《球的表面積與體積》同步測試2【高中數(shù)學人教版】

PAGE《球的表面積與體積》同步測試1．在一個倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個面都接觸，經(jīng)過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的截面圖形是（）解析：選B正三棱錐的內(nèi)切球球心在高線上，與側面有公共點，與棱無公共點．故選B．2．一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個圓面的距離是4cm，則該球的體積是（）A．eq\f(100π,3)cm3 B．eq\f(208π,3)cm3C．eq\f(500π,3)cm3 D．eq\f(416\r(13)π,3)cm3解析：選C根據(jù)球的截面的性質，得球的半徑R＝eq\r(32＋42)＝5（cm），所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)（cm3）．3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積S＝（）A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π解析：選A由三視圖可知此幾何體的上半部分為半個球，下半部分是一個長方體，故其表面積S＝4π×eq\f(1,2)＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π．4．（新課標全國卷Ⅰ）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝（）A．1 B．2C．4 D．8解析：選B如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝eq\f(1,2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝（5π＋4）r2．又S＝16＋20π，∴（5π＋4）r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B．5．已知某一多面體內(nèi)接于球構成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是________．解析：依題意得，該幾何體是球的一個內(nèi)接正方體，且該正方體的棱長為2．設該球的直徑為2R，則2R＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)，所以該幾何體的表面積為4πR2＝4π（eq\r(3)）2＝12π．答案：12π6．已知一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，且這個球的體積是eq\f(32,3)π，那么這個三棱柱的體積是________．解析：設球的半徑為r，則eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π，得r＝2，柱體的高為2r＝4．又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，所以底面正三角形的邊長為4eq\r(3)，所以正三棱柱的體積V＝eq\f(\r(3),4)×（4eq\r(3)）2×4＝48eq\r(3)．答案：48eq\r(3)7．軸截面是正三角形的圓錐內(nèi)有一個內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為1cm，求球的體積．解：如右圖所示，作出軸截面，O是球心，與邊BC，AC相切于點D，E．連接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝eq\f(1,2)AC．∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC)．∵CD＝1cm，∴AC＝2cm，AD＝eq\r(3)cm，設OE＝r，則AO＝（eq\r(3)－r），∴eq\f(r,\r(3)－r)＝eq\f(1,2)，∴r＝eq\f(\r(3),3)cm，V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(4\r(3),27)π（cm3），即球的體積等于eq\f(4\r(3),27)πcm3．8．在半徑為15的球O內(nèi)有一個底面邊長為12eq\r(3)的內(nèi)接正三棱錐A-BCD，求此正三棱錐的體積．解：①如圖甲所示的情形，顯然OA＝OB＝OC＝OD＝15．設H為△BCD的中心，則A，O，H三點在同一條直線上．∵HB＝HC＝HD＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×12eq\r(3)＝12，∴OH＝eq\r(OB2－HB2)＝9，∴正三棱錐A-BCD的高h＝9＋15＝24．又S△BCD＝eq\f(\r(3),4)×（12eq\r(3)）2＝108eq\r(3)，∴V三棱錐A-BCD＝eq\f(1,3)×108eq\r(3)×24＝864eq\r(3)．②對于圖乙所示的情形，同理，可得正三棱錐A-BCD的高h′＝15－9＝6，S△BC