第九屆高級非線性培訓(xùn)一維和有限元演示文稿

第九屆高級非線性培訓(xùn)一維和有限元演示文稿當(dāng)前第1頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)優(yōu)選第九屆高級非線性培訓(xùn)一維和有限元當(dāng)前第2頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)1引言

當(dāng)前第3頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)1引言

非線性連續(xù)體一維模型（桿）的有限元方程在固體力學(xué)中，Lagrangian網(wǎng)格是最普遍應(yīng)用的，其吸引力在于它們能夠很容易地處理復(fù)雜的邊界條件，并且能夠跟蹤材料點(diǎn)，因此能夠精確地描述依賴于歷史的材料。在Lagrangian有限元的發(fā)展中，一般采用兩種方法：以Lagrangian度量的形式表述應(yīng)力和應(yīng)變的公式，導(dǎo)數(shù)和積分運(yùn)算采用相應(yīng)的Lagrangian（材料）坐標(biāo)X，稱為TotalLagrangian格式（TL）。2.以Eulerian度量的形式表述應(yīng)力和應(yīng)變的公式，導(dǎo)數(shù)和積分運(yùn)算采用相應(yīng)的Eulerian（空間）坐標(biāo)x，稱為UpdatedLagrangian格式（UL）。非線性與線性公式的主要區(qū)別是非線性需要定義積分賦值的坐標(biāo)系（構(gòu)形）和確定選擇應(yīng)力和應(yīng)變的度量。當(dāng)前第4頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)非線性兩種格式的主要區(qū)別在于：TL，在初始構(gòu)形上描述變量，UL，在當(dāng)前構(gòu)形上描述變量。不同的應(yīng)力和變形度量分別應(yīng)用在這兩種格式中。TL，習(xí)慣于采用一個(gè)應(yīng)變的完全度量，UL，常常采用應(yīng)變的率度量。這些并不是格式的固有特點(diǎn)，在UL中采用應(yīng)變的完全度量是可能的，并且在TL中可以采用應(yīng)變的率度量。盡管TL和UL表面看來有很大區(qū)別，兩種格式的力學(xué)本質(zhì)是相同的；因此，TL可以轉(zhuǎn)換為UL，反之亦然。1引言

當(dāng)前第5頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)

對于每一種公式，將建立動量方程的弱形式，即虛功原理（或虛功）。這種弱形式是通過對變分項(xiàng)與動量方程的乘積進(jìn)行積分來建立。在TL格式中，積分在X坐標(biāo)上進(jìn)行；在Eulerian和UL格式中，積分在x上進(jìn)行。我們將說明如何處理力邊界條件，因此近似（試）解不需要滿足力邊界條件。這個(gè)過程與在線性有限元分析中的過程是一致的，在非線性公式中的主要區(qū)別是需要定義積分賦值的坐標(biāo)系和確定選擇應(yīng)力和應(yīng)變的度量。1引言

推導(dǎo)有限元近似計(jì)算的離散方程。對于考慮加速度（動力學(xué)）或那些包含率相關(guān)材料的問題，推導(dǎo)離散有限元方程為普通微分方程（ODEs）。因?yàn)橛邢拊獌H將空間微分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為離散形式，而沒有對時(shí)間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，這個(gè)空間的離散過程稱為半離散化。對于靜力學(xué)與率無關(guān)材料問題，離散方程獨(dú)立于時(shí)間，有限元離散將導(dǎo)致一組非線性代數(shù)方程。當(dāng)前第6頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)2完全的Lagrangian格式當(dāng)前第7頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)2.2TL的控制方程初始構(gòu)形參考構(gòu)形當(dāng)前構(gòu)形變形構(gòu)形2完全的Lagrangian格式當(dāng)前第8頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)物體的運(yùn)動由Lagrangian坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)描述是在初始域與當(dāng)前域之間的映射

當(dāng)材料坐標(biāo)在初始位置

2完全的Lagrangian格式位移差

或者

變形梯度

偏微分的意義？

當(dāng)前第9頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)2完全的Lagrangian格式定義Jacobian：作為變形物體的無限小體積相對于變形前物體微段體積的比值

應(yīng)變的度量

在變形前構(gòu)形中上式為零，它等效于工程應(yīng)變

應(yīng)力的度量

Cauchy應(yīng)力

名義應(yīng)力

在多維上沒有工程應(yīng)力的定義。

工程應(yīng)力

物理應(yīng)力

初始值，J0＝1當(dāng)前第10頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)2完全的Lagrangian格式推導(dǎo)方程應(yīng)用下面方程推導(dǎo)非線性桿：

1.質(zhì)量守恒

2.動量守恒

3.能量守恒

4.變形度量：應(yīng)變-位移方程

5.本構(gòu)方程：應(yīng)力-變形度量的關(guān)系

另外，要求變形保持連續(xù)性，稱為協(xié)調(diào)性要求。當(dāng)前第11頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)質(zhì)量守恒

2完全的Lagrangian格式對于Lagrangian格式，質(zhì)量守恒方程為對于一維桿動量守恒

由名義應(yīng)力P和Lagrangian坐標(biāo)給出(單位長度的力)

如果初始橫截面面積A0在空間保持常數(shù)，則動量方程成為應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量

b－單位質(zhì)量的力－體力

當(dāng)前第12頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)平衡方程

2完全的Lagrangian格式平衡意味著物體處于靜止或者以勻速運(yùn)動

能量守恒

內(nèi)部功率由變形率的梯度和名義應(yīng)力P的乘積給出

本構(gòu)方程

不計(jì)慣性力，則動量方程成為平衡方程etc.

表示影響應(yīng)力的其他變量，如溫度，夾雜等。

是變形歷史的函數(shù)。

完全形式

率形式

當(dāng)前第13頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)2完全的Lagrangian格式本構(gòu)方程的例子

1)線彈性材料

完全形式

率形式

2)線性粘彈性材料

etc.

表示影響應(yīng)力的其他變量，如溫度，夾雜等。

是變形歷史的函數(shù)。

完全形式

率形式

當(dāng)前第14頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)2完全的Lagrangian格式邊界條件

位移邊界

力邊界n0單位法線（＋,－）

一端固定一端自由桿

邊界條件滿足

初始條件

動量方程是關(guān)于X二階的(偏微分方程)。因此在每一端，必須描述u或者作為邊界條件。當(dāng)前第15頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)內(nèi)部連續(xù)條件

跳躍條件函數(shù)的連續(xù)性

如果函數(shù)的第n階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)，該函數(shù)為連續(xù)函數(shù)是連續(xù)可導(dǎo)的(它的一階導(dǎo)數(shù)存在并且處處連續(xù))在函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)只是分段可導(dǎo)，一維函數(shù)不連續(xù)發(fā)生在點(diǎn)上，二維函數(shù)不連續(xù)發(fā)生在線段上，三維函數(shù)不連續(xù)發(fā)生在面上。

函數(shù)本身不連續(xù)，xi是不連續(xù)點(diǎn)。動量平衡要求式中[[f]]表示在f(x)中的跳躍，即如在材料界面處，應(yīng)變不連續(xù)，需要補(bǔ)充該條件，跳躍函數(shù)給出內(nèi)部連續(xù)條件當(dāng)前第16頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)關(guān)于泛函和變分的概念變

量函數(shù)函數(shù)泛函

泛函－函數(shù)的函數(shù)（functional,functionoffunction)當(dāng)虛位移是真實(shí)位移的增量時(shí)，虛位移原理We＝V中的V就是泛函V的變分。微分是函數(shù)的增量，變分是泛函的增量。w(x)是x函數(shù)V(w(x))是w(x)的泛函當(dāng)前第17頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)

自然變分原理是對物理問題的微分方程和邊界條件建立對應(yīng)的泛函，使泛函取駐值得到問題的解答，但是其未知場函數(shù)需要滿足一定的附加條件。

廣義變分原理（或稱約束變分方程）不需要事先滿足附加條件，采用Lagrange乘子法和罰函數(shù)法將附加條件引入泛函，重新構(gòu)造一個(gè)修正泛函，將問題轉(zhuǎn)化為求修正泛函的駐值。稱為無附加條件的變分原理。(如第10章的接觸弱形式）對于罰函數(shù)方法，將罰參數(shù)取正值，對修正泛函得到的近似解只是近似地滿足附加條件，罰參數(shù)值越大，附加條件的滿足程度就越好。而在實(shí)際計(jì)算中，罰函數(shù)只能取有限值，所以利用罰函數(shù)求解只能得到近似解。2完全的Lagrangian格式當(dāng)前第18頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)

有限元方法不能直接離散動量方程。為了離散這個(gè)方程，需要一種弱形式(weakform)，稱為變分形式，即虛功原理或者虛功率，通過對變分項(xiàng)與動量方程的乘積進(jìn)行積分來建立的。虛功原理或者弱形式是等價(jià)于動量方程和力邊界條件的。后者稱為經(jīng)典強(qiáng)形式。有限元的理論基礎(chǔ)是泛函、變分和虛功原理。2完全的Lagrangian格式2.3TL的弱形式強(qiáng)形式到弱形式弱形式到強(qiáng)形式當(dāng)前第19頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)

對于動量方程和力邊界條件,現(xiàn)在建立弱形式，要求：滿足所有位移邊界條件并足夠平滑，因此確切定義了動量方程中的所有導(dǎo)數(shù)。也假設(shè)足夠光滑，這樣確切定義了所有的后續(xù)步驟，并在指定的位移邊界條件上為零。這是標(biāo)準(zhǔn)和經(jīng)典的建立弱形式的方法。盡管它所導(dǎo)致的連續(xù)性要求比在有限元近似中更加嚴(yán)格，在看到以較少的強(qiáng)制連續(xù)性要求所得到的結(jié)論之前，仍采用這種方法。2完全的Lagrangian格式試函數(shù)變分項(xiàng)強(qiáng)形式到弱形式當(dāng)前第20頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)取動量方程與變分項(xiàng)的乘積并在全域內(nèi)積分得到弱形式，給出

2完全的Lagrangian格式強(qiáng)形式到弱形式名義應(yīng)力P是一個(gè)試位移函數(shù)。展開第一項(xiàng)乘積的導(dǎo)數(shù)，整理得到分布積分在指定位移邊界處變分項(xiàng)消失，第二行服從邊界互補(bǔ)條件和力邊界條件。給出完全的Lagrangian格式的動量方程和力邊界條件的弱形式

當(dāng)前第21頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)問：為什么消除關(guān)于應(yīng)力P的導(dǎo)數(shù)？答：在這種弱形式中出現(xiàn)了應(yīng)力的空間導(dǎo)數(shù)，由本構(gòu)關(guān)系，應(yīng)力是連續(xù)函數(shù)，也應(yīng)該是位移的導(dǎo)數(shù)的平滑函數(shù)，如果應(yīng)力是C1連續(xù)，位移和速度就不得不是C2函數(shù)；在高于一維的情況下C2函數(shù)是不容易構(gòu)造的。而且，不得不隨之構(gòu)造C2試函數(shù)以便于滿足面力邊界條件，這也是困難的。通過分部積分消去應(yīng)力的導(dǎo)數(shù)，結(jié)果是對應(yīng)力函數(shù)降低了平滑性，可以是C0函數(shù)。在線性化方程中也導(dǎo)致了某些對稱性，這將在第6章中見到。另外，消除了關(guān)于應(yīng)力P的導(dǎo)數(shù)，補(bǔ)充了力邊界條件項(xiàng)(第4項(xiàng))，否則，力邊界條件不得不施加在試位移函數(shù)P上(第1項(xiàng))。建立弱形式中的關(guān)鍵步驟是分部積分：d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx當(dāng)前第22頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)弱形式到強(qiáng)形式2完全的Lagrangian格式弱形式給出

由虛位移的任意性，試證明得到強(qiáng)形式

(參考節(jié))：動量方程力邊界條件內(nèi)部連續(xù)條件

如果允許較低平滑的變分項(xiàng)和試函數(shù)，在強(qiáng)形式中將附加一個(gè)方程－內(nèi)部連續(xù)條件。如果選取的變分項(xiàng)和試函數(shù)滿足較高的平滑條件，在強(qiáng)形式中則沒有內(nèi)部連續(xù)條件。當(dāng)前第23頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)

對于平滑的變分項(xiàng)和試函數(shù)，弱形式僅采用動量方程和力邊界條件。

較低平滑性要求的變分項(xiàng)和試函數(shù)僅是連續(xù)，需要處理在橫截面上和材料參數(shù)中的不連續(xù)點(diǎn)。

在材料界面處，應(yīng)變，即位移場的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的，因此，經(jīng)典強(qiáng)形式是不適用的，因?yàn)樗僭O(shè)任何點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)是唯一定義的。采用粗糙的變分項(xiàng)和試函數(shù)，在這些界面上自然出現(xiàn)附加條件－內(nèi)部連續(xù)條件。在TL弱形式中，所有的積分都是在材料域上進(jìn)行，比如參考構(gòu)形。由于求導(dǎo)是對材料坐標(biāo)X進(jìn)行，所以在材料域上應(yīng)用分部積分是最方便的。2完全的Lagrangian格式當(dāng)前第24頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)2完全的Lagrangian格式虛功項(xiàng)的物理名稱

外力虛功內(nèi)力虛功慣性虛功虛功原理

虛功方程是動量方程、力邊界條件和應(yīng)力跳躍條件的弱形式。當(dāng)前第25頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)

弱形式中包含強(qiáng)形式，強(qiáng)形式中包含弱形式，所以弱和強(qiáng)形式是等價(jià)的。對于動量方程，強(qiáng)和弱形式的這種等價(jià)稱為虛功原理。2完全的Lagrangian格式當(dāng)前第26頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)

以弱形式作為虛功表達(dá)式的觀點(diǎn)提供了統(tǒng)一性，對于在不同坐標(biāo)系上和不同類型問題中建立弱形式是很有用途的：為了獲得弱形式，只需要寫出虛能量方程。因此，可以避免前面所做的由變分項(xiàng)與方程相乘并進(jìn)行各種處理的過程。

從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看，沒有必要考慮變分函數(shù)作為虛位移：它們是簡單的變分函數(shù)，滿足連續(xù)條件和在位移邊界上為零。對于有限元方程的離散，變分函數(shù)與方程的乘積沒有物理意義。但是，對于物理問題滿足自然變分原理還是有其科學(xué)意義的。

建立弱形式中的關(guān)鍵步驟是分部積分，從而消除了關(guān)于應(yīng)力P的導(dǎo)數(shù)。如果沒有這一步，力邊界條件就不得不強(qiáng)加在試函數(shù)上，或構(gòu)造C1的應(yīng)力場函數(shù)；作為弱形式，由分部積分和降低對應(yīng)力和試位移函數(shù)平滑性的要求（如C0）是更方便的。2完全的Lagrangian格式當(dāng)前第27頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)3有限元離散，單元和總體矩陣當(dāng)前第28頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)3.1TL的有限元離散有限元近似

通過對變分項(xiàng)和試函數(shù)應(yīng)用有限元插值，由虛功原理得到有限元模型的離散方程。

有限元試函數(shù)

是連續(xù)插值函數(shù)，稱為形函數(shù)。形函數(shù)滿足條件：是Kroneckerdelta或單位矩陣：當(dāng)I=J時(shí)；當(dāng)IJ時(shí)；運(yùn)動學(xué)條件，試函數(shù)u要滿足連續(xù)性和位移邊界條件。方程表示變量分離：解的空間相關(guān)性由形函數(shù)表示，而時(shí)間相關(guān)性歸屬于節(jié)點(diǎn)變量。3有限元離散，單元和總體矩陣當(dāng)前第29頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力

3有限元離散，單元和總體矩陣為了建立有限元方程，要為每個(gè)虛功項(xiàng)定義節(jié)點(diǎn)力

外力虛功內(nèi)力虛功慣性虛功這些名稱給節(jié)點(diǎn)力賦予了物理意義：內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力對應(yīng)于在材料內(nèi)部的應(yīng)力，外部節(jié)點(diǎn)力對應(yīng)于外部施加的荷載，動態(tài)或慣性節(jié)點(diǎn)力對應(yīng)于慣性力。節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移是功共軛的，一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移增量與節(jié)點(diǎn)力的標(biāo)量積給出功的增量，一旦違背，質(zhì)量和剛度矩陣的對稱性將被破壞。當(dāng)前第30頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)節(jié)點(diǎn)力

內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力是由固體對變形的阻力而引起的節(jié)點(diǎn)力；

外部節(jié)點(diǎn)力

慣性節(jié)點(diǎn)力

3有限元離散，單元和總體矩陣每一個(gè)虛功項(xiàng)的節(jié)點(diǎn)力表達(dá)式代入虛功原理給出由于的任意性，在所有節(jié)點(diǎn)除了位移邊界外，即節(jié)點(diǎn)1，它服從

當(dāng)前第31頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)運(yùn)動方程－半離散方程

3有限元離散，單元和總體矩陣

在模型中，節(jié)點(diǎn)1的加速度并不是未知的，它是一個(gè)給定位移的節(jié)點(diǎn)?？梢酝ㄟ^給定節(jié)點(diǎn)位移對時(shí)間求二次導(dǎo)數(shù)，得到給定位移節(jié)點(diǎn)的加速度。這個(gè)給定的位移必須足夠光滑，可求導(dǎo)二次；這要求它是時(shí)間的C1函數(shù)。MIJ－J處位移對I處慣性力貢獻(xiàn)的質(zhì)量。

在矩陣形式中，不能簡單地表示給定位移邊界條件，所以必須考慮指標(biāo)形式(上式)以補(bǔ)充。

如果質(zhì)量矩陣不是對角陣時(shí)，給定邊界位移對不在邊界的節(jié)點(diǎn)也作貢獻(xiàn)；對于對角質(zhì)量陣，不出現(xiàn)下式右端項(xiàng)。

當(dāng)前第32頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)運(yùn)動方程－半離散方程

3有限元離散，單元和總體矩陣

從弱形式的一致性推導(dǎo)出的質(zhì)量矩陣稱為一致質(zhì)量矩陣。在許多應(yīng)用中，采用對角質(zhì)量矩陣(集中質(zhì)量矩陣)更有優(yōu)勢。質(zhì)量矩陣對角化的過程是相當(dāng)特殊的，這些過程沒有理論。最常用的一種過程是對矩陣的行求和式中用到了這樣的事實(shí)，形函數(shù)對行求和必須等于1。這種對角化的過程使物體的總動量守恒，例如對于任意的節(jié)點(diǎn)速度，對角質(zhì)量的系統(tǒng)動量應(yīng)該等價(jià)于一致質(zhì)量的系統(tǒng)動量：對角質(zhì)量矩陣也可以由下式賦值當(dāng)前第33頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)

運(yùn)動方程在空間是離散的，在時(shí)間上是連續(xù)的，有時(shí)簡稱離散方程。在有限元離散中，質(zhì)量矩陣常常為非對角陣(一致質(zhì)量矩陣)，此時(shí)運(yùn)動方程區(qū)別于牛頓第二定律，當(dāng)MIJ≠0時(shí)，節(jié)點(diǎn)J處的力可以在節(jié)點(diǎn)I處產(chǎn)生加速度。而集中質(zhì)量矩陣的運(yùn)動方程等價(jià)于牛頓第二定律。3有限元離散，單元和總體矩陣上式為在質(zhì)點(diǎn)I上的靜力。由牛頓第三定律，作用在節(jié)點(diǎn)上的力大小相等，而方向相反，因此內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力需要一個(gè)負(fù)號。

運(yùn)動方程－半離散方程(矩陣形式)

當(dāng)前第34頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)單元和總體矩陣

在有限元程序中，通常以一個(gè)單元水平計(jì)算節(jié)點(diǎn)力和質(zhì)量矩陣，將單元節(jié)點(diǎn)力結(jié)合入總體矩陣，稱為集合或矢量組合。

組合單元的質(zhì)量矩陣和其它方陣到總體矩陣，稱為矩陣裝配。

通過計(jì)算可以從總體矩陣中提取單元節(jié)點(diǎn)位移，稱為離散。3有限元離散，單元和總體矩陣當(dāng)前第35頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)2節(jié)點(diǎn)單元一維網(wǎng)格的集合和離散運(yùn)算的描述，兩組單元，計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移：位移根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)編號離散；計(jì)算節(jié)點(diǎn)力：節(jié)點(diǎn)力根據(jù)節(jié)點(diǎn)編號返回總體力矩陣。3有限元離散，單元和總體矩陣當(dāng)前第36頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)2節(jié)點(diǎn)單元一維網(wǎng)格的單元形函數(shù)Ne(X)和總體形函數(shù)N(X)3有限元離散，單元和總體矩陣單元節(jié)點(diǎn)位移與總體節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為

Le為連接矩陣。類似的獲得單元節(jié)點(diǎn)力。

應(yīng)用連接矩陣還可以建立單元形函數(shù)和總體形函數(shù)之間的關(guān)系，總體位移場可以由所有單元的位移求和得到：對單元形函數(shù)求和得到總體形函數(shù)

當(dāng)前第37頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)3有限元離散，單元和總體矩陣當(dāng)前第38頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)例題2.12節(jié)點(diǎn)線性位移單元

3有限元離散，單元和總體矩陣單元的初始長度為l0，橫截面面積為常數(shù)A0，隨時(shí)間變形后，長度為

l(t)，面積為A(t)，位移場，應(yīng)變和B0矩陣：由線性插值和材料坐標(biāo)式中，當(dāng)前第39頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)3有限元離散，單元和總體矩陣以節(jié)點(diǎn)位移的形式為應(yīng)變度量賦值由上式定義B0矩陣節(jié)點(diǎn)內(nèi)力：假定橫截面面積和名義應(yīng)力P

為常數(shù)，被積函數(shù)是常數(shù)，則有單元節(jié)點(diǎn)力大小相等、方向相反，滿足單元平衡。單元節(jié)點(diǎn)力的平衡性質(zhì)應(yīng)用于所有發(fā)生移動但沒有變形的單元，但不能應(yīng)用于軸對稱單元。因?yàn)?，?jié)點(diǎn)力等于單元承擔(dān)的載荷T。當(dāng)前第40頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)3有限元離散，單元和總體矩陣節(jié)點(diǎn)外力：如果用線性Lagrange插值近似體積力，，則有代入上面公式，取A0為常數(shù)，得到節(jié)點(diǎn)外力值當(dāng)前第41頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)3有限元離散，單元和總體矩陣單元質(zhì)量矩陣：上式表明質(zhì)量矩陣與時(shí)間無關(guān)，它僅取決于初始密度，初始橫截面面積和初始長度。由對行求和技術(shù)的公式得到對角質(zhì)量矩陣為上式表明在2節(jié)點(diǎn)桿單元的對角質(zhì)量矩陣中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)分配單元的一半質(zhì)量。稱其為集中質(zhì)量矩陣，每個(gè)節(jié)點(diǎn)集中一半的質(zhì)量。當(dāng)前第42頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4更新的Lagrangian格式當(dāng)前第43頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4.1UL的控制方程初始構(gòu)形參考構(gòu)形當(dāng)前構(gòu)形變形構(gòu)形4更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，單元方程當(dāng)前第44頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，單元方程UL格式是TL格式的一個(gè)簡單轉(zhuǎn)換。在數(shù)值上，離散方程是相同的，而實(shí)際在同一程序中，對某些節(jié)點(diǎn)力我們可以應(yīng)用TL格式，而對其它的節(jié)點(diǎn)力應(yīng)用UL格式。為什么采用兩種方法，而它們基本上是一致的。4.1UL的控制方程

主要原因是它們都在被廣泛地應(yīng)用，因此，為了理解程序和文獻(xiàn)，有必要熟悉兩種格式。

當(dāng)前第45頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)應(yīng)變的度量由變形率給出

應(yīng)力的度量

Cauchy應(yīng)力

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.1UL的控制方程以Eulerian坐標(biāo)表述相關(guān)變量，空間坐標(biāo)速度應(yīng)變

UL格式的兩個(gè)相關(guān)變量－速度和Cauchy應(yīng)力

當(dāng)前第46頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)質(zhì)量守恒

對于桿

動量守恒

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程能量守恒

－熱流量－熱源本構(gòu)方程

變形度量

4.1UL的控制方程當(dāng)前第47頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)邊界條件

速度邊界等價(jià)位移邊界

力邊界n

單位法線（＋,－）

一端固定一端自由桿

邊界條件滿足

初始條件

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.1UL的控制方程當(dāng)前第48頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.2UL的弱形式由動量方程乘以變分函數(shù)

弱形式－虛功率原理

強(qiáng)形式－虛功率原理的逆過程：動量方程， 力邊界條件 內(nèi)部連續(xù)條件

積分在當(dāng)前域上完成

當(dāng)前第49頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.2UL的弱形式內(nèi)部虛功率

外力虛功率

慣性力虛功率

弱形式

當(dāng)前第50頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程

在一個(gè)單元的水平上建立方程，通過裝配獲得總體方程。相關(guān)變量為速度和應(yīng)力。建立本構(gòu)方程、質(zhì)量守恒方程，動量方程。由于質(zhì)量守恒是一個(gè)代數(shù)方程，可以容易地計(jì)算任意一點(diǎn)的密度。建立半離散方程。單元的速度場為單元的加速度場為

將形函數(shù)表示成為材料坐標(biāo)的函數(shù)是非常關(guān)鍵的，它與時(shí)間無關(guān)，可分離變量求解。如果將形函數(shù)由Eulerian坐標(biāo)表示為形函數(shù)的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)不為零（注意與TL區(qū)別），并且不能將加速度表示為同樣形函數(shù)與節(jié)點(diǎn)加速度乘積的形式。

當(dāng)前第51頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程Eulerian坐標(biāo)與單元坐標(biāo)之間的映射為

當(dāng)前第52頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)位移可以由相同的形函數(shù)進(jìn)行插值

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程

形函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，通過位移的導(dǎo)數(shù)得到速度和加速度，它們與變分函數(shù)都可以由同一形函數(shù)給出。變形率可以表示為形函數(shù)的形式為當(dāng)前第53頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程通過B矩陣，將變形率表示為節(jié)點(diǎn)速度的形式變形率可以表示為形函數(shù)的形式為形函數(shù)的空間導(dǎo)數(shù)由鏈規(guī)則得到

當(dāng)前第54頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程

與TL格式相同，在UL格式中，質(zhì)量矩陣不隨時(shí)間變化，在程序中僅計(jì)算一次即可。當(dāng)前第55頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元以單元坐標(biāo)的形式寫出位移和速度場

單元坐標(biāo)當(dāng)前第56頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)以單元坐標(biāo)的形式寫出位移和速度場

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元其中:

B矩陣為

變形率給出

當(dāng)前第57頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元變形率

如果是常數(shù)，單元中的變形率是線性地變化，這是節(jié)點(diǎn)2位于其它兩節(jié)點(diǎn)中間時(shí)的一種情況(

)。然而，當(dāng)由于單元的畸變，節(jié)點(diǎn)2偏離中間位置時(shí)，成為的線性函數(shù)，而變形率成為一個(gè)有理函數(shù)。而當(dāng)節(jié)點(diǎn)2從中間移開時(shí)，有可能成為負(fù)數(shù)，或?yàn)榱?，在這種情況下，空間坐標(biāo)和單元坐標(biāo)的映射將不再一一對應(yīng)。當(dāng)前第58頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力

其中

這個(gè)表達(dá)式與TL格式的內(nèi)力表達(dá)式是相同的。當(dāng)前第59頁\共有68頁\編于星期六\16點(diǎn)例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元-檢查網(wǎng)格畸變當(dāng)單元的節(jié)點(diǎn)2位于離節(jié)點(diǎn)1的1/4單元長度時(shí)

在

有

Jacobian

在該點(diǎn)處的當(dāng)前密度為無窮大。若節(jié)點(diǎn)2移動并接近節(jié)點(diǎn)1，在部分單元上J<0，這意味著是負(fù)密度值,違背了質(zhì)量守恒。這些情況經(jīng)常隱藏在數(shù)值積分中，因?yàn)樵诟?/p>