2023版新教材高中數(shù)學(xué)習(xí)題課直線平面平行與垂直的綜合新人教A版必修第二冊

習(xí)題課直線、平面平行與垂直的綜合必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．已知平面α和α外的一條直線l，下列說法不正確的是()A．若l垂直于α內(nèi)的兩條平行線，則l⊥αB．若l平行于α內(nèi)的一條直線，則l∥αC．若l垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥αD．若l平行于α內(nèi)的很多條直線，則l∥α2．已知直線a，b，平面α，β，則下列命題中正確的是()A．α⊥β，a?α，則a⊥βB．α∥β，a∥α，則a∥βC．a(chǎn)∥β，b?β，則a∥bD．a(chǎn)與b互為異面直線，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β3．已知兩個平面α，β，兩條直線m，l，滿足m?α，l?β，則下列命題正確的是()A．若m∥β，則m∥lB．若m⊥l，則m⊥βC．若m∥l，則α∥βD．若m⊥β，則α⊥β4．已知m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A．若m∥α，m⊥n，則n⊥αB．若m∥α，β⊥α，則m∥βC．若m∥α，n⊥α，則m⊥nD．若m∥α，m⊥β，則α∥β5．已知m、n是兩條不同直線，α、β是兩個不同平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α∩β＝n，m∥n，則m∥α且m∥βC．若α∥β，m∥α，n∥β，則m∥nD．若m∥α，m⊥β，則α⊥β6．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥A1B1交于點(diǎn)F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A．平行B．EF?平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．垂直7．如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面PAC；(2)求證：AB⊥PB.關(guān)鍵力量綜合練1．下列命題中正確的是()A．過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與這條直線平行B．過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直C．過已知平面外一點(diǎn)，有且只有一個平面與已知平面垂直D．過已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面2．m，n是空間中不同的直線，α，β是不同的平面，則下列說法不正確的是()A．若m∥β且m⊥α，則α⊥βB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n相交或異面C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n肯定垂直D．若m?α，n?β，α∥β，則m與n異面或平行3．已知a，b是不同的直線，α，β，γ是不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a∥α，a∥β，則α∥βC．若α∥β，α⊥γ，則β∥γD．若a⊥α，b⊥α，則a∥b4．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，D、E、F分別是所在棱的中點(diǎn)．則下列說法錯誤的是()A．平面DEF∥平面PBCB．平面PAB⊥平面ABCC．PA⊥BCD．DE∥PC5．(多選)如圖，在棱長均相等的正四棱錐P-ABCD中，M、N分別為側(cè)棱PA、PB的中點(diǎn)，O是底面四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有()A．PC∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥PAD．PD⊥平面OMN6．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，四條側(cè)棱均相等，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，BC∥平面GEFH.求證：(1)PO⊥平面ABCD；(2)GH∥EF.7.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AD＝3BC＝3，AB＝eq\r(2)，點(diǎn)E在線段PD上，PD＝3PE.(1)求證：CE∥平面PAB；(2)求證：平面PAC⊥平面PCD.8．如圖①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝1，現(xiàn)以AD為一邊在平面ABCD內(nèi)向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖②.(1)求證：AM∥平面BEC；(2)求證：BC⊥平面BDE.核心素養(yǎng)升級練1.(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q分別為線段BD，A1C1上的任意一點(diǎn)．下列四個結(jié)論中正確的是()A．存在點(diǎn)P，Q，使得PQ⊥平面ABCDB．存在點(diǎn)P，Q，使得PQ⊥平面BDC1C．存在點(diǎn)P，Q，使得PQ∥平面BCD1D．存在點(diǎn)P，Q，使得PQ∥平面D1DCC12．已知α，β是兩個不同的平面，l是平面α與β之外的直線，給出下列三個論斷：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：________(用序號表示).3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD＝3.(1)若點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)，求證：AE⊥平面PDC；(2)若eq\o(EP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(ED,\s\up6(→))，則線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得EF∥平面PBC，若存在，請確定點(diǎn)F的位置，并求三棱錐F-PBC的體積．習(xí)題課直線、平面平行與垂直的綜合必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：A解析：依據(jù)線面垂直的推斷定理可知，直線需垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，故A錯誤，C正確；依據(jù)線面平行的判定定理可知，平面外的線平行于平面內(nèi)的一條直線，即可證明線面平行，若直線l平行于α內(nèi)的很多條直線，也可說明線面平行，故BD正確．故選A.2．答案：D解析：A選項(xiàng)中，只有直線a與兩平面的交線垂直的時候結(jié)論才成立；B選項(xiàng)中，還有可能a?β；C選項(xiàng)中，兩直線a，b平行或異面；D選項(xiàng)中，過直線a上一點(diǎn)作b′∥b，則相交直線a，b′確定一個平面，設(shè)為γ，易得γ∥α且γ∥β，所以α∥β；故選D.3．答案：D解析：若m∥β，則m∥l或m與l異面，A錯誤；若m⊥l，則m⊥β或m與β斜交，或m?β，B錯誤；如圖，滿足m∥l，但α⊥β，C錯誤；依據(jù)面面垂直的判定，可知若m⊥β，則α⊥β.故選D.4．答案：C解析：若m∥α，不妨設(shè)m在α內(nèi)的投影為m′，則m∥m′，對于A，若m∥α，m⊥n，則n⊥m′，結(jié)合線面垂直判定定理可知，n不肯定垂直α，故A錯誤；對于B，若m∥α，β⊥α，此時m與α可能相交、平行或m在α上，故B錯誤；對于C，若m∥α，n⊥α，則n⊥m′，從而m⊥n，故C正確；對于D，若m∥α，m⊥β，結(jié)合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D錯誤．故選C.5．答案：D解析：若m∥α，n∥α，則m，n可能平行，相交，異面，故A錯誤；若α∩β＝n，m∥n，則可能m?α，故B錯誤；若α∥β，m∥α，n∥β，則m，n可能平行，相交，異面，故C錯誤；若m∥α，則存在n?α，且m∥n，又m⊥β，則n⊥β，所以α⊥β，故D正確．故選D.6．答案：D解析：由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1D1，又平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1＝A1B1，且EF?平面AA1B1B，EF⊥A1B1，由平面與平面垂直的性質(zhì)可得，EF⊥平面A1B1C1D1.故EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是相交且垂直．故選D.7．證明：(1)∵點(diǎn)D、E分別是棱AB、PB的中點(diǎn)，∴DE∥PA，又∵DE?平面PAC，PA?平面PAC；∴DE∥平面PAC.(2)∵PC⊥底面ABC，AB?底面ABC，∴PC⊥AB，∵AB⊥BC，PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，∴AB⊥平面PBC，又∵PB?平面PAB，∴AB⊥PB.關(guān)鍵力量綜合練1．解析：對于A，如圖在正方體中，過直線AB外一點(diǎn)D1有兩個平面，平面A1B1C1D1，平面DCC1D1都與直線AB平行，故A錯誤；對于B，由于垂直同一條直線的兩個平面平行，故過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直，故B正確；對于C，如圖在正方體中，過平面ABCD外一點(diǎn)D1有兩個平面，平面DCC1D1，平面A1ADD1都與平面ABCD垂直，故C錯誤；對于D，當(dāng)直線與平面相交時，過該直線，不能作出與已知平面平行的平面，故D錯誤．故選B.2．答案：C解析：若m∥β且m⊥α，則α⊥β，推斷A正確；若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n相交垂直或異面垂直，故B正確；若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n相交、平行或異面，故C錯誤；若m?α，n?β，α∥β，則m與n異面或平行，故D正確．故選C.3．答案：D解析：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD為平面α，直線A1B1為直線a，若直線B1C1為直線b，滿足a∥α，b∥α，而a∩b＝B1，A不正確；由選項(xiàng)A知，若平面CDD1C1為平面β，滿足a∥α，a∥β，而α∩β＝CD，B不正確；由選項(xiàng)A知，若平面A1B1C1D1為平面β，平面BCC1B1為平面γ，滿足α∥β，α⊥γ，而β∩γ＝B1C1，C不正確；因a⊥α，b⊥α，由線面垂直的性質(zhì)得a∥b，D正確．故選D.4．答案：D解析：∵D、E分別是PA，AB的中點(diǎn)，∴DE∥PB，又DE?平面PBC，PB?平面PBC，∴DE∥平面PBC，同理可得DF∥平面PBC，又DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面PBC，故A正確；∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC＝A，∴PA∩平面ABC，∴PA⊥BC，故C正確，又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，故B正確；假設(shè)DE∥PC，又DE∥PB，∴PB∥PC，與PB∩PC＝P沖突，故DE與PC不平行，故D錯誤．故選D.5．答案：ABC解析：由于O為底面四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，由M是PA的中點(diǎn)，可得PC∥MO，由于PC?平面OMN，OM?平面OMN，所以PC∥平面OMN，A正確；同理可推得PD∥平面OMN，而PC∩PD＝P，所以平面PCD∥平面OMN，B正確；由于PD?平面PCD，故PD不行能垂直平面OMN，D錯誤；設(shè)該正四棱錐的棱長為a，則PA＝PC＝a，AC＝eq\r(2)a，所以PA⊥PC，由于PC∥MO，所以O(shè)M⊥PA，C正確．故選ABC.6．證明：(1)∵四邊形ABCD為正方形，且AC，BD交于點(diǎn)O，∴O為AC，BD的中點(diǎn)，由已知得PA＝PC，PB＝PD，∴△PAC和△PBD均為等腰三角形，∴PO⊥AC，PO⊥BD，又AC，BD?平面ABCD，且AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.(2)∵BC∥平面GEFH，BC?平面ABCD，平面GEFH∩平面ABCD＝EF，∴BC∥EF，同理可得，BC∥GH，∴GH∥EF.7．證明：(1)過E作EF∥AD交PA于點(diǎn)F，連接BF，由于BC∥AD，所以EF∥BC.又PD＝3PE，所以AD＝3EF.又AD＝3BC，所以EF＝BC所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，又CE?平面PAB，BF?平面PAB，所以CE∥平面PAB.(2)在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝3BC＝3，AB＝eq\r(2)，所以BC＝1，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(3)，CD＝eq\r(AB2＋（AD－BC）2)＝eq\r(6).所以AC2＋CD2＝AD2，即AC⊥CD.由于PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，又CD?平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.8．證明：(1)取EC中點(diǎn)N，連接MN，BN，如圖，在△EDC中，M為ED的中點(diǎn)，則MN∥CD，且MN＝eq\f(1,2)CD，而AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD，即有MN∥AB，MN＝AB，因此四邊形ABNM為平行四邊形，有AM∥BN，由于BN?平面BEC，且AM?平面BEC，所以AM∥平面BEC.(2)由正方形ADEF知，ED⊥AD，而平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED?平面ADEF，則ED⊥平面ABCD，而BC?平面ABCD，即有ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝1，則BD＝eq\r(2)，∠BDC＝45°，而CD＝2，有BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝2，即BD2＋BC2＝4＝CD2，因此BC⊥BD，又ED∩BD＝D，ED，BD?平面BDE，所以BC⊥平面BDE.核心素養(yǎng)升級練1．答案：AD解析：當(dāng)P，Q分別為線段BD，A1C1的中點(diǎn)時，PQ∥CC1，所以此時有PQ⊥平面ABCD，PQ∥平面D1DCC1，不存在點(diǎn)P，Q，使得PQ⊥平面BDC1、PQ∥平面BCD1，故正確結(jié)論是AD.故選AD.2．答案：①②?③解析：由l∥β可在平面β內(nèi)作l′∥l，又l⊥α，∴l(xiāng)′⊥α，∵l′?β，∴α⊥β，故①②?③.3．解析：(1)證明：由于四邊形ABCD為正方形，所以CD⊥AD，由于側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，所以CD⊥AE.又由于PA＝PD＝AD，且E為PD中點(diǎn)，所以AE⊥PD，又由于PD∩CD＝D，所以AE⊥平面PDC；(2)如圖分別取AB、CD的三等