組合數(shù)的性質(zhì)和應用課件

組合數(shù)的性質(zhì)和應用莆田第二中學高二1班復習鞏固：1、組合定義:

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.2、組合數(shù):3、組合數(shù)公式:新課引入

引例1:利用組合數(shù)公式考察:

與;與;

的關(guān)系,并發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

從n個不同元素中取出m個不同的元素的方法從n個不同元素中取出n－m個不同的元素的方法一一對應用組合的定義思考=注

即從n個不同的元素中取出m個元素的組合數(shù),等于從這n個元素中取出n-m個元素的組合數(shù)

性質(zhì)1證明:根據(jù)組合數(shù)的公式有:引例2：一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和一個黑球.(1)從口袋內(nèi)取出3個球,共有多少中取法?

(2)從口袋內(nèi)取出3個球,使其中含有1個黑球,有多少種取法?(3)從口袋中取出3個球,使其中不含黑球,有多少種取法?

即從口袋內(nèi)的8個球中所取出的3個球,可以分為兩類:一類含1個黑球,一類不含黑球.所以根據(jù)分類計數(shù)原理,上面等式成立.性質(zhì)21、公式特征：下標相同而上標差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與原組合數(shù)上標較大的相同的一個組合數(shù).

2、此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運算．在今后學習“二項式定理”時，我們會看到它的主要應用．性質(zhì)2例1計算例2．計算：解：原式＝

（2）已知C18=C18，求n的值變式(1)已知Cn=Cn，求n的值137n3n-6D190鞏固練習3．6人同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的去法？解：有6類辦法，第1類去1人，第2類去2人，第3類去3人，第4類去4人，第5類去5人，第6類去6人，所以共有不同的去法鞏固練習小結(jié)2.組合數(shù)性質(zhì):1.組合數(shù)公式:組合數(shù)的應用一、等分組與不等分組問題例3、6本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法；（1）分成三份，每份兩本；（2）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分給甲、乙、丙3人，每人至少一本；（6）分給5個人，每人至少一本；（7）6本相同的書，分給甲乙丙三人，每人至少一本。變式、（1）今有10件不同獎品,從中選6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少種分法?

（2）10件不同獎品中選6件分成三份,二份各1件,另一份4件，發(fā)給三個同學，有多少種分法？(3)

將8個學生干部的培訓指標分配給5個不同的班級，每班至少分到1個名額，共有多少種不同的分配方法？練習2:將5個人分成4個組，每組至少1人，則分組的種數(shù)是多少？練習1:將12個人分成2，2，2，3，3的5個組，則分組的種數(shù)是多少？A練習例4、某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種二、不相鄰問題插空法變式1：為美化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞路燈全部改裝成彩色路燈，如果彩色路燈有紅、黃與蘭共3種顏色，在安裝時要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，有多少種不同的安裝方法？114種三、混合問題，先“組”后“排”例5對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有種可能？解：由題意知前5次測試恰有4次測到次品，且第5次測試是次品。故有：種可能。變式1.10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（1）4只鞋子恰有兩雙；（2）4只鞋子沒有成雙的；（3）4只鞋子只有一雙。分析:(1)因為4只鞋來自2雙鞋,所以有(2)因為4只鞋來自4雙不同的鞋,而從10雙鞋中取4雙有種方法,每雙鞋中可取左邊一只也可取右邊一只,各有種取法,所以一共有種取法.(3)因為4只鞋來自3雙鞋,而從10雙鞋中取3雙有種取法,3雙鞋中取出1雙有種方法,另2雙鞋中各取1只有種方法故共有種取法.變式2：有4個不同的球和4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)。（假設盒子足夠大）（1）共有幾種放法？（2）每盒恰有1個球，有幾種放法？（3）恰有1個盒內(nèi)放2個球，有幾種放法？（4）恰有2個盒子不放球，有幾種放法？（5）每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？（6）把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？四、分類組合,隔板處理例6、從6個學校中選出30名學生參加數(shù)學競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?分析:問題相當于把個30相同球放入6個不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類問可用“隔板法”處理.解:采用“隔板法”得:變式1:將7只相同的小球全部放入4個不同盒子，每盒至少1球的放法有多少種？變式2:將7只相同的小球全部放入4個不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少種？變式：如下圖所示,有5橫8豎構(gòu)成的方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不同的路線?解:如圖所示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7將一條路經(jīng)抽象為如下的一個排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四個↑和七個→組成!所以,四個↑和七個→一個排序就對應一條路經(jīng),所以從A到B共有條不同的路徑.五.消序法(留空法)編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里,每個盒子放一個小球.要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列.六.錯位法：特別當n=2,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.例6.編號為1至6的6個小球放入編號為1至6的6個盒子里,每個盒子放一個小球,其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有____種.解：選取編號相同的兩組球和盒子的方法有種,其余4組球與盒子需錯位排列有9種放法.故所求方法有15×9＝135種.七.剔除法從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.例7.從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標原點的直線有_________條.解：所有這樣的直線共有條，其中不過原點的直線有條，∴所得的經(jīng)過坐標原點的直線有210-180＝30條.排列組合應用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應用題時，要注意使用相關(guān)知識對答案進行取舍.

例8.“抗震救災，眾志成城”，在我國甘肅舟曲的抗震救災中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴某災區(qū)救災，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？[規(guī)范解答](1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有種選法，所以共有種抽調(diào)方法.(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法，方法一(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家，共有C42·C64種選法；②選3名外科專家，共有C43·C63種選法；③選4名外科專家，共有C44·C62種選法；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有C42·C64＋C43·C63＋C44·C62＝185種抽調(diào)方法.方法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有種選法，考慮選取1名外科專家參加，有種選法；沒有外科專家參加，有種選法，所以共有：種抽調(diào)方法.(3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類解答．①沒有外科專家參加，有C66種選法；②有1名外科專家參加，有C41·C65種選法；③有2名外科專家參加，有C42·C64種選法.所以共有C66＋C41·C65＋C42·C64＝115種抽調(diào)方法.[題后感悟]解答有限制條件的組合問題的基本方法：課堂練習：2、從6位同學中選出4位參加一個座談會，要求張、王兩人中至多有一個人參加，則有不同的選法種數(shù)為

。3、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選5人組成一個醫(yī)療隊，如果其中至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù)為（）4、從7人中選出3人分別擔任學習委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（）1、把6個學生分到一個工廠的三個車間實習，每個車間2人，若甲必須分到一車間，乙和丙不能分到二車間，則不同的分法有

種。99CD課堂練習：5、4個學生和3個老師排成一排照相，老師不能排兩端，且老師必須排在一起的不同排法種數(shù)是（）A.B.C.D.D6、計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，那么不同的陳列方式有（）B7、在7名運動員中選出4名組成接力隊，參加4×100米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？8:9件不同的玩具，按下列方案有幾種分法？1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少種分法？2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少種分法？3.每人3件，有多少種分法？4.平均分成三堆，有多少種分法？5.分為2、2、2、3四堆，有多少種分法？解：①②③④⑤2、求的值4、求C2+C3+C4+C5+C6+…+C100的值

222222作業(yè)：1、

C100－C9990

893、已知,求x的值C12=

C11

+

C1177

x=（）A、C10011B、C999D、C10012C、C99105、求的值1．解組合應用題的總體思路(1)考查順序