2021-2022學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市祁東縣靈官中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市祁東縣靈官中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題：其中的真命題為（

）

的共軛復(fù)數(shù)為

的虛部為

A．

B．

C．

D．參考答案：C，所以，的虛部為，所以錯(cuò)誤，正確。，所以正確。的共軛復(fù)數(shù)為，所以錯(cuò)誤。所以選C.2.已知集合，則A∪B=（

）A.(1,+∞) B.[－1,+∞) C.[－1,1] D.[－1,2]參考答案：B【分析】解出集合中的一次不等式即可.【詳解】因?yàn)椋怨蔬x：B【點(diǎn)睛】本題考查的是集合的運(yùn)算，較簡(jiǎn)單.3.已知命題p：任意，都有；命題q：，則有．則下列命題為真命題的是（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先分別判斷命題真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當(dāng),或時(shí)，則不成立.則，，均為假.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.若集合，集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A5.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在線段AC，AD=kAC（k為常數(shù)，且0＜k＜1），BD=l為定長(zhǎng)，則△ABC的面積最大值為（）A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：正弦定理．專題：解三角形．分析：判斷出AB=AC，以B為原點(diǎn)、BD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（x，y），y＞0，根據(jù)題意得到AD=kAC，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)后表示出y2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，求出△ABD面積的最大值，由AD=kAC得出△ABC面積的最大值．解答：解：由題意得AB=AC，如圖所示，以B為原點(diǎn)，BD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（x，y），y＞0，∵AB=AC，BD=l，∴D（l，0），由AD=kAC=kAB得，AD2=k2AB2，∴（x﹣l）2+y2=k2（x2+y2），整理得：y2=，當(dāng)x=﹣=時(shí)，y2=取到最大值是：，∴y的最大值是，∵BD=l，∴（S△ABD）max==，∵AD=kAC，∴（S△ABC）max=（S△ABD）max=，所以△ABC的面積最大值為，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題，兩點(diǎn)間的距離公式，及二次函數(shù)的性質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解本題的關(guān)鍵．6.已知函數(shù)的零點(diǎn)為

A．

B．—2，0

C．

D．0參考答案：D略7.在△ABC中，角A，B，C，的對(duì)邊分別為a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，則角B的值為（）A． B．或 C． D．或參考答案：B【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，求出sinB的值，即可確定出B的度數(shù)．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac?cosBtanB=ac，即sinB=，則B=或．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．8.已知函數(shù)g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與h（x）=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范圍即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．設(shè)f（x）=2lnx﹣x2，求導(dǎo)得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的極值點(diǎn)，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）極大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等價(jià)于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．從而a的取值范圍為[1，e2﹣2]．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．9.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A、1

B、

C、

D、參考答案：A由得，設(shè)，則，所以，解得，所以虛部為1，選A.10.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2},則=

A．

{0,3,4}

B．{3,4}

C．

{1,2}

D．

{0,1}參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是

▲

．參考答案：?！究键c(diǎn)】可行域。條件可化為：。

設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍。

作出（）所在平面區(qū)域（如圖）。求出的切線的斜率，設(shè)過(guò)切點(diǎn)的切線為，

則，要使它最小，須。

∴的最小值在處，為。此時(shí)，點(diǎn)在上之間。

當(dāng)（）對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，，

∴的最大值在處，為7。

∴的取值范圍為，即的取值范圍是。12.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值為

.參考答案：略13.若集合滿足∪∪…∪,則稱，，…為集合A的一種拆分。已知：

①當(dāng)∪=時(shí)，A有種拆分；

②當(dāng)∪∪=時(shí)，A有種拆分；③當(dāng)∪∪∪=時(shí)，A有種拆分；

……由以上結(jié)論，推測(cè)出一般結(jié)論；當(dāng)∪∪…∪=，A有

種拆分。參考答案：略14.把拋物線繞焦點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)此時(shí)拋物線上的最高點(diǎn)為，則

.參考答案：略15.在平行四邊形ABCD中，已知，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，則=﹣3參考答案：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．分析：利用向量的運(yùn)算法則將用已知向量表示，利用向量的運(yùn)算律將用已知的向量表示出，求出的值解答：解：∵∴===﹣3故答案為﹣3點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的運(yùn)算法則將未知向量用已知的向量表示；從而將未知向量的數(shù)量積用已知向量的數(shù)量積表示．16.（幾何證明選做題）如圖所示，、是半徑為的圓的兩條弦，它們相交于的中點(diǎn)，，，則

.參考答案：略17.若函數(shù)定義域?yàn)镽，則的取值范圍是________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（10分）函數(shù)（為常數(shù)）的圖象過(guò)點(diǎn)，（Ⅰ）求的值并判斷的奇偶性；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；參考答案：解：（Ⅰ）依題意有，此時(shí)，其定義域?yàn)?，由即為奇函?shù)；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上有意義，即

對(duì)恒成立，得令，先證其單調(diào)遞增：任取，則

因?yàn)?，則，故在遞增，則，得ks5u略19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）證明：當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時(shí)，x1+x2＜0．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），求出切線斜率，即可求f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時(shí)，不妨設(shè)x1＜x2．由（I）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用導(dǎo)數(shù)先證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，因此得證．【解答】（Ⅰ）解：∵，∴f′（x）=，∴f′（0）=0，f（0）=1∴f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1；（Ⅱ）證明：當(dāng)x＜1時(shí)，由于＞0，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時(shí)，不妨設(shè)x1＜x2．當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．下面證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即證＜．此不等式等價(jià)于（1﹣x）ex﹣＜0．令g（x）=（1﹣x）ex﹣，則g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．即（1﹣x）ex﹣＜0．∴?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．從而，f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、函數(shù)的單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．20.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC=2，AA1=3，點(diǎn)M是B1C1的中點(diǎn)．（1）求證：AB1∥平面A1MC；（2）求點(diǎn)B到平面A1MC的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面平行的判定．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面A1MC的法向量，，證明=0，可得AB1∥平面A1MC；（2）求出=（（﹣2，﹣3，0），利用向量的方法求出點(diǎn)B到平面A1MC的距離．【解答】（1）證明：由題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B1（﹣1，3，0），A1（1，3，0），M（﹣，3，），C（0，0，）設(shè)平面A1MC的法向量為=（x，y，z），則∵=（﹣，0，），=（﹣1，﹣3，），∴，取=（1，，），∵=（﹣2，3，0），∴=0，∴AB1∥平面A1MC；（2）解：∵=（（﹣2，﹣3，0）∴點(diǎn)B到平面A1MC的距離=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定定理和點(diǎn)B到平面A1MC的距離，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．屬于中檔題．21.函數(shù)f（x）=（x2+ax+1）ex．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）上遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=l，求證：對(duì)任意x1，x2∈[0，1]，|f（x1）﹣f（x2）|＜2．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）由題意知f′（x）=x2+（a+2）x+a+1≥0對(duì)x∈（2，3）恒成立，計(jì)算即可；（Ⅱ）通過(guò)曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=1，可得a=﹣1，從而函數(shù)f（x）在[0，1]上遞增，故fmax（x）=f（1）=e，fmin（x）=f（0）=1，即得結(jié)論．解答：解：（Ⅰ）由題意知f′（x）=ex[x2+（a+2）x+a+1]，因?yàn)閒（x）在（2，3）上遞增，所以f′（x）≥0對(duì)x∈（2，3）恒成立，即：x2+（a+2）x+a+1≥0對(duì)x∈（2，3）恒成立，所以f′（2）≥0，所以a≥﹣3；（Ⅱ）因?yàn)榍€y=f（x）在x=0處的切線方程為y=1，所以f′（0）=0，所以a=﹣1，從而f（x）=（x2﹣x+1）ex，f′（x）=ex（x2+x），顯然函數(shù)f（x）在[0，1]上遞增，故f（x）在[0，1]在最大值為f（1）=e，最小值為f（0）=1，從而對(duì)任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1＜2．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，在閉區(qū)間上的最值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，點(diǎn)E、M分別在線段AB、PC上，且，其中，連接CE，延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若時(shí)，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若直線PE與平面PBC所成角的正弦值為時(shí)，求值．參考答案：（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）在線段上取一點(diǎn)，使得，，證明四邊形為平行四邊形，得到，然后證明平面．（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角的正弦值．（Ⅲ）令，