高三數(shù)學(xué)考點(diǎn)-三角函數(shù)模型的應(yīng)用

4.5三角函數(shù)模型的應(yīng)用如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么它就可以借助 來(lái)描述.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)其未來(lái)等方面都發(fā)揮著十分重要的作用.具體的，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，通過(guò)觀察散點(diǎn)圖并進(jìn)行 而獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個(gè)函數(shù)模型來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.y=lsiml是以周期的波浪形曲線.太陽(yáng)高度角0、樓高h(yuǎn)0與此時(shí)樓房在地面的投影長(zhǎng)h之間有如下關(guān)系：.自查自糾1.三角函數(shù)2.周期函數(shù)擬合3.n4.h0=htan。。基礎(chǔ)自測(cè)鈕’已知某人的血壓滿足函數(shù)解析式ft）=24sin160nt+110.其中知）為血壓（mmHg），t為時(shí)間（min），則此人每分鐘心跳的次數(shù)為（）A.60 B.70C.80 D.90解：由題意可得f=T=罕=80.所以此人每分鐘心跳的次數(shù)為80.故選C.j- 匕n愆（2015?陜西）如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)歹=3、苗（務(wù)+0+跟據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（）懷水深A(yù)n*時(shí)間/'hA.5 B.6C.8D.10解：由圖知一3+4=2,k=5,_y=3sin（6x+0+5,.Vmax=3+5=8.故選C.0’電流/（A）隨時(shí)間t（s）變化的函數(shù)關(guān)系式為/=5sin（100n?t+?），則當(dāng)t=^s時(shí)，電流I為（）5A.5AB.2AC.2A D.-5AA1 n.n5解：當(dāng)t=200s時(shí)，電流I為5sin&+矽=2（A）.故選B.?某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y=a+Acos[n（X—6）]（x=1，2,3，…，12）來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28°C，12月份的月平均氣溫最低，為18°C，則10月份的平均氣溫為C.皿八“*, 28+18 28—18 ~ 「兀，、一角牛：題意知，a=2=23,A=2=5,所以y=23+5cos6（X—6）,當(dāng)x=10時(shí)，y=23+5cos@X4）=20.5.故填20.5.

O一物體相對(duì)于某一固定位置的位移y(cm)和時(shí)間，(s)之間的一組對(duì)應(yīng)值如下表所示，則可近似地描述該物體的位移y(cm)和時(shí)間，(s)之間關(guān)系的一個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式為 t/s 00102030405 06 07 08 y/cm .-1 ^28 . 00 . 28 .1 40 . 28 00 . —2.8 —4.0 解：設(shè)y=^sin(^-z+^)，則從表中可以得到A=4,7=0.8,2n2n5n 但，,\所以切=5=0"8=2，所以y=4sin"2t十切，, ，o n又由4sinQ=—4.0，得sin^=—1,取眩=一2,仇，河，5n故y=4sin^yt—刃=—4cos萬(wàn)t.故填y=_4coS^t2觸矣旁遮類型一建立三角模型如圖，某大風(fēng)車的半徑為2m，每12s旋轉(zhuǎn)周，它的最低點(diǎn)如圖，某大風(fēng)車的半徑為2m，每12s旋轉(zhuǎn)低點(diǎn)O開(kāi)始，運(yùn)動(dòng)t(s)后與地面的距離為h(m).求函數(shù)h=f(t)的關(guān)系式;畫出函數(shù)h=f(t)的圖象.解：(1)如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的圓O1的切線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，則h=y+0.5.2—y^ZOO1A=0，則cose=—^-，y=—2cos6+2.2n nt又0=12,t=g，nt nt.(2)列表:t036912h0.52.54.52.50.5所以y=—2cos；+2，h(2)列表:t036912h0.52.54.52.50.5n描點(diǎn)連線，即得函數(shù)h=—2cos^t+2.5的圖象如圖所示:彳如圖是彈簧振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振動(dòng)的位移，則這個(gè)振子振動(dòng)彳如圖是彈簧振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振動(dòng)的位移，則這個(gè)振子振動(dòng)■1-CA/m 2.50.5 O3 6 9 \2盹【點(diǎn)撥】本題主要考查建模能力，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化思想和作圖技能，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵.得9=n得9=n4一2n5 5解：設(shè)函數(shù)解析式為y=Asin(/t+v)(A>0)，則A=2,由圖象知，T=2X(0.5—0.1)=§，所以3=~^=2兀，2"n n 5n,n 5n,nAX0.1+v=2，所以9=4，所以函數(shù)的解析式為y=2sin^y/+4J.故填尸2sin=Y+辦類型二根據(jù)解析式建立圖象模型n已知電流I=Asin伽+9)(A>0,3>0，9|<2)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I=Asin伽+9)的解析式.\180解：由圖象可知，A=300，周期T=2X^180+9qqJ=75，2n , △ 、，1,\一n所以3=t=150n，又由sin"150nX18。+時(shí)=0，且|9|<2,所以I=300sin(150nt+6)【點(diǎn)撥】由函數(shù)y=Asin(3x+9)的圖象確定A，?，9的問(wèn)題時(shí)，常常以“五點(diǎn)法"中的五個(gè)點(diǎn)作為突破口，要善于抓住特殊量和特殊點(diǎn).M(經(jīng)典題)彈簧掛著的小球作上下振動(dòng)，時(shí)間t(s)與小球相對(duì)平衡位置(即靜止時(shí)的位置)的高度h(cm)之n間的函數(shù)關(guān)系式是h=2sin(2t—4)，作［0，+8).

以t為橫坐標(biāo)，力為縱坐標(biāo)，畫出函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖;小球開(kāi)始振動(dòng)的位置在哪里？⑶小球最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的位置及各自距平衡位置的距離分別是多少？小球經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間往復(fù)振動(dòng)一次？小球1s能振動(dòng)多少次？解：(1)畫出h=2sin(2t—額的簡(jiǎn)圖(長(zhǎng)度為一個(gè)周期).按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：tn3n5n7n9n2t-40n兀3n2n2sin(2t一額020—20描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)，即得h=2sin(2t—4j(t，0)在一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖，如圖所示.(2)t=0時(shí)，h=2sin(—5=—寸2，即小球開(kāi)始振動(dòng)時(shí)的位置為(0,—寸2)(平衡位置的下方V2cm處).3n 7n 」3兀7n⑶,二~8+An(AEN)時(shí)，h=2;t=公+切:0EN)時(shí)，h=—2.即最高點(diǎn)位置煩8+kn，2，最低點(diǎn)位置煩8+kn，—2J，kEN，最高點(diǎn)、最低點(diǎn)到平衡位置的距離均為2cm.(4)小球往復(fù)振動(dòng)一次所需時(shí)間即周期，2nT=5=n^3.14(s).A(5)小球1s振動(dòng)的次數(shù)為頻率，11 1 ,/=T=n^^^0.318(次/s).類型三三角函數(shù)擬合受日月引力影響，海水會(huì)發(fā)生漲落，在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后，在不至擱淺時(shí)返回海洋，某港口水的深度》(米)是時(shí)間t(0WtW24，單位：時(shí))的函數(shù)，記作y=f(t).下面是該港口在某季節(jié)每天水深的數(shù)據(jù)：t（時(shí)）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=f(t)的近似表達(dá)式;(2)一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離為5米或5米以上認(rèn)為是安全的(船舶?？繒r(shí)，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底離水面距離)為6.5米，如果該船在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，問(wèn)它至多能在港內(nèi)停留多長(zhǎng)時(shí)間(忽略進(jìn)出港所需的時(shí)間)？解：(1)根據(jù)數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)圖象，可考慮用函數(shù)y=/sin(/t+^)+h刻畫水深與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則周期T=12，振幅A=3，h=10，j6$1215IS2124f，， n， ，一一、所以y=3sin6，+10(0WtW24).n.一 n一1nn一(2)由題意，該船進(jìn)出港時(shí)，水深應(yīng)不小于5+6.5=11.5(米)，即3singt+10N11.5,sin^/>2，2kn+gWgtW2kn+*n(k￡Z),0W/W24，所以12k+1WtW12k+5(kEZ).在同一天內(nèi)取k=0或1，則1WtW5或13W/W17.所以該船最早能在凌晨1時(shí)進(jìn)港，最晚下午17時(shí)出港，在港口最多停留16小時(shí).【點(diǎn)撥】(1)這是一道根據(jù)生活中的實(shí)例編擬的題目，由表中數(shù)據(jù)抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題求解析式、解不等式)，從而得出船在港內(nèi)最多停留的時(shí)間，這一過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想；(2)許多實(shí)際問(wèn)題可以根據(jù)以前的記錄數(shù)據(jù)尋找模擬函數(shù)，再結(jié)合幾個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù)求出解析式.住尹：已知某海濱浴場(chǎng)海浪的高度y(m)是時(shí)間t(0WtW24，單位：h)的函數(shù)，記作：y=f(t),下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acos3t+b.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)y=Acos^t+b的最小正周期乙振幅A及函數(shù)表達(dá)式；依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1.25m時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng).2n2nnTOC\o"1-5"\h\z解：(1)由題意知T=12，所以w=15=6.JL JL」由t=0，y=1.5得A+b=1.5;由t=3，y=1.0得b=1.0，八 1n,所以A=0.5，b=1，即y=2cos6t+1，tE[0，24].(2)由題意知，當(dāng)y>1.25時(shí)才可對(duì)沖浪者開(kāi)放，n n1所以=。0、t+1>1.25，cost>R.6 62~ nn,,n所以2kn—3<gt<2kn+3，kEZ，即12k—2<t<12k+2，kEZ.①因?yàn)?WtW24，故可令①中k分別為0，1，2,得0Wt<2或10<t<14或22<tW24.所以有8個(gè)小時(shí)的時(shí)間可供沖浪運(yùn)動(dòng).阿揭示規(guī)律是皓方堵三角函數(shù)模型的三種模式在現(xiàn)實(shí)生活中，許多變化的現(xiàn)象都具有周期性，因此，可以用三角函數(shù)模型來(lái)描述.如：氣象方面有溫度的變化，天文學(xué)方面有白晝時(shí)間的變化，物理學(xué)方面有各種各樣的振動(dòng)波，生理方面有人的情緒、智力、體力變化等.研究這些應(yīng)用問(wèn)題，主要有以下三種模式：給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實(shí)際問(wèn)題；

給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)，再解決其他問(wèn)題；搜集一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過(guò)擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)式，進(jìn)一步用函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題解題流程三角函數(shù)應(yīng)用題通常涉及生產(chǎn)、生活、軍事、天文、地理和物理等實(shí)際問(wèn)題，利用三角函數(shù)的周期性、有界性等，可以解決很多問(wèn)題，其解題流程大致是：審讀題目，理解題意一設(shè)角，建立三角函數(shù)模型一分析三角函數(shù)的性質(zhì)一解決實(shí)際問(wèn)題.其中根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的背景材料，建立三角函數(shù)關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.將圖象和性質(zhì)賦予實(shí)際意義在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要具體問(wèn)題具體分析，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將圖象和性質(zhì)賦予實(shí)際意義.課時(shí)作業(yè)，拓展延伸課時(shí)作業(yè)，拓展延伸函數(shù)y=|sim|的最小正周期是（）n n4 B.2 C.兀D.2兀解：y=|sim|是以n為周期的波浪形曲線.故選C.電流強(qiáng)度/（安）隨時(shí)間，（秒）變化的函數(shù)I=Asin（3，+G（A>0，3>0，0W<）的圖象如圖所示，^如=（）A.100n B.100C.200n D.2004 1、 12n2n解：由圖知7=2(300—300)—50，3=~T=了=100n.故選A.50（2015-湖北模擬）某商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在5千元的基礎(chǔ)上，按月呈fx）=Asin（彌+9）+B（A>0，3>0，以<堂）的模型波動(dòng)（x為月份），已知3月份達(dá)到最高價(jià)7千元，7月份達(dá)到最低價(jià)3千元，根據(jù)以上條件可以確定fx)的解析式是()."兀，兀、，，~~fx)=2sin|jx+4J+5(1WxW12，x^N*)~、_."nfx)=7sin(4x—4j+5(1WxW12，x^N*)nfx)=7sin(4x+4j+5(1WxW12，x^N*)TOC\o"1-5"\h\zn n、fx)=2sin|jx—4J+5(1WxW12，x^N*)當(dāng)x=3時(shí)，2sin傅X3+?+5=當(dāng)x=3時(shí)，2sin傅X3+?+5=解：根據(jù)題意，T=2X(7—3)=8,3=〒=元，由｛ 1 得｛T4 I—A+B=3, |B=5,

7,得9=—%所以fx)=2sin(Jx—哥+5.故選D.如圖為一半徑是3m的水輪，水輪圓心。距離水面2m,已知水輪自點(diǎn)Q開(kāi)始1min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時(shí)間x（s）滿足函數(shù)關(guān)系y=Asin（^x+^）+2（A>0）,則有（ ）A.C.A.C.2n3=15,A=32n3=15,A=515B.3=—,A=3

2n15D.3=—,A=52n戶0I兀.n\A.尸sin戶0I兀.n\A.尸sinlj?+6j,秒針從P0（注：此時(shí)t=0）開(kāi)始沿順時(shí)針?lè)较蜃邉?dòng)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為（）(nnC.尸sin"一孫+6*x令y=sin22,則y與時(shí)間t(0WtW1,單位:AABCD8n2n一.解：因?yàn)樗喩献罡唿c(diǎn)距離水面,+2=5m,即A+2=5，所以A=3.又因?yàn)樗喢棵腌娦D(zhuǎn)60=15rad，所以2兀，?解：角速度3=詈.故選A.為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針尖指向位置P（x,y）.若初始位置為見(jiàn)1、2，2TOC\o"1-5"\h\z（ 兀 兀）B.y=sin"一而，一刁（兀 兀）D?y=sinL礦R2nn n ￡\解：由題意，函數(shù)的周期為7=60，所以刃=60=拓.設(shè)函數(shù)解析式為y=sin"—孫+時(shí)"0<9<刃（秒針是順時(shí)針走動(dòng)）.因?yàn)槌跏嘉恢脼镻0（33,9，所以t=0時(shí)，y=；.所以sin^=2，9可取^.所以函數(shù)解析式為y=sin（—30t+n）故選C.（2016?廈門模擬）如圖，已知/1±/2，圓心在?上，半徑為1m的圓O在t=0時(shí)與12相切于點(diǎn)A,圓。沿?以1m/s的速度勻速向上移動(dòng)，圓被直線l2所截上方圓弧長(zhǎng)記為x=1—（1—，）2=—，2+2，（0W，W1）.故選B.已知某種交流電電流/（A）隨時(shí)間?s）的變化規(guī)律可以擬合為函數(shù)/=5寸2、"100心一額，花［0,+8）,則這種交流電在0.5s內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為次._, 1 3100n解：因?yàn)閒=T=2n=IT=50，所以0.5s內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為0.5X50=25.故填25.（北京海淀2017屆期中）去年某地的月平均氣溫代C）與月份x（月）近似地滿足函數(shù)y=a+bsinEx+9（a，b為常數(shù)）.若6月份的月平均氣溫約為22C,12月份的月平均氣溫約為4C,則該地8月份的月平均氣溫約為C.（兀，兀、6好6/nn當(dāng)x=8時(shí)，^=13—18sin^6x8+6j=31.故填31.9.畫出函數(shù)y=|cosx|的圖象并觀察其周期.解：函數(shù)圖象如圖所示.從圖中可以看出，函數(shù)v=|cosx|是以n為周期的波浪形曲線.我們也可以這樣進(jìn)行驗(yàn)證：|cos（x+n）|=|—cosx|=|cosx|,（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式.解：（1）由圖可知：這段時(shí)間的最大溫差為30—10=20（°C）.（2）從圖可以看出：從6?14時(shí)的圖象是y=^sin（^x+^）+b的半個(gè)周期的圖象，TOC\o"1-5"\h\z~T ~所以2=14—6=8，所以T=16.因?yàn)槎?音，所以刃=??30—10 30+10又因?yàn)锳= =10，b= =20，a a所以y=10sin（8x+）+20，將點(diǎn)（6，10）代入得sin俘+J=—1，3n 3n所以~4+^=2kn+^，kEZ，3n 3n所以9=2kn+~4,kEZ,取(p=~4,所以y=10sin&x+苧)+20,6WxW14.11.以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品出廠價(jià)格及該商品在商店的銷售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價(jià)格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，已知3月份出廠價(jià)格最高為8元，7月份出廠價(jià)格最低為4元，而該商品在商店的銷售價(jià)格是在8元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，并已知5月份銷售價(jià)最高為10元，9月份銷售價(jià)最低為6元，假設(shè)某商店每月購(gòu)進(jìn)這種商