部分第六章4節(jié)萬有引力理論成就

應(yīng)用創(chuàng)新演練第4節(jié)萬有引力理論的成就理解教材新知把握熱點考向考向一考向二隨堂基礎(chǔ)鞏固第六章萬有引力與航天課時跟蹤訓(xùn)練知識點一知識點二考向三若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上物體所 受重力等于地球?qū)ξ矬w的引力，即mg＝Mm

gR2G

R2

，可得地球質(zhì)量

M＝

G

。根據(jù)萬有引力提供行星做圓周運動的向4π2r3心力，可得太陽的質(zhì)量為M＝

GT2

。3．除了可以應(yīng)用萬有引力定律計算天體的質(zhì)量外，還可以應(yīng)用萬有引力定律發(fā)現(xiàn)未知天體，海王星的發(fā)現(xiàn)和哈雷彗星的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位。1．地球質(zhì)量的計算利用地球表面的物體：若不考慮地球自轉(zhuǎn)，質(zhì)量為m

的物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力

，即

mg＝

，gR2則

M＝

G

，只要知道

g、R

的值，就可計算出地球的質(zhì)量。MmG

R2[自學(xué)教材]2．太陽質(zhì)量的計算利用某一行星：質(zhì)量為m

的行星繞太陽做勻速圓周運動，行星與太陽間的 充當(dāng)向心力，即

G

r2

＝Mm

4π2mrT2，由此可得太陽質(zhì)量M＝，由此式可知只要測出行星繞太陽運動的周期T

和半徑r

就可以計算出太陽的質(zhì)量。萬有引力4π2r3GT23．其他行星的質(zhì)量計算利用繞行星運轉(zhuǎn)的衛(wèi)星：若測出該衛(wèi)星與行星間的距Mm質(zhì)量M＝2π

2m( )

r離

r

和轉(zhuǎn)動周期

T，同樣據(jù)

G

r2

＝

T

可得出行星的4π2r3GT2

。[重點詮釋]1．求天體質(zhì)量的思路繞中心天體運動的其他天體或衛(wèi)星做勻速圓周運動，做圓周運動的天體(或衛(wèi)星)的向心力等于它與中心天體的萬有引力，利用此關(guān)系建立方程求中心天體的質(zhì)量。2．天體密度的計算M

M 根據(jù)密度公式

ρ＝

V

＝4

，只要求出天體的質(zhì)量代入此式3πR3就可計算天體的密度。(1)由天體表面的重力加速度g

和半徑R

求此天體的密度：3πR34

4πGRMm

M

3g由

mg＝G

R2

和

ρ＝ 得

ρ＝

。(2)若天體的某個衛(wèi)星的軌道半徑為r，周期為T，天體半徑2為

R，則由

G

r2

＝m

rMm

4π2

43和

M＝ρ·

πR

得

ρ＝3πr3T

3

GT

R2

3。(3)當(dāng)天體的衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r

等于天體半徑R，則由G2R

T2Mm

4π2

433＝m R

和

M＝ρ·

πR

得

ρ＝3πGT2。[特別提醒]在用萬有引力等于向心力列式求天體的質(zhì)量時，只能求出中心天體的質(zhì)量，而不能求出環(huán)繞天體的質(zhì)量。要掌握日常知識中地球的公轉(zhuǎn)周期、地球的自轉(zhuǎn)周期、月球的周期等，在估算天體質(zhì)量時，往往作為隱含條件加以利用。要注意R、r的區(qū)分。R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑。若繞近地軌道運行，則有R＝r。1．已知萬有引力常量G，現(xiàn)給出下列各組數(shù)據(jù)，可以計算出地球質(zhì)量的有

(A．已知地球的半徑R和地面的重力加速度g)B．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和線速度vC．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和周期TD．地球公轉(zhuǎn)的周期T′及運轉(zhuǎn)半徑r′Mm

gR2解析：由

G

R2

＝mg，得

M＝

G

，故

A

正確。又由萬有引力v2rv2Mm

4π2

4π2r3提供向心力

G

r2

＝m

r

＝m

T2

r，得

M＝

G

＝

GT2

，故

B、C正確。若已知地球公轉(zhuǎn)的周期T′及運轉(zhuǎn)半徑r′，只能求出地球所圍繞的中心天體——太陽的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量，故D

錯誤。答案：ABC[自學(xué)教材]已發(fā)現(xiàn)天體的軌道推算18世紀(jì)，人們觀測到太陽系第七個行星——天王星的軌道和用

萬有引力定律計算出來的軌道有一些偏差。未知天體的發(fā)現(xiàn)根據(jù)已發(fā)現(xiàn)的天體的運行軌道結(jié)合萬有引力定律推算出未知天體的軌道，如海王星

、冥王星

就是這樣發(fā)現(xiàn)的。[重點詮釋]1．解決天體問題的兩條思路(1)所有做圓周運動的天體，所需要的向心力都來自萬有引力。因此，向心力等于萬有引力，是我們研究天體運動建立方程的基本關(guān)系式，即

Mm＝ma，式中的

a

是向心加速度，根G

r2v24π2據(jù)問題的條件可分別選用：a＝

r

，a＝ω2r，a＝

T2

r。(2)物體在地球(天體)表面時受到的引力等于物體的重力，Mm即G

R2

＝mg，式中的R

為地球(天體)的半徑，g

為地球(天體)表面物體的重力加速度。2．解決天體問題時應(yīng)注意的問題(1)在用萬有引力等于向心力列式求天體的質(zhì)量時，只能測出中心天體的質(zhì)量，而環(huán)繞天體的質(zhì)量在方程式中被消掉了。Mm(2)由

G

＝mg

可以得到：GM＝gR2。由于

G

和

M(地球R2質(zhì)量)這兩個參數(shù)往往不易記住，而g和R容易記住，所以粗略計算時，一般都采用上式代換。3．常用的幾個關(guān)系式設(shè)質(zhì)量為m

的天體繞另一質(zhì)量為M

的中心天體做半徑為r

的勻速圓周運動。v2(1)由

G

r2

＝m

r

得

v＝Mm

GMr，r

越大，天體的v

越小。Mm(2)由

G

＝mω2r

得

ω＝r2

r3GM，r

越大，天體的ω

越小。r3GM，r

越大，天體的T(3)由

Mm

2π

2G

r2

＝m(T

)r

得T＝2π越大。nr2

r2n

nMm

GM(4)由

G

＝ma

得

a

＝ ，r

越大，天體的

a

越小。2.如圖6－4－1

所示，a、b

是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，它們距地面的)高度分別是R

和2R(R

為地球半徑)。下列說法中正確的是

(a、b

的線速度大小之比是2∶1a、b

的周期之比是

1∶2

2C．a(chǎn)、b

的角速度大小之比是

3

6∶4D．a(chǎn)、b

的向心加速度大小之比是9∶4圖6－4－1解析：兩衛(wèi)星均做勻速圓周運動，F(xiàn)

萬＝F

向，向心力選不同的表達(dá)形式分別分析。由GMm

r2v2v121＝m

r

得v

＝

r

＝r2

3R2R＝

2，A

錯誤；由3

GMmr22π

2

T12＝mr(T

)

得T

＝r1

3r22

23＝3

3，B

錯誤；由GMm

r22ω12＝mrω

得ω

＝r2

3r13＝3

64，C

正確；由GMm

r22r2

21a1

9＝ma

得a

＝r

2＝4，D

正確。答案：CD[例1]

為了實現(xiàn)登月計劃，先要測算地、月之間的距離。已知地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，在地球附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，又知月球繞地球運動的周期為T，萬有引力常量為G，則：地球的質(zhì)量為多少？地、月之間的距離約為多少？[思路點撥]

地球表面物體的重力近似等于地球?qū)λ娜f有引力大??；月球繞地球運動所需的向心力由地球?qū)λ娜f有引力提供。[解析]

(1)設(shè)地球表面有一質(zhì)量為

m1

的物體。1依題意有

m

g＝G

R2Mm1，gR2解得M＝

G

。(2)設(shè)月球質(zhì)量為m2，地、月之間的距離為r。Mm2＝

2π

2

，解得r＝由牛頓第二定律得

G

r2

m2(

T

)

r3GMT24π2，gR2將M＝

G

代入上式得r＝3gR2T24π2。gR2[答案]

(1)

G

(2)3gR2T24π2[借題發(fā)揮]計算天體質(zhì)量和密度的公式，既可以計算地球質(zhì)量，也可以計算太陽等其他星體的質(zhì)量，需明確計算的是中心天體的質(zhì)量。要注意理解并區(qū)分公式中的R、r，R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，只有在近“地”軌道運行時才有r＝R。1．在某行星上，宇航員用彈簧秤稱得質(zhì)量為m的砝碼重力為F，乘宇宙飛船在靠近該星球表面空間飛行，測得其環(huán)繞周期為T。根據(jù)這些數(shù)據(jù)求該星球的質(zhì)量和密度。解析：設(shè)行星的質(zhì)量為M，半徑為R，表面的重力加速度為g，由萬有引力定律得F＝mg＝G

R2Mm。飛船沿星球表面做勻速圓周運動由牛頓第二定律得GMm′R24π2R＝m′T2

。F3T4聯(lián)立解得M＝16Gπ4m3。3πR34

GT2將

M

代入

ρ＝

M

，得

ρ＝

3π

。F3T43π答案：16Gπ4m3

GT2[例2]

宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至于因萬有引力的作用吸引到一起。設(shè)二者的質(zhì)量分別為m1和m2，二者相距為L，求：(1)雙星的軌道半徑之比；

(2)雙星的線速度之比。[思路點撥]

解決該問題應(yīng)注意：(1)萬有引力表達(dá)式中的距離不等于圓周運動的軌道半徑。

(2)兩星的向心力相等都等于萬有引力。(3)兩星的角速度相同。[解析]

這兩顆星必須各以一定速率繞某一中心轉(zhuǎn)動才不至于因萬有引力作用而吸引在一起，所以兩天體間距離L應(yīng)保持不變，二者做圓周運動的角速度ω必須相同。如圖所示，設(shè)

二者軌跡圓的圓心為O，圓半徑分別為R1和R2。由萬有引力提供向心力有m1m22G

L2

＝m1ω

R1，①m1m22G

L2

＝m2ω

R2。②(1)①②兩式相除，得R

＝m2

1R1

m2。v1(2)因為v＝ωR，所以v

＝R

＝mR1

m2。2

2

1[答案]

(1)m2∶m1

(2)m2∶m1[借題發(fā)揮]有關(guān)求雙星系統(tǒng)的問題的思路是相互的萬有引力提供各自做圓周運動的向心力，且二者有共同的角速度和周期，二者的軌道半徑之和是二者之間的距離。解題時一定要注

意，雙星各自的軌道半徑與它們之間的距離不同。在上例條件下，試確定該“雙星”系統(tǒng)運行的角速度。解析：兩星的角速度相同，則121G

L2

＝m

ω

R

，Gm1m2

m1m2L22＝m2ω

R2，故R2＝R1

m2m1。又因為1R1＋R2＝L，所以R

＝m2Lm1＋2m

，m1m21所以

G

L2

＝m

ω2m2L1m

＋m2，解得ω＝G(m1＋m2)L3。答案：G(m1＋m2)

L3[例3]

已知地球半徑R＝6.4×106

m，地面附近重力加速度g＝9.8

m/s2，計算在距離地面高為h＝2.0×106

m的圓形軌道上的衛(wèi)星做勻速圓周運動的線速度v和周期T。[思路點撥][解析]根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力，即G

Mm

v2(R＋h)

R＋h2＝m

。知v＝R＋h

GM

。①由地球表面附近的物體受到的萬有引力近似等于重力，即GMm′R22＝m′g，得

GM＝gR

。

②由①②兩式可得v＝gR2R＋

＝h6．4×10