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文檔簡介

點的個數

y=f(x)f(x)=0xy=f(x)的零x條件:①如果函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]y=f(x)在區(qū)間(a,b)c∈(a,b),使得f(c)=0cf(x)=0的解.①f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線;②f(a)·f(b)<0.條件,否則結論不一定成立滿足上述兩個條件,則函數y=f(x)的圖象至少穿過x軸一次,即方程f(x)=0b)內的單調性才能確定f(x)在(a,b)內零點的個數.該定理是一個充分不必要條件,反過來,若在(a,b)f(a)f(b)<0成立.y=x2x0=0,但函數值在零點兩側同號

設 f(-1)f(1)<0,所以

(-1,1)內有零點=x,由 =xx提示f(x)=1的圖象在[-1,1]x零點的結論提示反例:f(x)=x2-2x在區(qū)間(-1,3)在(a,b)內只有一個零點提示反例:f(x)=x(x-1)(x-2),區(qū)間為(-1,3),滿足條件,但f(x)在3)0,1,2三個零點下列各圖象表示的函數中沒有零點的是 答案

-x的零點所在的區(qū)間是 答案

1

解析 若2是函數f(x)=a·2x-log2x的零點,則 答案4解析f(2)=4a-1=0題型一【例1 (1)函數 +x (3)若3是函數f(x)=x2-mx的一個零點則 答案 x解析(1)1+1=0x=-1x=0x=-1f(x)g(x)(3)f(3)=32-3m=0思維升華(1)f(x)=0的實數根,若存在實數根,則函數存在零點,否則函(2)幾何法:與函數y=f(x)的圖象聯系起來,圖象與x軸的交點的橫坐標即為函【訓練1】(1)函數f(x)=ax+b有一個零點是2,那么函數g(x)=bx2-ax的零 (2)函數f(x)=(lgx)2-lgx的零點 答案

(2)1解析(1)∵f(x)=ax+b2由-ax(2x+1)=02∴g(x)=bx2-ax(2)由(lgx)2-lgx=0,得lgx(lg∴l(xiāng)gx=0或lgx=1,∴x=1題型二【例2 (1)二次函數f(x)=ax2+bx+c的部分對應值如下表x01234y6mn6不求a,b,c的值,判斷方程ax2+bx+c=0的兩根所在區(qū)間是( C.(-1,1)和 (2)已知函數 log2x,在下列區(qū)間中,包含f(x)零點的區(qū)間是 答案 解析(1)易知f(x)=ax2+bx+c的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,又x=6×(-4)=-24<0f(x)在(-3,-1)ax2+bx+c=0在(-3,-1)內有根,同理方程ax2+bx+c=0在(2,4)內有根.故選A.x

思維升華f(x)f(x)=0易解時,可先解方程,再看求得的根是否落在利用函數零點存在定理:首先看函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0,則函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內必有零點.數形:通過畫函數圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來【訓練2】(1)函數f(x)=ex+x-2的零點所在的一個區(qū)間是( (2)若方程xlg(x+2)=1的實根在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)上,則k等于( C.-2或 答案 解析(1)∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0x(2)由題意知,x≠0,則原方程即為lg(x+2)=1xx函數y=lg(x+2)與y=1的圖象,如圖所示,由圖象可知,原方程有兩個根,一個在區(qū)間(-2,-1)上,一個在區(qū)間(1,2)上,所以k=-2或k=1.故選C.x題型三函數零點個數問題角度1 3-1】f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點個數解法一 ∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg2-2>0,∴f(x)在(0,1)上必定存在零點.又顯然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上為增函數.f(x)有且只有一個零點法二在同一坐標系出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的草圖由圖象知g(x)=lg(x+1)的圖象和h(x)=2-2x圖象有且只有一個交點,即2x+lg(x+1)-2有且只有一個零點思維升華(1)利用方程根,轉化為解方程,有幾個不同的實數根就有幾個零點(2)y=f(x)x軸的交點個數,從而判定零點的個數.(3)結合單調性,利用零點存在性定理,可判定y=f(x)在(a,b)上零點的個數.角度 根據零點個數求參數范3-2】

(a∈R)f(x)R零點,則a的取值范圍是 答案解析x>0時,f(x)=3x-1x≤0時,f(x)=ex+a=0只有一個實根,∴a=-ex(x≤0)思維升華已知函數有零點(有根)求參數值常用的方法3】-2+ln

的零點個數為 (2)若函數ln

有兩個不同的零點,則實數a的取值范圍是 答案 解析(1)x≤0f(x)=x2+2x-3=0x1=-3,x2=1(舍去);當x>0時,由f(x)=-2+lnx=0得x=e2.∴(2)x>0f(x)=lnx=0f(x)x≤0f(x)=2x-a有一個零點,令f(x)=0得a=2x,0<2x≤20=10<a≤1,所以實數a的取值范圍是(0,1].下列函數沒有零點的是 答案解析f(x)=2f(x)=0,因此沒有零點對于函數f(x),若f(-1)·f(3)<0,則 f(x)=0f(x)=0f(x)=0f(x)=0答案解析∵f(x)的圖象在(-1,3)f(-1)·f(3)<0,但未必函數y=f(x)在(-1,3)上有實數解.x1234567由表可知函數f(x)存在零點的區(qū)間有 A.1 B.2C.3 D.4答案解析∵f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)·f(7)<0,∴f(x)存在零點的區(qū)間有4個,故選D.函數 答案解析f(1)f(2)<0(2-2-a4--a)<0a(a-3)<0

則函數f(x)的零點為 22答案

解析x≤12x-1=0x>11+log2x=0,x=1舍若函數f(x)=x2-ax-b的兩個零點是2和3,則函數g(x)=bx2-ax-1的零點 答 解析f(x)=x2-ax-b23,由函數的零點與方程的根的關系,x2-ax-b=0的兩根為23a=2+3=5,-b=2×3=6.g(x)=0x=-1 g(x) 若x0是方程ex+x=2的解,則x0屬于區(qū) (填序號答案解析f(x)=ex+x-2f(0)=-1,f(1)=e-1>0f(x)是單f(x)的零點在區(qū)間(0,1)上,所以ex+x=2的解在區(qū)間(0,1)上.若函數f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數b的取值范圍 答案解析y=f(x)有兩個零點,所以|2x-2|-b=0有兩個實根.即|2x-2|=b有兩個實根.y1=|2x-2|,y2=by1y2的圖象有兩個交點b∈(0,2)y1y2有兩個交點已知函數

(1)α

(2)f(x)的零點解(1)f(3)=-5 x(2)由(1)x 令f(x)=0,得1+x-x=0, 1±

1+1-2 ,∴f(1-2

(1)a=1f(x)(2)f(x)a的取值范圍.解(1)a=1時,f(x)=2·4x-2x-1.令f(x)=0,即2·(2x)2-2x-1=0,2x=12x=-1舍去∴x=0,∴f(x)(2)f(x)2a·4x-2x-1=0 1 1于是 1x1

2 2令2=tg(t)=t+t2=t+- ∵t>0,∴g(t)在(0,+∞)上為增函數,其值域為(0,+∞),∴2a>0,即a的取11.(多選題)的判斷,其中正確的是

y=f[f(x)]+1 C.當k>0時,有4個零點 D.當k<0時,有1個零點答案CD解析k>0

圖象如圖 圖 圖2此時f[f(x)]+1=0即f[f(x)]=-1,有 2f1(x)=-22個零點,f2(x)=12f[f(x)]+1=04個零點 k<0

的圖象如圖此時f[f(x)]+1=0即f[f(x)]=-1,只有f(x)=1一種情況,此時f(x)=1僅有1 x=2k<01A,B不正確.故選12.mmf(x)=022m的取值范圍解(1)函數有兩個零點,則對應方程-3x2+2x-m+1=0根,Δ>0,即4+12(1-m)>0,可解Δ=0m=4Δ<0

43333m<4時,函數有兩個零點;當m=4時,函數有一個零點;當m>4時,函數無零點.333

01-m=0f(2)>0,即-7-m>0m的取值范圍為13.ln不同零點,則a的取值范圍為

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