圓錐曲線的第三定義

錐曲線的第三定義及運(yùn)用一、橢圓和雙曲線的第三定義1.橢圓在橢圓C：上+￡=i{ab0）中，A、8是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上a2b2異于A、B的一點(diǎn)，若k＞、k存在，則有：k?k=e2-1=-b2PAPB PAPB a2證明：構(gòu)造△PAB的PA邊所對(duì)的中位線MO,k=k，由點(diǎn)差法結(jié)論：PAMOk?k=e2-1=-b2知此結(jié)論成立。MOPB a22.雙曲線在雙曲線C：上-"二1中，A、8是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、a2b2

B的一點(diǎn)，若k、k存在，則有：k?k=e2—1=b2PAPB PAPB a2證明：只需將橢圓中的b2全部換成.b2就能將橢圓結(jié)論轉(zhuǎn)換成雙曲線的結(jié)論。與角度有關(guān)的問(wèn)題例題一：已知橢圓C：E+y2=I（ab0）的離心率e=蟲(chóng)，人、8是橢圓的左右頂點(diǎn)，a2b2 2為橢圓與雙曲線洋為橢圓與雙曲線洋y=1的二個(gè)交點(diǎn)，令ZPAB=a,ZAPB=PcosP_cos（2a+P）

解答:令…，由橢圓第三定義可知：tanstanV=ei-；cosP cos(y-a)cosycosa+sinysina 1+tana?tany 3cos(2a+P)cos(y+a)cosycosa+sinysina 1一tana?tany 5點(diǎn)評(píng):其實(shí)所謂的雙曲線方程只是一個(gè)障眼法，并不影響題目的解答。兩頂點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)的模型要很快的聯(lián)想到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的角轉(zhuǎn)化為兩直線的傾斜角，把正余弦轉(zhuǎn)化為正切。題目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的常見(jiàn)考點(diǎn)^。變式1-1：（石室中學(xué)2015級(jí)高二下4月18日周末作業(yè)）已知雙曲線c：x2-w=2015的左右頂點(diǎn)分別為A、B，P為雙曲線右支一點(diǎn)，且/PAB=4/APB，求/PAB=.解答：令/pAB令/pAB=aeO.,，/pBA=pe*，則p=5a，由雙曲線的第三定義知:tana?tanPtana?tanP=tana?tan5a=e2-1=1則：1tana= tan5a/兀 ~\ 兀- 兀=tan—-5ana=—-5ana=—12 ) 2 12點(diǎn)評(píng)：與例題1采取同樣的思路轉(zhuǎn)化角，但對(duì)于正切轉(zhuǎn)換的要求較高。兩銳角正切乘積為1即表示sina=cos0,cosa=sin00兩角互余^,則可解出a的值。當(dāng)然雙曲線的題目較于橢圓和拋物線題目考試概率較小，但既然提到了雙曲線的第三定義，不妨做一做。與均值定理有關(guān)的問(wèn)題例題2：已知人、B是橢圓三+￡=兒bo）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是橢圓上關(guān)a2b2若用+因的最于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AM、BN的斜率分別為k、k，且kk豐0若用+因的最1 2 12小值為1,則橢圓的離心率為.解答一（第三定義+均值）：由題意可作圖如下：

連接MB連接MB,由橢圓的第三定義可知：k?k=e2-1=—生,而AMBM a2b2k=-kn/.kk=—BM BN 12a2lk1l+町22J|k1|?1k21=2b=1n^a解答二(特殊值法)：，則可直接猜特殊點(diǎn)求解。這道題由于表達(dá)式(k|+k])=1非常對(duì)稱，則可直接猜特殊點(diǎn)求解。1 2min|k|=|k1=2時(shí)可取最值，則M、N分別為短軸的兩端點(diǎn)。此時(shí)：解中2k*neW點(diǎn)評(píng)：對(duì)于常規(guī)解法，合理利用M、N的對(duì)稱關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這樣可以利用橢圓的第三定義將兩者斜率的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，既構(gòu)造了“一正”，又構(gòu)造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。當(dāng)然將匕|、勺|前的系數(shù)改為不相等的兩個(gè)數(shù)，就不能利用特殊值法猜答案了，但常規(guī)解法相同，即變式2-1。

變式2-1：已知人、B是橢圓上+22=1(ab變式2-1：已知人、B是橢圓上+22=1(ab0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是橢圓上a2b2關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AM、BN的斜率分別為k、k，且kk豐01212。若、；2附+2,/2|k2|的最小值為1，則橢圓的離心率為解答：連接MB，由橢圓的第三定義可知：kAMb2?k=e2—1=——，而B(niǎo)Ma2b2k=—knkk=——BMBN 12a24bib1 <15——=1n-=-ne=--aa4 4變式2-2：已知人、8是橢圓上+22=i(ab0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在Q，a2b2使/AQB=21，則橢圓的離心率的取值范圍為解答一(正切+均值)：令Q令Q在x軸上方，則直線QA的傾斜角為，直線QB的傾斜角為ZAQB￡ZAQB￡,tanZAQB=tan（P-a）tanP-tana

1+tanPtana由橢圓的第三定義：tanatanP=-吃，則tanP=-ba2 a2tana帶人可得:tanP-tanab帶人可得:tanP-tanab2 tanaa2tanaIa2tana）+tanaJ1+tanPtana1金

a2b2-2b2-2 ?tana\a2tana1b21- a2-2b=k=-2abb2a2-b21- a2（取等條件：tana=b，即Q為上頂點(diǎn)）a而tanx在三，兀單增，則Q為上頂點(diǎn)時(shí)（ZAQB），所以此時(shí)ZAQB>2兀，2 max 3解答二（極限法）:當(dāng)Q當(dāng)Q趨近于A、B兩點(diǎn)時(shí)，（此時(shí)Q點(diǎn)所在的橢圓弧趨近于以AB為直徑的圓的圓弧，zAQB相當(dāng)于直徑所對(duì)的圓周角）；當(dāng)Q在A、B間運(yùn)動(dòng)時(shí)ZAQB^（Q在以AB為直徑的圓內(nèi)部，ZAQB直徑所對(duì)的圓周角=90°），由橢圓的對(duì)稱性可猜測(cè)當(dāng)Q為短軸端點(diǎn)時(shí)（Z^QB）。由于：橢圓上存在Q，使zAQB=@，那么Q為短軸端點(diǎn)時(shí)（ZAQB）>絲3 max3取臨界情況，即、為短軸端點(diǎn)時(shí)zAQB=生，此時(shí)a=<3ne=西；當(dāng)橢圓3 b 3趨于飽滿（e.0）時(shí)，橢圓趨近于圓，圓的直徑所對(duì)的圓周角永遠(yuǎn)為90°不滿足；當(dāng)橢圓趨于線段（e.1不滿足；當(dāng)橢圓趨于線段（e.1）時(shí)（ZAQB）.兀，max滿足。故eG叵

3,，1。）當(dāng)然這些只需要在頭腦中一想而過(guò)，簡(jiǎn)潔而有邏輯。點(diǎn)評(píng)：這道題可以增加對(duì)于圓周角的理解，在用極限法討論：“當(dāng)Q趨近于A、B兩點(diǎn)時(shí)，/AQBfg”時(shí)能會(huì)顛覆“/AQB-?！钡恼J(rèn)知，當(dāng)然這肯定是錯(cuò)的，結(jié)合常規(guī)解法可以看出此時(shí)是角最小的情況，而不是角最大的情況。要搞清楚，不然會(huì)被弄暈的。對(duì)于常規(guī)解法選擇正切表示角的大小的原因有二：①與第三定義發(fā)生聯(lián)系②tanx在已，兀］單增便于利用tanx的大小比較角度的2大小?？偨Y(jié)歸納上述部分題目的常規(guī)解法較復(fù)雜，但做題時(shí)一定要能猜答案，而且要猜得有理由。對(duì)于均值不等式，注意取等條件是“三相等”，即相等時(shí)取最值。這可以幫助猜測(cè)表達(dá)形式是高度對(duì)稱的式子的最值，如：例題23,極限法可以刻畫出單調(diào)變化的某一變量的端點(diǎn)值，如：變式2-2中P在橢圓上滑動(dòng)，角度的變化一定是光滑的（無(wú)突變，連續(xù)），所以只需考慮邊界值。做幾何的選填題時(shí)，有時(shí)利用圓周角定理可以很快的找到最大角，注意學(xué)會(huì)恰當(dāng)運(yùn)用，如：變式2-2。常以正切值刻畫角度大小。在做綜合性較大的題目時(shí)要聯(lián)系各種知識(shí)，靈活轉(zhuǎn)化，以最巧妙的方法致勝。 方法鏈接針對(duì)上文提到的“圓周角找最大角”與“橢圓中另一類均值”進(jìn)行拓展補(bǔ)充，各附例題。例題3:在平面直角坐標(biāo)系XOY中，給定兩點(diǎn)m（—1,2）和N（1,4）,點(diǎn)「在X軸上移動(dòng)，當(dāng)/MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.解答一（正切+均值）:已知：m(—1,2)、N(1,4),l:y=x+3與x軸交于p(—3,0)MN 0令P(t,0),貝hk二二一，k二—,/MPN=6MP—1—t NP1—t①當(dāng)t=—3時(shí)，6=0②當(dāng)t—3時(shí)，l②當(dāng)t—3時(shí)，l的傾斜角較大，MPk一k

tan6=——mp np—1+k?kMPNP_21+612+712+7x2—6x+16貝Utan6=2t+6= 21(tan60)兀max4—3—3時(shí)，l的傾斜角較大，NPk—ktan6=——np mp1+k?kMPNP1212+7x2+6x+16x=-(t+3)0，則tan0=_2t+6= 2^(tan00)立匕曰寸x>4,t=-7tan(0 )=1max7由于0￡10,兀），且tan0在0￡[0,兀）上單增，tan0e[0,1].?.0 =1，此時(shí)t=1max4解答二（圓周角定理）:本題中的取極值時(shí)的P點(diǎn)的幾何意義為：過(guò)M、N的圓與x軸切于P點(diǎn)。下面給出證明：證明：以與乂軸切于p點(diǎn)的圓滿足所求最大角為例：2由于l：y=x+3是過(guò)M、N兩點(diǎn)的圓的一條弦，由垂徑定理知圓心在MN

隨著圓心橫坐標(biāo)從0開(kāi)始增大：當(dāng)半徑r較小時(shí)，圓與x軸無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)半徑稍大一點(diǎn)時(shí)，圓與乂軸相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)半徑更大一點(diǎn)時(shí)，圓與x軸有兩交點(diǎn)p、p。34342R較小的情況(圓與乂軸相離)R較大的情況(圓與342R較小的情況(圓與乂軸相離)R較大的情況(圓與x軸此時(shí)：根據(jù)圓周角定理：/MPN=/MPN/MQN=/MPN，可知：圓與乂軸相切時(shí)，(/mpn)。相交于P、P)34所以：過(guò)M、N的圓與乂軸切于p、p點(diǎn)時(shí)，分別有(/MPN)3 4 maxn只需比較/mpn與/MPN，哪一個(gè)更大。令與乂軸相切的圓的圓心為(x,y)，則切點(diǎn)p(x,0)，半徑為yYY圓滿足：。X+1+，丁一2，一丁2nx2-6X+7=0nx=-7or1（消去V）[G-12+（y-4）2-y2比較可知：當(dāng)x=1時(shí)，（/MPN）max點(diǎn)評(píng)：常規(guī)方法依舊是利用正切度量角的大小，但注意用傾斜角表示所求角時(shí)要用大角減去小角，才能得到正角；均值時(shí)要注意以分子（一次）為新元構(gòu)建均值。用圓周角角的性質(zhì)解答，只要轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)，解一個(gè)方程組，比較兩個(gè)角誰(shuí)大就行了。（不比較也行，畫圖可知右邊角大于左邊角：弦長(zhǎng)相等，半徑越大，弦所對(duì)的圓周角越小。）其實(shí)兩種解法的難度是一樣，只是一種要寫得多，一種要想得多?！钭兪?-1：若G為4ABC的重心，且ag±BG，則sinC的最大值為解答一（余弦定理+均值）:x-—(x+x+x)令G(0,0),A(a,0),B(0,b),則由「1ABCn令G(0,0),A(a,0),B(0,b),由點(diǎn)間的距離公式：|AB|=Ja2+b2,AC=74a2+b2,|BC|=Ja2+4b2由余弦定理：cosC一AC2由余弦定理：cosC一AC2+BC2-AB2(4a2+b2)+(a2+4b2)-(a2+b2)ACBC2、,,(4a2+b2)x (a2+4b2)4(4(a2+b2)2(a2+b2)2%：，(4a2+b2)xQ2+4b2) ^；l(4a2+b2)x(a2+4b2)由于：abb<a^bn^,(4a2+b2)x(a2+4b2)<2(at2+b2)「.cosC>4o0<sinC<3o(sinC)解法二(圓周角定理):令A(yù)(-1,0),B(1,0),G(sin0,cos0)，則C(3sin仇3cos0)題目轉(zhuǎn)化為：A(-1,0),B(1,0),C(x,y)滿足：元2+#=9，求sinC的最大值。目測(cè)可知C(0,±3)時(shí)，(ZABC)，下面以C'(0,3)來(lái)證明。max過(guò)A(-1,0)，B(1,0)，C,(。,3)作圓。：若C不在C點(diǎn)，令A(yù)C交圓。于Q點(diǎn)。由圓周角定理：/ACB/AQB=/AC'B證得

此時(shí)由余弦定理,(cosC)=4o(sinc)=3min5 max5點(diǎn)評(píng)：可以說(shuō)這道題與例題3有異曲同工之妙，直觀感覺(jué)加上圓周角定理可以說(shuō)是畫幾個(gè)圓就解出題了。其實(shí)余弦函數(shù)在h兀］單調(diào)，也可用來(lái)度量角的大小。不過(guò)更值得一提的是兩種方法以不同的方式，間接地表現(xiàn)了題中點(diǎn)的關(guān)系，設(shè)點(diǎn)的方式☆值得思考領(lǐng)悟。解法一照顧垂直結(jié)論，把重心放在原點(diǎn)，利用重心的坐標(biāo)很好地刻畫了C點(diǎn)的坐標(biāo)；解法二聯(lián)系圓的直徑所對(duì)圓周角為直角表示垂直條件，以同樣方式刻畫C點(diǎn)的坐標(biāo)。兩種方式都完全的展現(xiàn)了題目中的關(guān)系。例題4：(對(duì)橢圓用均值)：過(guò)橢圓上+竺=1(ab1)上一點(diǎn)P引圓O：X2+y2=1的b2a2兩條