第三講完全信息動(dòng)態(tài)博弈課件

一、子博弈精煉納什均衡

子博弈精煉納什均衡的創(chuàng)立者.——1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)?、萊茵哈德·澤爾騰。

澤爾騰則在60年代中期將納什均衡概念引入動(dòng)態(tài)分析。在1965年發(fā)表《需求減少條件下寡頭壟斷模型的對(duì)策論描述》一文，提出了“子博弈精煉納什均衡”的概念，又稱“子對(duì)策完美納什均衡”。這一研究對(duì)納什均衡進(jìn)行了第一次改進(jìn)，選擇了更具說(shuō)服力的均衡點(diǎn)。海薩尼在60年代末把不完全信息引入博弈分析。

將納什均衡中包含的不可置信的威脅策略剔除出去。它要求參與者的決策在任何時(shí)點(diǎn)上都是最優(yōu)的，決策者要“隨機(jī)應(yīng)變”，“向前看”，而不是固守舊略。

由于剔除了不可置信的威脅，在許多情況下，精煉納什均衡也就縮小了納什均衡的個(gè)數(shù)。這一點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)分析是非常有意義的。

用動(dòng)態(tài)博弈理論來(lái)討論實(shí)際究竟發(fā)生哪個(gè)納什均衡。

只有當(dāng)參與人的策略在每一個(gè)子博弈中都構(gòu)成納什均衡叫做精煉納什均衡?；蛘哒f(shuō)，組成精煉納什均衡的策略必須在每一個(gè)子博弈中都是最優(yōu)的。在動(dòng)態(tài)博弈中，參與人的行動(dòng)有先后順序，后行動(dòng)的參與人在自己行動(dòng)之前就可以觀察到先行動(dòng)者（參與人）的行為，并在此基礎(chǔ)上選擇相應(yīng)的策略。而且，由于先行動(dòng)者擁有后行動(dòng)者可能選擇策略的完全信息，因而先行動(dòng)者在選擇自己的策略時(shí)，就可以預(yù)先考慮自己的選擇對(duì)后行動(dòng)者選擇的影響，并采取相應(yīng)的對(duì)策。我們關(guān)于房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)的例子，討論子博弈精煉納什均衡。表3－1給出了靜態(tài)條件下雙方參與人的收益情況。表3－1房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)博弈（靜態(tài)）的收益矩陣

從表3－1可以知道，該博弈有兩個(gè)納什均衡，即（Ａ開(kāi)發(fā)，Ｂ不開(kāi)發(fā)）和（Ａ不開(kāi)發(fā)，Ｂ開(kāi)發(fā)），我們無(wú)法確定是開(kāi)發(fā)商Ａ選擇開(kāi)發(fā)，開(kāi)發(fā)商Ｂ選擇不開(kāi)發(fā)，還是恰恰相反的結(jié)果。

現(xiàn)在，我們討論動(dòng)態(tài)博弈。假定房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商Ａ是先行動(dòng)者。在行動(dòng)之前，開(kāi)發(fā)商Ａ對(duì)對(duì)手開(kāi)發(fā)商Ｂ的策略進(jìn)行了預(yù)測(cè)。在行動(dòng)開(kāi)始之前的Ａ看來(lái)，如果不計(jì)得失，Ｂ有四種策略可供選擇：策略一：無(wú)論Ａ是否選擇開(kāi)發(fā)，Ｂ選擇開(kāi)發(fā)。策略二：若Ａ選擇開(kāi)發(fā)，Ｂ也選擇開(kāi)發(fā)；若Ａ選擇不開(kāi)發(fā)，Ｂ也選擇不開(kāi)發(fā)。策略三：若Ａ選擇開(kāi)發(fā)，Ｂ就選擇不開(kāi)發(fā)；若Ａ選擇不開(kāi)發(fā)，Ｂ就選擇開(kāi)發(fā)。策略四：無(wú)論Ａ是否選擇開(kāi)發(fā)，Ｂ都選擇不開(kāi)發(fā)。在表3－1的基礎(chǔ)上，結(jié)合Ａ先行動(dòng)，Ｂ可能選擇的四種策略，不難得出表3－2。表3－2先行動(dòng)者Ａ對(duì)Ｂ預(yù)測(cè)結(jié)果的收益矩陣第一列為策略一收益展示（也就是說(shuō)第一列兩個(gè)收益組合對(duì)應(yīng)策略一），第二列為策略二收益展示，以此類推

由表3－2可以看出，在開(kāi)發(fā)商Ａ先行動(dòng)的情況下，開(kāi)發(fā)商Ｂ可供選擇的策略中，策略一只包括了上述兩個(gè)納什均衡中的后一種均衡，即（Ａ不開(kāi)發(fā)，Ｂ開(kāi)發(fā)），而沒(méi)有包括前一種納什均衡，即（Ａ開(kāi)發(fā)，Ｂ不開(kāi)發(fā)）；策略二上述兩種納什均衡都沒(méi)有包括；策略四只包括了上述兩種納什均衡中的前一種均衡，即（Ａ開(kāi)發(fā)，Ｂ不開(kāi)發(fā)），而未包括后一種納什均衡，即（Ａ不開(kāi)發(fā)，Ｂ開(kāi)發(fā)）；只有策略三既包括了上述兩種納什均衡中的前一種均衡，又包括了后一種均衡。也就是說(shuō)，如果Ｂ選擇策略三，那么，無(wú)論Ａ作出什么選擇，Ｂ的回應(yīng)都能達(dá)到納什均衡。反過(guò)來(lái)，在給定Ｂ會(huì)選擇策略三來(lái)回應(yīng)Ａ的選擇的前提下，開(kāi)發(fā)是Ａ的占優(yōu)選擇。因此，Ａ一定會(huì)選擇開(kāi)發(fā)。

以上的分析，就是子博弈精煉納什均衡解的過(guò)程。策略（Ａ開(kāi)發(fā)，Ｂ不開(kāi)發(fā)）就是上述子博弈精煉納什均衡解。所謂“子博弈”（sub-game）是指它本身可以作為一個(gè)獨(dú)立的博弈進(jìn)行分析，它是原博弈的一部分。例如，在表3－1中，每一行或每一列都是整個(gè)博弈的一個(gè)子博弈。而且，任何博弈本身可被稱為自身的一個(gè)子博弈。只有當(dāng)某一策略組合在每一個(gè)子博弈（包括原博弈）上都構(gòu)成一個(gè)納什均衡，這一策略組合才是子博弈精煉納什均衡解。顯然，如果整個(gè)博弈是惟一的子博弈，納什均衡與子博弈精煉納什均衡是完全相同的。二、重復(fù)博弈

上述子博弈精煉納什均衡有這樣一個(gè)特征，這就是，參與人在前一個(gè)階段的行動(dòng)選擇決定了隨后的子博弈的結(jié)構(gòu)。因此，同樣結(jié)構(gòu)的子博弈只出現(xiàn)一次。在上述房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)博弈的例子中，開(kāi)發(fā)商Ａ選擇開(kāi)發(fā)后的子博弈甲不同于開(kāi)發(fā)商Ａ選擇不開(kāi)發(fā)后的子博弈乙，當(dāng)開(kāi)發(fā)商Ａ選擇開(kāi)發(fā)后，子博弈乙就被排除了。這樣的動(dòng)態(tài)博弈稱為“序貫博弈”（sequentialgames）。動(dòng)態(tài)博弈中另一類特殊但非常重要的博弈是所謂的“重復(fù)博弈”（repeatedgames）。顧名思義，重復(fù)博弈是指同樣結(jié)構(gòu)的博弈重復(fù)許多次，其中的每次博弈稱為“階段博弈”（stagegames）

以下我們用一個(gè)產(chǎn)品定價(jià)的例子討論重復(fù)博弈。表3－3給出了一次性完全信息靜態(tài)博弈的收益矩陣。表3－3

產(chǎn)品定價(jià)博弈的收益矩陣

Ａ、Ｂ兩個(gè)參與人都有兩種定價(jià)代選擇：定高價(jià)或定低價(jià)。如果兩個(gè)參與人都定低價(jià)，則每個(gè)參與人的收益均為２０個(gè)單位；如果兩人都定高價(jià)，則每人的收益均為３０個(gè)單位；如果其中某一參與人定低價(jià)，而另一參與人定高價(jià)，則定低價(jià)的參與人有占有更多的市場(chǎng)份額獲得４０個(gè)單位的收益，定高價(jià)的參與人由于失去一部分市場(chǎng)份額而只獲得１０個(gè)單位的收益。顯然，在這個(gè)一次性完全信息靜態(tài)博弈中，兩個(gè)參與人均有占優(yōu)策略，占優(yōu)策略均衡為Ａ、Ｂ雙方都定低價(jià)。如果Ａ、Ｂ之間的定價(jià)博弈是多次進(jìn)行的，那么，問(wèn)題就不是如此簡(jiǎn)單了。我們先來(lái)分析博弈重復(fù)次數(shù)為無(wú)限次的情況。

如果Ａ、Ｂ雙方都選擇合作，都保持定高價(jià)，則雙方在每個(gè)階段的收益均為３０個(gè)單位，記為（３０，３０，３０，…）；如果Ａ、Ｂ中有一方（如Ａ）采取投機(jī)行為，在實(shí)際定價(jià)中選擇不與對(duì)方合作，在第一階段就通過(guò)選擇定價(jià)策略使得選擇高價(jià)策略的對(duì)手Ｂ受損，則受損的一方Ｂ一定會(huì)在第二階段及其以后的定價(jià)中也選擇低價(jià)策略，加以報(bào)復(fù)，這樣一來(lái)，首先選擇不合作的一方Ａ在個(gè)階段的收益為（４０，２０，２０，…），顯然，其總收益遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于合作、維持高價(jià)情況下的總收益。因?yàn)?，首選選擇不合作的一方Ａ，只是在第一階段獲得了“額外”收益，但在以后個(gè)階段的收益將因?yàn)閷?duì)手Ｂ的報(bào)復(fù)性選擇而減少，并且，重復(fù)若干此后，首先選擇不合作的一方Ａ將得不償失。在這里，Ｂ選擇的策略稱為“冷酷策略”（grimstrategies）。冷酷策略是指重復(fù)博弈中的任何參與人的一次性不合作將引起其他參與人的永遠(yuǎn)不合作，從而導(dǎo)致所有參與人的收益減少。因此，所有參與人具有維持合作的積極性。我們?cè)賮?lái)討論博弈重復(fù)次數(shù)為有限時(shí)的情況。重復(fù)次數(shù)有限博弈與重復(fù)次數(shù)無(wú)限博弈之間的惟一區(qū)別，是所有參與人都可以明確無(wú)誤地了解重復(fù)的次數(shù)，即可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到最后一個(gè)階段博弈。而在最后階段的博弈中，任何一個(gè)參與人選擇不合作，不會(huì)導(dǎo)致其他參與人的報(bào)復(fù)。因此，所有參與人都會(huì)在最后階段的博弈中選擇自己的占優(yōu)策略，那就是不合作。上例中，在最后階段博弈中選擇低價(jià)是所有參與人的占優(yōu)策略。既然所有參與人都會(huì)在最后階段選擇不合作，那么，在倒數(shù)第二階段博弈中任何參與人也就沒(méi)有必要擔(dān)心由于自己選擇不合作，導(dǎo)致其他參與人在最后階段博弈中的報(bào)復(fù)。因此所有參與人在倒數(shù)第二階段博弈中，也都會(huì)選擇不合作。即在倒數(shù)第二階段博弈中，所有參與人都會(huì)選擇占優(yōu)策略。由此類推，可以得出以下結(jié)論：在階段性博弈存在惟一的納什均衡時(shí)，階段博弈的納什均衡解就是重復(fù)次數(shù)有限博弈的唯一子博弈精煉納什均衡解。即重復(fù)次數(shù)有限博弈的每個(gè)階段的均衡解都是一次性博弈的納什均衡解。注意，上述推論成立的前提條件是階段性博弈納什均衡的惟一性。例如，在上例中，每個(gè)階段博弈的收益矩陣都與表3－3完全一致，納什均衡都是每個(gè)參與人選擇低價(jià)。三、動(dòng)態(tài)博弈策略行動(dòng)在動(dòng)態(tài)博弈中，由于參與人的行動(dòng)有先后順序，而參與人行動(dòng)順序直接影響博弈的結(jié)果。因此，參與人為了使其他參與人的選擇對(duì)自己有利，往往會(huì)主動(dòng)采取一些行動(dòng)影響其他參與人對(duì)自己行為的預(yù)期，從而達(dá)到對(duì)自己有利的結(jié)果。參與人所采取的這些行為稱之為“策略行”（strategicmove）。

以下通過(guò)兩個(gè)例子加以說(shuō)明。１、先行優(yōu)勢(shì)（first-moveadvantage）所謂現(xiàn)行優(yōu)勢(shì)是指在博弈中首先作出策略選擇并采取相應(yīng)行動(dòng)的參與人可以獲得更多的利益。在上面提到的性別戰(zhàn)中，存在兩個(gè)納什均衡，即男女雙方一起去看足球賽或一起去逛商店。我們無(wú)法確定結(jié)果到底如何。在這種情況下，如果男方首先采取行動(dòng)，在約會(huì)前就買好足球票，就會(huì)對(duì)女方產(chǎn)生影響。女方可能因?yàn)槟蟹降倪@一行動(dòng)表明“男朋友十分想看這場(chǎng)足球比賽”或因“既然已經(jīng)買了票，不看怪可惜”，從而接受雙方一起看足球賽的選擇。２、確信威脅（credible）確信威脅是指博弈的某一參與人通過(guò)承諾某種行動(dòng)改變自己的收益函數(shù)，使得其他參與人認(rèn)為自己的威脅確實(shí)可信，從而迫使其他參與人在充分考慮自己的承諾的情況下作出相應(yīng)的選擇。例如，在上述房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)博弈中，如果房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商Ｂ在房地產(chǎn)開(kāi)始Ａ作出選擇之前就采取行動(dòng)，與客戶簽訂合同，規(guī)定Ｂ在一定期限內(nèi)，向客戶交付一定面積的住房，倘若Ｂ不能按時(shí)履約，則總共賠償客戶６個(gè)單位。在有這樣一個(gè)承諾的情況下，上述表3－1和表3－2就相應(yīng)地變成了表3－4和表3－5。表3－4Ｂ承諾后的腹地開(kāi)