函數應用二451零點與方程解

點的個數

y＝f(x)f(x)＝0xy＝f(x)的零x條件：①如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]y＝f(x)在區(qū)間(a，b)c∈(a，b)，使得f(c)＝0cf(x)＝0的解.①f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.條件，否則結論不一定成立滿足上述兩個條件，則函數y＝f(x)的圖象至少穿過x軸一次，即方程f(x)＝0b)內的單調性才能確定f(x)在(a，b)內零點的個數.該定理是一個充分不必要條件，反過來，若在(a，b)f(a)f(b)<0成立.y＝x2x0＝0，但函數值在零點兩側同號

設 f(－1)f(1)<0，所以

(－1，1)內有零點＝x，由 ＝xx提示f(x)＝1的圖象在[－1，1]x零點的結論提示反例：f(x)＝x2－2x在區(qū)間(－1，3)在(a，b)內只有一個零點提示反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，區(qū)間為(－1，3)，滿足條件，但f(x)在3)0，1，2三個零點下列各圖象表示的函數中沒有零點的是 答案

－x的零點所在的區(qū)間是 答案

1

解析 若2是函數f(x)＝a·2x－log2x的零點，則 答案4解析f(2)＝4a－1＝0題型一【例1 (1)函數 ＋x (3)若3是函數f(x)＝x2－mx的一個零點則 答案 x解析(1)1＋1＝0x＝－1x＝0x＝－1f(x)g(x)(3)f(3)＝32－3m＝0思維升華(1)f(x)＝0的實數根，若存在實數根，則函數存在零點，否則函(2)幾何法：與函數y＝f(x)的圖象聯系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函【訓練1】(1)函數f(x)＝ax＋b有一個零點是2，那么函數g(x)＝bx2－ax的零 (2)函數f(x)＝(lgx)2－lgx的零點 答案

(2)1解析(1)∵f(x)＝ax＋b2由－ax(2x＋1)＝02∴g(x)＝bx2－ax(2)由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lg∴l(xiāng)gx＝0或lgx＝1，∴x＝1題型二【例2 (1)二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的部分對應值如下表x01234y6mn6不求a，b，c的值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在區(qū)間是( C.(－1，1)和 (2)已知函數 log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是 答案 解析(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，又x＝6×(－4)＝－24<0f(x)在(－3，－1)ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)內有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)內有根.故選A.x

思維升華f(x)f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點.數形：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來【訓練2】(1)函數f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是( (2)若方程xlg(x＋2)＝1的實根在區(qū)間(k，k＋1)(k∈Z)上，則k等于( C.－2或 答案 解析(1)∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0x(2)由題意知，x≠0，則原方程即為lg(x＋2)＝1xx函數y＝lg(x＋2)與y＝1的圖象，如圖所示，由圖象可知，原方程有兩個根，一個在區(qū)間(－2，－1)上，一個在區(qū)間(1，2)上，所以k＝－2或k＝1.故選C.x題型三函數零點個數問題角度1 3－1】f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數解法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零點.又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數.f(x)有且只有一個零點法二在同一坐標系出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x圖象有且只有一個交點，即2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點思維升華(1)利用方程根，轉化為解方程，有幾個不同的實數根就有幾個零點(2)y＝f(x)x軸的交點個數，從而判定零點的個數.(3)結合單調性，利用零點存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數.角度 根據零點個數求參數范3－2】

(a∈R)f(x)R零點，則a的取值范圍是 答案解析x>0時，f(x)＝3x－1x≤0時，f(x)＝ex＋a＝0只有一個實根，∴a＝－ex(x≤0)思維升華已知函數有零點(有根)求參數值常用的方法3】－2＋ln

的零點個數為 (2)若函數ln

有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是 答案 解析(1)x≤0f(x)＝x2＋2x－3＝0x1＝－3，x2＝1(舍去)；當x>0時，由f(x)＝－2＋lnx＝0得x＝e2.∴(2)x>0f(x)＝lnx＝0f(x)x≤0f(x)＝2x－a有一個零點，令f(x)＝0得a＝2x，0<2x≤20＝10<a≤1，所以實數a的取值范圍是(0，1].下列函數沒有零點的是 答案解析f(x)＝2f(x)＝0，因此沒有零點對于函數f(x)，若f(－1)·f(3)<0，則 f(x)＝0f(x)＝0f(x)＝0f(x)＝0答案解析∵f(x)的圖象在(－1，3)f(－1)·f(3)<0，但未必函數y＝f(x)在(－1，3)上有實數解.x1234567由表可知函數f(x)存在零點的區(qū)間有 A.1 B.2C.3 D.4答案解析∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴f(x)存在零點的區(qū)間有4個，故選D.函數 答案解析f(1)f(2)<0(2－2－a4－－a)<0a(a－3)<0

則函數f(x)的零點為 22答案

解析x≤12x－1＝0x>11＋log2x＝0,x＝1舍若函數f(x)＝x2－ax－b的兩個零點是2和3，則函數g(x)＝bx2－ax－1的零點 答 解析f(x)＝x2－ax－b23，由函數的零點與方程的根的關系，x2－ax－b＝0的兩根為23a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6.g(x)＝0x＝－1 g(x) 若x0是方程ex＋x＝2的解，則x0屬于區(qū) (填序號答案解析f(x)＝ex＋x－2f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0f(x)是單f(x)的零點在區(qū)間(0，1)上，所以ex＋x＝2的解在區(qū)間(0，1)上.若函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍 答案解析y＝f(x)有兩個零點，所以|2x－2|－b＝0有兩個實根.即|2x－2|＝b有兩個實根.y1＝|2x－2|，y2＝by1y2的圖象有兩個交點b∈(0，2)y1y2有兩個交點已知函數

(1)α

(2)f(x)的零點解(1)f(3)＝－5 x(2)由(1)x 令f(x)＝0，得1＋x－x＝0， 1±

1＋1－2 ，∴f(1－2

(1)a＝1f(x)(2)f(x)a的取值范圍.解(1)a＝1時，f(x)＝2·4x－2x－1.令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，2x＝12x＝－1舍去∴x＝0，∴f(x)(2)f(x)2a·4x－2x－1＝0 1 1于是 1x1

2 2令2＝tg(t)＝t＋t2＝t＋－ ∵t>0，∴g(t)在(0，＋∞)上為增函數，其值域為(0，＋∞)，∴2a>0，即a的取11.(多選題)的判斷，其中正確的是

y＝f[f(x)]＋1 C.當k>0時，有4個零點 D.當k<0時，有1個零點答案CD解析k>0

圖象如圖 圖 圖2此時f[f(x)]＋1＝0即f[f(x)]＝－1，有 2f1(x)＝－22個零點，f2(x)＝12f[f(x)]＋1＝04個零點 k<0

的圖象如圖此時f[f(x)]＋1＝0即f[f(x)]＝－1，只有f(x)＝1一種情況，此時f(x)＝1僅有1 x＝2k<01A，B不正確.故選12.mmf(x)＝022m的取值范圍解(1)函數有兩個零點，則對應方程－3x2＋2x－m＋1＝0根，Δ>0，即4＋12(1－m)>0，可解Δ＝0m＝4Δ<0

43333m<4時，函數有兩個零點；當m＝4時，函數有一個零點；當m>4時，函數無零點.333

01－m＝0f(2)>0，即－7－m>0m的取值范圍為13.ln不同零點，則a的取值范圍為