加速度是運輸包裝沖擊理論中的兩個重要參數(shù)。二、包裝件跌落沖擊的力學(xué)模型設(shè)包裝件從高度H處跌落，落地后地板通過緩沖襯墊沖擊產(chǎn)品，產(chǎn)品又將沖擊傳遞給易損部件，從而產(chǎn)生極大的加速度。分析包裝件跌落沖擊可以用前面分析振動理論相同的方法，因為振動與沖擊的性質(zhì)是一樣的，都是外部對包裝件的激勵，只不過振動是一個周期性的激勵，而沖擊則是一個瞬時激勵。二、包裝件跌落沖擊的力學(xué)模型一般包裝件的各種參數(shù)是通過實驗室獲得的，沖擊理論的主要作用就是為測試技術(shù)提供理論依據(jù)。而緩沖包裝設(shè)計就是以跌落沖擊理論為基礎(chǔ)。由于易損部件的質(zhì)量和尺寸都很小，而且大部分都封閉在產(chǎn)品內(nèi)部，很難測出其響應(yīng)加速度，因此常用產(chǎn)品響應(yīng)加速度來描述易損部件的破損條件。圖1

無阻尼跌落沖擊力學(xué)模型圖2

有阻尼跌落沖擊力學(xué)模型三、產(chǎn)品的跌落沖擊過程設(shè)包裝件從高度H

處自由下落，不計各種阻力，所以包裝件落地時的速度為式中的負(fù)號表示速度方向向下。v0

=

-

2

gH(a)開始下落時(b)落地前瞬間(c)襯墊被壓縮變形(d)襯墊變形恢復(fù)三、產(chǎn)品的跌落沖擊過程▲變形階段：產(chǎn)品的動能從最大減小到零，緩沖襯墊的變形從零增加到最大。以P1

表示此階段的沖量，得P1

=

0

-

(-mv0▲恢復(fù)階段：緩沖襯墊的彈性逐漸恢復(fù)，產(chǎn)品動能從零逐漸增大。以P2

表示此階段的沖量，得P2

=

mvt

-

0圖(b)圖(c)圖(d)落地前一瞬間襯墊被壓縮變形襯墊變形恢復(fù)所以P2

=

mvt

=

vtP1

mv0

v0式中：v0

——產(chǎn)品受沖擊的初速度vτ

——產(chǎn)品受沖擊的末速度三、產(chǎn)品的跌落沖擊過程設(shè)e

，令P1

mv0

v0e

=

P2=

mvt

=

vt因為包裝件發(fā)生碰撞時產(chǎn)生變形消耗了一部分能量，所以末速度vτ

小于初速度v0

。因為v0得=

-

2

gHvt

=

-

2

gH1H1H2

gH12

gHe

=

vt

=v0=e被稱為碰撞恢復(fù)系數(shù)，它表示系統(tǒng)受沖擊后的恢復(fù)程度。圖(d)圖(e)襯墊恢復(fù)變形再度跳起三、產(chǎn)品的跌落沖擊過程根據(jù)e

值的大小，沖擊分為三類：彈性沖擊：0＜e＜1，物體受沖擊后會有殘余變形，動能有損失；完全沖擊：e=1，這是一種理想情況，物體受到?jīng)_擊后變形完全恢復(fù)，動能無損失；塑性沖擊：e=0，這是一種極限情況，沖擊結(jié)束時，物體變形絲毫沒有恢復(fù)，全部動能損失。一般包裝件的沖擊恢復(fù)系數(shù)為

0

.3

＜

e＜

0.5因為包裝件中的緩沖襯墊的內(nèi)阻和塑性變形都要消耗一定的能量。三、產(chǎn)品的跌落沖擊過程▲速度改變量：產(chǎn)品速度在跌落沖擊過程中的變化。因為00vte

=

vt

v

=

e

v所以Dv

=

vt

-

v0

=

e

v0=

(e

+1)

2gH因為0

＜e

＜1

，所以-

v0

=

e2gH

+

2gH2

gH

￡

Dv

￡

2 2

gH因此速度增量為00vtvDv

=dv

=adtt利用高速攝影技術(shù)分析跌落過程落地時刻的速度回彈時的最大速度速度的準(zhǔn)確性，可以通過v

=

2

gh

來檢驗，圖

5

為試樣從

0.8m

的高度自由跌落沖擊時的速度分析曲線，t1

=0.00850

s

的時刻，落地瞬間的速度為v1

=-3.903m/s

，負(fù)號表示運動方向與坐標(biāo)方向相反，與理論結(jié)果的誤差僅為1.4%。通過圖6

可知，t2

=0.01800

s

時刻有最大的回彈速度v2

=1.720m/s

。由此可知，沖擊時間為Dt

=t2

-t1

=0.00950

s

，速度變化為Dv

=v2

-v1

=5.623m

/s

，平均加速度2

1為

a

=

Dv

/

Dt

=

591.9m

/

s

2

，回彈系數(shù)e

=

v

/v

=

0.44

。最大加速度四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)無阻尼包裝件的跌落沖擊1.運動方程及位移方程設(shè)產(chǎn)品所受的力有沖擊時襯墊的彈性力P和重力W，以包裝件落地前的平衡位置為原點向上取x

軸。根據(jù)牛頓第二定律，產(chǎn)品的運動微分方程為mx

=

-P

-W

=

-k

(x

-

dst

-

mgP

=

k

(x

-

dst重力

W

=

mg所以，彈性力因為st=

mgkdmw

2

=

k所以，運動微分方程為x

+

w

2

x

=

0四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)產(chǎn)品落地前一瞬間的初始條件為2

gH

sin

w

tw代入運動方程中求得位移方程為

x

=

-用τ表示跌落沖擊過程的持續(xù)時間。當(dāng)?shù)錄_擊過程結(jié)束時，緩沖襯墊的彈性變形完全恢復(fù)。因此將此條件代入位移方程，得wx

(t

=

02

gH

sin

wt

=

0得t

=

pwx

(0

=

0x

(0)=-

2gH四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)設(shè)T為產(chǎn)品的固有周期，fm為產(chǎn)品的固有頻率，而沖擊持續(xù)時間為半個正弦波，所以1w

2 2

fmt

=

p

=

T

=上式表明：跌落沖擊過程中的持續(xù)時間與產(chǎn)品的固有頻率成反比，固有頻率越大，沖擊持續(xù)時間越短。位移為2

2w令t

=t

=p

代入位移方程中求出產(chǎn)品在跌落沖擊過程中的最大m2mgHkx

=2

gH=w上式表明：襯墊的最大變形取決于跌落高度和產(chǎn)品的固有頻率，跌落高度越大，產(chǎn)品固有頻率越低，跌落沖擊的變形也就越大。四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)w間變化的規(guī)律：2.

產(chǎn)品的速度和加速度—時間函數(shù)將

x

=

-

2

gH

sin

w

t對時間求一次導(dǎo)數(shù)，就得到產(chǎn)品速度隨時2

gH

cos

w

tx

=

-（0≤

t

≤τ）將上式再次求導(dǎo)，就得到產(chǎn)品在跌落過程中的加速度—時間函數(shù)：x

=

w

2

gH

sin

w

t（0≤

t

≤τ）=

w

2

gHmx上式表明：產(chǎn)品跌落高度越高，產(chǎn)品的沖擊加速度也越大。在跌落高度確定后，降低產(chǎn)品的固有頻率是減小產(chǎn)品沖擊加速度的主要方法。2同樣令

t

=

t

以求出產(chǎn)品在跌落沖擊過程中的最大加速度：四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)上式為正弦半波方程，波形為脈沖波形，xm

為脈沖峰值，τ為脈沖持續(xù)時間。三者稱為脈沖三要素。在跌落沖擊過程中，襯墊對產(chǎn)品的最大沖擊力可表示為：Pm

=

mxm上式兩邊除以mg

，得mg2kHmg=

G=

w

2

gH

=P

xm

=

mmg

g在這里我們引入了一個無量綱量Gm

，它也是產(chǎn)品的最大響應(yīng)加速度。將xm2

gH代入加速度—時間函數(shù)中，就可改寫為：=

wx(t

=

xm

sin

w

tx(t=

0

（t

＞τ）w（0≤

t

≤τ）t

=

p四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)例：產(chǎn)品質(zhì)量m=10kg，襯墊面積A=120cm2，襯墊厚度h=

3.6cm，緩沖材料的彈性模量E=0.7MPa，包裝件的跌落高度H=0.75m。不計系統(tǒng)的阻尼和襯墊的塑性變形，試求跌落沖擊過程的襯墊最大變形、產(chǎn)品最大加速度、沖擊持續(xù)時間。解：產(chǎn)品襯墊系統(tǒng)的固有頻率為：k

EA=m=

153

(rad

/

s

)mhw

=產(chǎn)品的沖擊持續(xù)時間為：wt

=

p

=

0.02

(s

)襯墊的最大變形為：2

gH=

2.51(cm

)mx

=產(chǎn)品的最大加速度為：w=

w

2

gH

=

587

(m

/

s

2xm=

60gmGgx=

m四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)(a)開始下落時

(b)落地前瞬間(c)襯墊被壓縮變形動能，根據(jù)能量守恒定理20３．用能量法求跌落沖擊的最大加速度當(dāng)包裝件開始下落時，具有一定的勢能mgH；當(dāng)包裝件落地前瞬間時，勢能全部轉(zhuǎn)化成12mv021

mv

2

=

mgH解方程得v0

=

2

gHm當(dāng)緩沖襯墊產(chǎn)生最大變形量時x部轉(zhuǎn)化成彈性勢能，動能全2m01221

mv

2

=kx解方程得m2mgHkx

=四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)根據(jù)胡克定律，此時緩沖襯墊有最大的變形，對產(chǎn)品的反力也最大。設(shè)為Pmax

則Pmax=

kxm

=

2kmgH根據(jù)牛頓第二定律，此時加速度也最大，為2kgHmPmax

=

mam

am

m=

Pmax=我們定義的Gm為最大加速度與重力加速度g的比值mGg

mg

mg

mg=

am

2kmgH

2kH=

Pmax=

=以上兩種方法求出的最大位移xm

和最大加速度xm

完全一致。四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)例：一個質(zhì)量為40kg的物品從100cm高處跌落。問選用彈性系數(shù)k為多大的緩沖材料，才能使之跌落時沖擊加速度不超過60g。并估計緩沖墊的最小厚度。解：已知Gm

=60，H

=1m，W

=mg

=392N因為所以2kHmG

=mg(

)2mgG2=

705600

N

/

mk

=最大壓縮量為mk

m

2Hx

=

2mgH

=

0.0333

(m

)即緩沖墊最大的變形為3.33cm。而材料的厚度至少要比變形量大二倍，所以緩沖墊厚度不能小于6.66cm。四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)有阻尼包裝件的跌落沖擊1.運動方程及位移方程在系統(tǒng)受到?jīng)_擊的任一瞬時，產(chǎn)品所受到的彈性沖擊力為F

=

k

(x

-

dst產(chǎn)品所受的阻尼力為根據(jù)牛頓第二定律，產(chǎn)品的運動微分方程為mx

=

-mg

-

F

-

R

=

-kx

-

cxR

=

cx令kmw

=2mcn

=得x

+

2nx

+

w

2

x

=

0與振動理論相似，在n

＜ω的情況下，產(chǎn)品的位移方程為x

=

Ae-

nt

sin

(

w

2

-

n

2

t

+

a設(shè)

z

=nw2

gH

2

gH=

-

1w

2

-

n

2

w

1

-

z

2A

=

-(

)2e

sin1

-

z

w

tx

(t

=

0推導(dǎo)出-zw

tx

=

-

1

2

gH

w

1

-

z

2四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)x

(0

=

0沖擊的初始條件為x

(0)=-

2gH所以產(chǎn)品沖擊時間為用τ表示跌落沖擊過程的連續(xù)時間代入位移方程得sin

(1-z

2

wt

=01-z

2

wt

=

pt

=

p

1-z

2

w求得所以產(chǎn)品的位移方程可改寫為a

=

0四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)2.

產(chǎn)品的速度和加速度—時間函數(shù)將位移方程對時間求一次導(dǎo)數(shù)，得產(chǎn)品的速度—時間函數(shù)為(21-z

cos

1-z

2

wt

-z

sin

1-z

2

wt

)

2gH

e-zw

tx

=-1-z

2時間函數(shù)求得當(dāng)x

=

0

時，位移達(dá)到最大值，用tm表示x

=

xm的瞬時，由速度—1-z

2mtan

1-z

2

wt

=m因為

sin

1-z

2

wt

=

1-z

2z將上兩式帶入位移方程，得產(chǎn)品的最大位移為arctanmzwz

1-z

2

-1-z

22gH

ex

=由此可見，沖擊時的最大位移隨阻尼比的增加而減小，沖擊持續(xù)時間隨阻尼比的增加而延長。四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)將位移方程對時間求二次導(dǎo)數(shù)，得產(chǎn)品的加速度—時間函數(shù)為2gH

e-zw

t

(1-

2z

2

)sin1-z

2

wt

+

2z

1-z

2

cos

1-z

2

wt

得x

=

w1-z

2為簡化，令sin

a

=

2z

1-z

2cosa

=1-

2z

2(

)2e

sin-zw

t1-z

wt

+a2gH1-z

2x

=

w22z

1-z

2tan

a

=1-

2zm為求最大加速度值

x

，令dx

=

0dt得到1-z

2

cos(

1-z

2

wt

+a

-z

sin

(

1-z

2

wt

+a

=

0sin

g

=

1-z

2cos

g

=

z令因此sin

(

1-z

2

wt

+a

+

g

=

0四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)將tm代入加速度—時間函數(shù)中，得1-z

2

wt

+a

+

g

=

0所以=

-g

-a

w

1-z

2mx

取最大值的瞬時為t2mz

(g-a

)-1-z=

w

2gHex減小，當(dāng)ζ≥0.5時，xm

增加由上式可得知：當(dāng)ζ≤0.5時，xm而且當(dāng)ζ=

0.2～0.3時，緩沖效果最好通過上述分析，可以看出影響產(chǎn)品最大加速度的三個因素為：①xm

與H

成正比，因此包裝件的跌落高度越大，產(chǎn)品的最大加速度也越大。②xm

與ω成正比，因此產(chǎn)品襯墊系統(tǒng)的固有頻率越大，或者說緩沖襯墊的彈性系數(shù)越大，產(chǎn)品的最大加速度也越大。③當(dāng)z

￡

0.5

時，阻尼有緩沖作用，而當(dāng)z

?0.5

，阻尼反而會增加產(chǎn)品的最大加速度。四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)考慮易損部件的跌落沖擊響應(yīng)分析易損件對跌落沖擊的響應(yīng)，目的是要求解易損件的最大加速度。力學(xué)模型我們對系統(tǒng)進(jìn)行無阻尼情況分析。易損部件的運動微分方程將產(chǎn)品襯墊系統(tǒng)的加速度-時間函數(shù)作為輸入脈沖激勵，其波形為正弦半波。以產(chǎn)品落地后的平衡位置為原點取X軸和Xs軸，根據(jù)牛頓第二定律，求得易損件的運動微分方程為ms

xs

=

-F

-

ms

g四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)上式中，F(xiàn)為易損件的彈性力F

=

ks

(xs

-

x

-dst因為s2sst

ss=

ms

g

kk

md

w

=得x

+w

2

x

=

w

2

xs

s

s

s對上式求二階導(dǎo)數(shù)，就可得到易損件對跌落沖擊的加速度響應(yīng)：s

s

sd

2

x s

+w

2

x

=

w

2

xdt

2將產(chǎn)品襯墊系統(tǒng)的響應(yīng)x(t=

xm

sin

wtx(t

)=

0得易損件加速度響應(yīng)微分方程為（0

≤

t

≤τ）代入上式(

t

＞τwt

=

p)2

s

dt

2d

2

xs

s+w

x=sin

wt0s

mw

2

x（0

≤

t

≤τ）(

t

＞τ)p

wt

=四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)3.

易損件對跌落沖擊的響應(yīng)●易損件在脈沖時間內(nèi)的響應(yīng)當(dāng)（0≤t

≤τ）時，s

s

s

mdt

2sin

wtd

2

x s

+w

2

x

=

w

2

x它有一個通解xs1和一個特解xs

2

，與上式對應(yīng)的齊次方程的通解為xs1

=

C1

cosw

st

+

C2

sin

wst與上式對應(yīng)的特解設(shè)為xs

2

=

B

sin

wt將特解代入上式得(222s

s

mw

-wB

=

w

xsB

=

s

m

w

2

-w

2w

2

x推導(dǎo)出w

2

-w

2w

2

x方程的解為

xs

=

xs1

+

xs

2

=

C1

cosw

st

+

C2

sin

wst

+

s

m

sin

wts開始沖擊時，加速加速度和加速度的變化都為0，故初始條件為t

=0時，s=

0

x

=

0dxsdt四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)代入上式中求得12C

=

0

C=-

wws

xmsw

2

-w

2所以sswsin

w

st

w

2

-

w

2

w

w

2

x

xs

=

s

m

sin

w

t-由上式表明，易損件在脈沖時間內(nèi)的加速度響應(yīng)曲線是兩條頻率分別為ω和ωs的波動幅度不同的正弦曲線的疊加，且頻率為ω的正弦曲線只有半波。分別為s令t

=τ時，由上式可得到x

和一階導(dǎo)數(shù)s

在脈沖時間終點τ的值dtdx2sin

p

ws

s

msst

=t(x

)sw

2

-w

2ssin

w

t

=-w

2

-w

2=-

wws

xm

ww

xs

m2st

=t

s

dt

dx

w

w

=-1+

cosp

s

w

-w

w

ww

2

x

四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)●易損件在脈沖時間后的響應(yīng)當(dāng)t

＞τ時，sdt

2d

2

xs

s+w

2

x

=

0此時的初始條件就是前面當(dāng)t

=τ時的條件。令u

=t

－τ，得上式的通解為xs

=

D1

cosw

su

+

D2

sin

wsu1

s=

-

wws

xmt

=t所以

D

=

(x

)ssin

p

ws

w

w

2

-w

2

2

s

s

s=

-

s

m

1+cosp2

w

D

=s

2

dt

w

w

-wt

=t

dx

ww

2

x

w

而dxs在脈沖時間后的初始值等于它在脈沖時間內(nèi)的終值dt所以22s

msww

xw

ws

D

=-1+cosp2

w

-w

四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)將D1和D2代入xs

=D1

cosw

su

+D2

sin

wsu

式中得sin

ps

mss

msss2sssin

w

usww

xw ww

xx

=-w

2

-w

2w

cosw

u

-1+cosp

w

2

w

-w

w

令D1

=

Asin

fD2

=

A

cosf得22

cosA

=-ws

-w

2

w2wws

xm

p

wssin

p

ws

tan

f

=1+cosp

ws

w

w

由此簡化后得出(

)2

2coss

mss2ww

xp

wx

=sin

w

u

+fs

w

-w

2

w

s

（u=

t

－τ＞0）上式表明，易損件在脈沖時間后的加速度響應(yīng)曲線為正弦曲線，其頻率等于易損件的固有頻率，波動幅度為Ａ，初始相位為tanφ。四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)例：產(chǎn)品襯墊系統(tǒng)的固有圓頻率為ω=50π（rad/s），易損部件系統(tǒng)的固有圓頻率為ωs=25π（rad/s），包裝件的跌落高度為H=60cm，試求易損件對跌落沖擊的響應(yīng)。解：產(chǎn)品在跌落沖擊過程中的最大加速度為=

54.94gmx

=

w

2gH

=

533.95(m

/

s2脈沖時間內(nèi)的響應(yīng)為ws易損件與產(chǎn)品襯墊系統(tǒng)的固有圓頻率比為

w

=

2

。得到易損件在sin

wt

-

s

m

ssssx

=wwsin

w

t

=18.31g

2sin

(25pt

)-sin

(50pt

)w

2

-w

2

ww

2

x0

≤

t

≤w

50t

=

p

=

1易損件的響應(yīng)

xs

(t

在脈沖時間后的初相位為tan

f

=14f

=

p四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)所以易損件在脈沖時間后的響應(yīng)為(

)22cos50

s

mss2ww

xp

wx

=

p

t

-

1

+

p

s

2

w

sin

w

u

+f

=

51.64g

sin

254

w

-w

s

四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)4.

沖擊過程中易損件的最大加速度根據(jù)牛頓第二定律，在最大加速度時系統(tǒng)受到的是最大沖擊力。求出最大加速度的目的是用于優(yōu)化緩沖設(shè)計方案。w●頻率比

ws

＜1的情況由例題可知，易損件的最大加速度出現(xiàn)在脈沖時間外（t

＞τ）時(

)2

2coss

msssms2ww

xp

wx

=sin

w

u

+fs

2

w

w

-w

sw

2

-w

2

2

w=

2ww

s

xm

cos

p

wsxws●頻率比w

＞1的情況ws在w

＞1在情況下，易損件的響應(yīng)加速度曲線在脈沖時間內(nèi)至少有一個，這其中必定有一個最大值，并大于脈沖時間后的波動幅值。四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)將

s

m

ssww

sin

wt

-w

2

-w

2

s

ww

2

xxs

=sin

w

t

對時間求導(dǎo)，求出脈沖時間內(nèi)的極大值，并令其為0，得cosw

t

-coswst

=02應(yīng)用和差化積的三角公式得2

sin

w

+ws

t

sin

w

-ws

t

=022上式成立的條件是

sin

w

+ws

t

=

0

有極大值2sin

w

-ws

t

=

0有極小值得2w

+ws

t

=

np因此sm

的瞬時為nst=

2npw

+wx（n=1，2，……）nwssm將t

代入加速度方程中，得

x

=ms

sw

-w

w

+wx

sin

2npw

（n=1，2，…）令wsw=2

，3，…，分別繪制出易損件在脈沖時間內(nèi)有響應(yīng)加速度曲線，用排除法分別求出

sm

的最大值。x四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)易損件在脈沖時間內(nèi)的響應(yīng)wsw5≤

s≤9，w9≤

w

s≤13，w1≤

w≤5，

sms，1

n

=

1x

=

xsms

2x=

x，n

=

2sms3x=

x，n

=

3……四、產(chǎn)品對跌落沖擊的響應(yīng)例：已知產(chǎn)品襯墊系統(tǒng)的固有頻率ω=50π(rad/s)，易損件系統(tǒng)的固有頻率ωs=150π(rad/s)，包裝件的跌落高度H=0.75m，試求易損件跌落沖擊時的最大加速度。解：產(chǎn)品跌落沖擊時的最大加速度為xm

=

w

2gH

=

602

(m

/

s

=

61.45g2易損件對產(chǎn)品襯墊系統(tǒng)的頻率比為ws

=3

＜5，取n

=1，這時易損件的w最大加速度為=

903(m

/

s2

)=

92.18gsmmsws

sin

2npwsxw

-w

w

+wx=一、概念二、破損邊界理論三、產(chǎn)品破損邊界曲線一、概念脆值的含義是產(chǎn)品經(jīng)受振動和沖擊時用以表示強(qiáng)度的定量指標(biāo)。它代表的是產(chǎn)品抵抗破損的能力。脆值的定義：GB8166—87《緩沖包裝設(shè)計方法》中定義為：產(chǎn)品不發(fā)生物理損傷或功能失效所能承受的最大加速度（以重力加速度g為單位）物理損傷：指產(chǎn)品破裂、松動等物理變化。功能失效：指產(chǎn)品喪失了部分或全部的使用功能。目前以產(chǎn)品破損前的臨界加速度與重力加速度g的比值來表示脆值，用Gc表示。一、概念破損定義指產(chǎn)品物理的或功能的損傷。根據(jù)損壞的性質(zhì)和程度的不同，可分為三種：失效：又叫嚴(yán)重破損，指產(chǎn)品喪失功能不可恢復(fù)。失靈：也叫輕微破損，指產(chǎn)品功能雖喪失，但可恢復(fù)。商業(yè)性破損：主要指產(chǎn)品外觀有破損。許用脆值根據(jù)產(chǎn)品的脆值，考慮到產(chǎn)品的價值、強(qiáng)度偏差、重要程度等而規(guī)定的產(chǎn)品的許用最大加速度，用[G]表示。一般在設(shè)計時的安全系數(shù)為

n

＞1因為n[G]=

Gc所以

[G]

＜

Gc一、概念產(chǎn)品在實際沖擊中有一個最大加速度mG

≤[

]cGG

=nm此處

Ggx=

mGm——是實際最大響應(yīng)加速度，它決定于沖擊速度、緩沖材料和產(chǎn)品重量。Gc——是產(chǎn)品所能承受的臨界加速度，它決定于產(chǎn)品自身強(qiáng)度。例：產(chǎn)品在承受50g的沖擊加速度時沒有破損，但到52g時出現(xiàn)破損，設(shè)安全系數(shù)n

=1.2，求產(chǎn)品脆值、許用脆值。解：由題知

Gc

=

50g[G]=

Gc

=

50

=

42gn

1.2產(chǎn)品的脆值為50g，許用脆值為42g。一、概念傳統(tǒng)的脆值理論其概念基于產(chǎn)品的破壞性跌落試驗：根據(jù)能量轉(zhuǎn)換，包裝件從H處跌落到緩沖襯墊受壓產(chǎn)生最大變形xm

。2

201

122mgH

=

mv

=

kxP

=

kx可以推出所以x2P

=

2mgH

x

=

2mgHx因為P

=

maa

=

P

=

2gHm

x令G

=2Hx所以a

=

GgP

=

ma

=

mGg

=

GW由上式可知：產(chǎn)品承受沖力的大小等于產(chǎn)品自重W和因素G的乘積，當(dāng)P超過產(chǎn)品所能承受的極限，產(chǎn)品就會破損。因此，G表示產(chǎn)品反抗破損能力的唯一因素；產(chǎn)品不發(fā)生破損的最大加速度值叫脆值Gc，它是由產(chǎn)品的材料結(jié)構(gòu)特征所確定的，與外部因素?zé)o關(guān)。一、概念傳統(tǒng)的脆值理論用產(chǎn)品的最大加速度響應(yīng)來評價其破損情況，但造成產(chǎn)品破損的原因與下列情況有關(guān)：沖擊加速度的大小沖擊脈沖的形狀脈沖持續(xù)時間產(chǎn)品的固有頻率因此無法用傳統(tǒng)的脆值理論來描述。在這里引入一個破損邊界理論。二、破損邊界理論通常采用產(chǎn)品加速度值來描述易損件的破損條件。在分析破損邊界理論時，首先要介紹幾種沖擊譜。沖擊譜：是易損件的最大響應(yīng)加速度與脈沖時間之間的函數(shù)關(guān)系。它集中的反映了易損件的最大響應(yīng)加速度與脈沖三要素（波形、峰

值、持續(xù)時間）及其自身振動特性之間的關(guān)系。常用的沖擊譜有三種：正弦半波形、矩形、后峰鋸齒形正弦半波形

矩形

沖擊譜都是通過實驗測試出來的。后峰鋸齒形二、破損邊界理論易損件系統(tǒng)的正弦半波沖擊譜在包裝件跌落沖擊時，易損件的最大加速度為xsm，產(chǎn)品的最大加速度為xm，兩者之間的比值稱為系統(tǒng)易損件的動力放大系數(shù)，也用

β表示。xb

=

smxm設(shè)τ為跌落沖擊時產(chǎn)品緩沖襯墊系統(tǒng)的沖擊脈沖時間所以1w

2 2

fmt

=

p

=

T

=設(shè)易損件系統(tǒng)的固有周期為Ts，我們引入一個脈沖時間比r脈沖時間比就是產(chǎn)品襯墊系統(tǒng)的脈沖時間τ與易損件固有周期Ts之比。sTr

=

t1ssmT

=f所以r

=

fsm2

fm

2w=

ws二、破損邊界理論沖擊過程中易損件的最大加速度由2ww

scos

pw

s

m

2w

w

s

x

sin

2npw

smsw

2

-w

2smms

w

+w

s

xxw

-w=

x=wsw（

wsw（＜1時）＞1

時）轉(zhuǎn)化為4r1-

4rxsm

=x

cospr2

m

2r

2npxsm

=

2r

-1

xm

sin

1+

2r（

ws＜1時）＞1

時）w（

wsw由此可以推出正弦半波脈沖的沖擊譜公式為二、破損邊界理論正弦半波脈沖的沖擊譜（

wsw（

wswwsw（

wswws（

＜1時，即r

＜0.5時）w=1

時，即r

=0.5時）＞1

時，即0.5

＜r

≤2.5時）（ ＞1

時，即2.5

＜r

≤4.5時）＞1

時，即4.5

＜r

≤6.5時）

2psinsin

6psin1+

2r

4p1+

2r1+

2rxb

=

smxm=1-

4r

2p24rcospr

2r

·2r

-1上式中，0.5

＜r

≤6.5區(qū)間內(nèi)β有三個極大值，因此令db

=

0dr代入上式中，得二、破損邊界理論（0.5

＜

r

≤

2.5）（2.5

＜

r

≤

4.5

）tan

2p4pr

(2r

-1

=-1+

2r

(2r

+1)2tan

4p8pr

(2r

-1)=-1+

2r

(2r

+1)2tan

6p12pr

(2r

-1)=-

（4.5

＜

r

≤

6.5

）1+

2r(2r

+1)2沖擊譜與易損件系統(tǒng)的脈沖波形有關(guān)，不同的脈沖波形有不同的沖擊譜。正弦半波脈沖沖擊譜各種波形脈沖沖擊譜二、破損邊界理論易損件系統(tǒng)的矩形脈沖沖擊譜作用在產(chǎn)品上的加速度—時間函數(shù)在沖擊時間內(nèi)是一個矩形。x

=xm0（

0

≤

t

≤τ）（

t

＞τ）產(chǎn)品的最大加速度響應(yīng)是在脈沖時間內(nèi)作勻加速度運動。易損件跌落沖擊響應(yīng)的運動方程為x

+w

2

x

=

w

2

xs

s

s

ss

s

sdt

2上式對時間求二次導(dǎo)數(shù)得d

2

x s

+w

2

x

=

w

2

x二、破損邊界理論代入x

=xm0（

0

≤

t

≤τ）（

t

＞τ）中得22

s

dt

2d

2

xs

ss

m+w

x=

w

x（

0

≤

t

≤τ）（

t

＞τ）0s

mw

2

x22s

s+w

xdtd

2

xs==

0dt1.

當(dāng)（

0

≤

t

≤τ）時t

=

0xs

=

0dxs初始條件為可以推出xs

=xm

(1-coswst（

0

≤t

≤τ）所以xs

/t

=t

=

xm

(1-

coswstsin

wstt

=t

=

ws

mdxs

/xdt{二、破損邊界理論2.

當(dāng)（

t＞τ）時，設(shè)u

=t

－τ＞02s

sdt

2d

2

x s

+w

x

=

0得(

)xs

=

2xmsin2sssin

w

uw

t+j

其中tan

j

=

1-

coswstssin

w

t3.

矩形脈沖沖擊譜①當(dāng)τ＜0.5Ts

時，將式次導(dǎo)數(shù)得xs

=xm

(1-coswst（0

≤t

≤τ）對時間求一dxss

m

s

s

msdt

T=

w

xsin

w

t

=

w

x

sin

2p

t此時，xs

為增函數(shù)，無極大值，所以xsm

出現(xiàn)在t

＞τ時。因此smm2x

=

2x

sin

wst

b

=

xsm

=

2

sin

w

st

=

2

sin

pr2

xm二、破損邊界理論②當(dāng)τ≥0.5Ts

時，此時在脈沖時間內(nèi)至少有一個加速度響應(yīng)峰值，因為sin￡1s2w

t所以sins2m2xm￡

2xw

t因此在脈沖時間后的加速度響應(yīng)峰值總是小于或等于它在脈沖時間內(nèi)的峰值。由此可知，易損件的最大響應(yīng)加速度峰值出現(xiàn)在脈沖時間內(nèi)。所以b

=

sm

=

2xxm因此，矩形脈沖沖擊譜公式為b

=2sin

pr2（r

＜0.5）（r

≥0.5）矩形脈沖沖擊譜三、產(chǎn)品破損邊界曲線產(chǎn)品破損邊界曲線反映產(chǎn)品抵抗脈沖激勵的能力，而產(chǎn)品脆值是從各種波形的產(chǎn)品破損邊界曲線中抽象出來的，因此它在包裝動力學(xué)中具有重要的意義。產(chǎn)品破損或失效條件用ajx

表示易損件所能承受的極限加速度，因為xsm

=b

xm當(dāng)xsm

?a

jx時，產(chǎn)品就會破損或失效，將兩式綜合得majx?bx因此，產(chǎn)品破損的條件與最大沖擊加速度、速度的變化值和沖擊持續(xù)時間有關(guān)。速度變化與脈沖時間的關(guān)系設(shè)跌落沖擊前后產(chǎn)品的速度為V0和Vi，不考慮能量損耗，由能量守恒定理得三、產(chǎn)品破損邊界曲線V0

=-

2gHiV

=

2gH推導(dǎo)出

DV

=Vi

-V0

=

2

2gH所以0iV0xdtV

tdx

=DV

=

正弦半波脈沖產(chǎn)品破損邊界曲線因為

x(t

=

xm

sin

wt

（0

≤

t

≤τ），所以00x

sinmx

tt

txat

=p2pt dt

=m

t

2rmmsmxp

p

fDV

=

2

x

t

=，這就是產(chǎn)品破損的條件m將xbp

fsm

bajx

2rajx?

代入上式中得DV

?于是用2ramjxp

fsmbxDV

=ba

jx=方程組可以繪出產(chǎn)品破損邊界曲線。三、產(chǎn)品破損邊界曲線矩形脈沖產(chǎn)品破損邊界曲線矩形脈沖運動方程為x

=xm0（

0

≤

t

≤τ）（

t

＞τ）時，產(chǎn)品在脈沖時當(dāng)產(chǎn)品的初位移x0

=0，初速度為V0

=-2gH間內(nèi)作勻加速度運動，所以x

=-

2gH

+

xmt因此產(chǎn)品的位移方程為212mx

=-

2gH

+

x

t當(dāng)沖擊過程結(jié)束時，x

=0，xm

=0

，所以m2gHt

=

2xmmsmrxDV

=

x

t

=f三、產(chǎn)品破損邊界曲線m將xbajx?

代入上式得jxmsmraDV

=

x

t

=f

b由于矩形脈沖的沖擊譜分為兩段，所以它的破損邊界方程也分為兩段：①r

＜0.5時的破損邊界方程所以，破損邊界方程為b

=

2

sin

prmjxra2

fsm

sin

pra

jx=2

sin

prDV

=x②

r

≥

0.5時的破損邊界方程

β=

2所以，破損邊界方程為mjx2ra2

fsma

jx=DV

=x三