2023版新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理第2課時(shí)正弦定理課時(shí)作業(yè)新人教A版必修第二冊(cè)

第2課時(shí)正弦定理必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(2)，A＝eq\f(π,4)，sinB＝eq\f(\r(3),3)，則b＝()A．eq\f(2\r(3),3)B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2eq\r(3)2．在△ABC中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c＝eq\r(3)，A＝30°，B＝15°，則邊長(zhǎng)a＝()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(6),2)D．eq\r(6)3．在△ABC中，已知a＝4eq\r(3)，c＝12，C＝eq\f(π,3)，則A＝()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,6)或eq\f(π,3)4．在△ABC中，若AB＝3，BC＝4，C＝30°，則此三角形解的狀況是()A．有一解B．有兩解C．無(wú)解D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定5．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，則()A．a(chǎn)＝eq\r(3)＋1B．A＝15°C．C＝45°D．△ABC為鈍角三角形6．(多選)△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊．依據(jù)以下條件解三角形，恰有一解的是()A．a(chǎn)＝4，b＝3，A＝eq\f(π,3)B．a(chǎn)＝3，b＝4，A＝eq\f(π,6)C．a(chǎn)＝3，b＝2，A＝eq\f(2π,3)D．a(chǎn)＝1，b＝2，A＝eq\f(π,4)7．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊．若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝________.8．在△ABC中，A＝30°，b＝eq\r(3)，a＝1，則C＝________．關(guān)鍵力量綜合練1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，a＝eq\r(6)，b＝2，A＝eq\f(π,4)，則cosB＝()A．eq\f(\r(6),3)B．－eq\f(\r(6),3)或eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(3),3)D．－eq\f(\r(3),3)或eq\f(\r(3),3)2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若eq\r(2)a＝eq\r(3)bsinA，則sinB＝()A．eq\f(\r(6),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3)D．eq\f(1,3)3．記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若cosC＝eq\f(\r(13),4)，2a＝3c，則sinA＝()A．eq\f(\r(3),4)B．eq\f(3\r(3),8)C．eq\f(2\r(3),9)D．eq\f(\r(3),9)4．在△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.且b＝6a，A＋C＝eq\f(3π,4)，則sinA＝()A．eq\f(1,6)B．eq\f(\r(2),6)C．eq\f(1,12)D．eq\f(\r(2),12)5．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，則B＝()A．eq\f(3π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)6．在△ABC中，已知(a－ccosB)cosA＝acosBcosC，那么△ABC肯定是()A．等腰或直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等邊三角形7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，則eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝________．8．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若eq\r(3)a＝2bsin(B＋C)，則B＝________．9．已知△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosC＋eq\f(\r(3),2)c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，b＝eq\r(3)，求c的值．10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，(eq\r(2)b－c)cosA＝acosC.(1)求角A的大?。?2)若a＝5，cosB＝eq\f(\r(5),5)，求c.核心素養(yǎng)升級(jí)練1．已知△ABC為銳角三角形，AC＝2，A＝eq\f(π,6)，則BC的取值范圍為()A．(1，＋∞)B．(1，2)C．(1，eq\f(2\r(3),3))D．(eq\f(2\r(3),3)，2)2．在△ABC中，∠A＝45°，AC＝6，若三角形有兩個(gè)解，則BC邊的取值范圍是________．3．在△ABC中，已知eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)試確定△ABC的外形；(2)求eq\f(a＋c,b)的取值范圍．第2課時(shí)正弦定理必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1．答案：A解析：由于a＝eq\r(2)，A＝eq\f(π,4)，sinB＝eq\f(\r(3),3)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(\r(2),\f(\r(2),2))＝eq\f(b,\f(\r(3),3))，解得b＝eq\f(2\r(3),3).故選A.2．答案：C解析：∵C＝180°－30°－15°＝135°，∴sinC＝sin135°＝eq\f(\r(2),2)，由正弦定理得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(\r(3)×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(6),2).故選C.3．答案：B解析：由于a<c，所以A是銳角，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(4\r(3),sinA)＝eq\f(12,sin\f(π,3))，解得sinA＝eq\f(1,2)，所以A＝eq\f(π,6).故選B.4．答案：B解析：∵BCsinC＝4sin30°＝2，∴BCsinC<AB<BC，∴△ABC有兩解．故選B.5．答案：D解析：由正弦定理，eq\f(\r(2),\f(1,2))＝eq\f(2,sinC)有sinC＝eq\f(\r(2),2)，由于C∈(0，π)，故C＝45°或C＝135°，故三角形有兩種解，故A、B、C均錯(cuò)誤，當(dāng)C＝45°時(shí)，A＝180°－45°－30°＝105°，或當(dāng)C＝135°時(shí)，△ABC均為鈍角三角形，故D正確，故選D.6．答案：AC解析：對(duì)于A，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(4,sin\f(π,3))＝eq\f(3,sinB)，解得sinB＝eq\f(3\r(3),8)<eq\f(\r(3),2)，又B<A，只有一解，正確；對(duì)于B，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(3,sin\f(π,6))＝eq\f(4,sinB)，解得sinB＝eq\f(2,3)>eq\f(1,2)，又B>A，有兩解，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(3,sin\f(2π,3))＝eq\f(2,sinB)，解得sinB＝eq\f(\r(3),3)<eq\f(\r(3),2)，又B<A，只有一解，正確；對(duì)于D，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(1,sin\f(π,4))＝eq\f(2,sinB)，解得sinB＝eq\r(2)>1，無(wú)解，錯(cuò)誤．故選AC.7．答案：1∶eq\r(3)∶2解析：由于A∶B∶C＝1∶2∶3，且A＋B＋C＝π，所以A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,2).由正弦定理可得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝eq\f(1,2)∶eq\f(\r(3),2)∶1＝1∶eq\r(3)∶2.8．答案：30°或90°解析：由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)，由0°<B<180°，得B＝60°或120°，當(dāng)B＝60°時(shí)，C＝90°，當(dāng)B＝120°時(shí)，C＝30°.關(guān)鍵力量綜合練1．答案：A解析：由正弦定理得eq\f(\r(6),sin\f(π,4))＝eq\f(2,sinB)，得sinB＝eq\f(\r(3),3)，則cosB＝±eq\f(\r(6),3)；由于a>b，則A>B，故cosA<cosB，則cosB＝eq\f(\r(6),3)，所以A正確．故選A.2．答案：A解析：由題意得，eq\r(2)a＝eq\r(3)bsinA，∴eq\r(2)sinA＝eq\r(3)sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，故選A.3．答案：B解析：由于cosC＝eq\f(\r(13),4)，則C為銳角，且sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(3),4)，由于2a＝3c，由正弦定理可得sinA＝eq\f(3,2)sinC＝eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(3\r(3),8).故選B.4．答案：D解析：在△ABC中，因A＋C＝eq\f(3π,4)，則B＝eq\f(π,4)，由正弦定理及b＝6a得sinB＝6sinA，所以sinA＝eq\f(1,6)sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),12).故選D.5．答案：C解析：由正弦定理可得eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)＝eq\f(cosB,b)，則sinB＝cosB，tanB＝1，又B∈(0，π)，則B＝eq\f(π,4).故選C.6．答案：A解析：(a－ccosB)cosA＝acosBcosC，由正弦定理可得：(sinA－sinCcosB)cosA＝sinAcosBcosC，sinAcosA＝cosB(sinCcosA＋sinAcosC)＝cosBsinB，所以sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).所以△ABC是等腰或直角三角形．故選A.7．答案：1解析：由于a∶b∶c＝4∶3∶5，不妨令a＝4t，b＝3t，c＝5t(t>0)，所以eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝eq\f(2a－b,c)＝1.8．答案：eq\f(π,3)解析：在銳角△ABC中，由于eq\r(3)a＝2bsin(B＋C)，所以由正弦定理可得eq\r(3)sinA＝2sinBsin(B＋C)＝2sinBsinA，由于sinA>0，所以sinB＝eq\f(\r(3),2)，由于B∈(0，eq\f(π,2))，所以B＝eq\f(π,3).9．解析：(1)由acosC＋eq\f(\r(3),2)c＝b，得sinAcosC＋eq\f(\r(3),2)sinC＝sinB.由于sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以eq\f(\r(3),2)sinC＝cosAsinC.由于sinC≠0，所以cosA＝eq\f(\r(3),2).由于0<A<π，所以A＝eq\f(π,6).(2)由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3),2).由于0<B<π，所以B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).①當(dāng)B＝eq\f(π,3)時(shí)，由A＝eq\f(π,6)，得C＝eq\f(π,2)，所以c＝2；②當(dāng)B＝eq\f(2π,3)時(shí)，由A＝eq\f(π,6)，得C＝eq\f(π,6)，所以c＝a＝1.綜上可得c＝1或2.10．解析：(1)由于(eq\r(2)b－c)cosA＝acosC，由正弦定理可得(eq\r(2)sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即eq\r(2)sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，由于A＋B＋C＝π，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA，所以eq\r(2)sinBcosA＝sinB.由于0<B<π，所以sinB≠0，所以cosA＝eq\f(\r(2),2)，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,4).(2)由于cosB＝eq\f(\r(5),5)，0<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(2\r(5),5)，則sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),10).由于eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(5×\f(3\r(10),10),\f(\r(2),2))＝3eq\r(5).核心素養(yǎng)升級(jí)練1．答案：C解析：由于△ABC為銳角三角形，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝\f(π,6),0<B<\f(π,2),0<\f(5π,6)－B<\f(π,2)))，解得eq\f(π,3)<B<eq\f(π,2)，所以eq\f(\r(3),2)<sinB<1.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，即BC＝eq\f(AC·sinA,sinB)＝eq\f(2×sin\f(π,6),sinB)＝eq\f(1,sinB)，由eq\f(\r(3),2)<sinB<1，得1<eq\f(1,sinB)<eq\f(2\r(3),3)，即1<BC<eq\f(2\r(3),3).所以BC的取值范圍為(1，eq\f(2\r(3),3)).故選C.2．答案：(3eq\r(2)，6)解析：依據(jù)題意，∠A＝45°，AC＝6，由正弦定理得：eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，則BC＝eq\f(ACsinA,sinB)，sinB＝1時(shí)，三角形只有一個(gè)解，故0<sinB<1，則ACsinA<BC，又∠A＝45°，若BC≥AC，三角形有一個(gè)解，故三角形有兩個(gè)解的條件為ACsinA<BC<AC，解得3eq\r(2)<BC<6.3．解析：(1)在△ABC中，設(shè)其外