2022屆南通市三模數(shù)學(xué)試卷及參考答案word版

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數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．

1．設(shè)復(fù)數(shù)izab=+（ab∈，R，i為虛數(shù)單位）．若(43i)iz=+，則ab的值是▲．

【答案】12-

2．已知集合{|0}Uxx=>，={|2}Axx≥，則UAe=▲．

【答案】{|02}xx）經(jīng)過拋物線28yx=的焦點(diǎn)，則

該雙曲線的離心率是▲．

（第4題）

9．已知圓錐的側(cè)面綻開圖是半徑為3，圓心角為2π3

的扇形，則這個(gè)圓錐的高為▲．

【答案】10．若直線2yxb=+為曲線exyx=+的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值是▲．【答案】1

11．若正實(shí)數(shù)xy，滿足1xy+=，則4

yxy

+的最小值是▲．【答案】8

12．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，90ABC∠=?，

3AB=，2BCDC==．若EF，

分離是線段DC和BC上的動點(diǎn)，則ACEF?的取值范圍是▲．【答案】[]46-，

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)(02)A-，，點(diǎn)(11)B-，

，P為圓222xy+=上一動點(diǎn)，則

PB

PA

的最大值是▲．【答案】2

14．已知函數(shù)3()3.xxafxxxxa?=?->，）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，

且經(jīng)過點(diǎn)π(3．

（1）求函數(shù)()fx的解析式；

（2）若角α

滿足π()()12fαα+-=，(0π)α∈，，求角α的值．

【解】（1）由條件，周期2πT=，

即2π2πω

=，所以1ω=，即()

π()sin3fxAx=+．……3分

（第12題）

（第16題）

A

B

C

D

PMN

由于()fx

的圖象經(jīng)過點(diǎn)π(3，所以2πsin3A1A=，

所以()

π()sin3

fxx=+．

……6分

（2）由π()()1

2

fαα+-=，得()(

)πππsin1332αα+++-=，

……8分即()()ππsin133

αα++=，

所以()ππ2sin133α??+-=????

，即1sin2α=．……12分

由于()0πα∈，

，所以π6α=或5π6

．……14分16．（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐PABCD-中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分離為棱PD，PC的中點(diǎn)．求證：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．

【證】（1）由于M，N分離為棱PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥DC，……2分

又由于底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，

所以MN∥AB．……4分又AB?平面PAB，MN?平面PAB，

所以MN∥平面PAB．……6分（2）由于AP=AD，M為PD的中點(diǎn)，

所以AM⊥PD．……8分

由于平面PAD⊥平面ABCD，

又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD?平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD．……10分

又AM?平面PAD，所以CD⊥AM．……12分由于CD，PD?平面PCD，CD

PDD=，

（第17題）

所以AM⊥平面PCD．……14分

17．（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓22221(0)yxabab

+=>>的左焦點(diǎn)為(10)F-，，且經(jīng)過

點(diǎn)3(12，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知橢圓的弦AB過點(diǎn)F，且與x軸不垂直．

若D為x軸上的一點(diǎn)，DADB=，求ABDF

【解】（1）辦法一：由題意，得2222211914cababc?=??

+=???=+?，，，

……3分

解得2243.ab?=?

?=??

，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22143

yx+=．

(5)

分

辦法二：由題意，知24a=，

所以2a=．……2分又1c=，

222abc=+，所以b=，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22143

yx+=．……5分

（2）辦法1：設(shè)直線AB的方程為(1)ykx=+．

①若k=0時(shí)，AB=2a=4，F(xiàn)D=FO=1，所以4ABDF=；……6分

②若k≠0時(shí)，11()Axy，，22()Bxy，，

AB的中點(diǎn)為00()Mxy，，代入橢圓方程，收拾得

2222(34)84120kxkxk+++-=，

所以12

xx==，

所以2

02434kxk

=-+，……8分

所以002

3(1)34kykxk=+=

+，所以AB的垂直平分線方程為()

2

22

3143434kkyxkkk-=-+

++．由于DA=DB，所以點(diǎn)D為AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，

所以22

(0)34kDk

-

+，，所以2222

3313434kkDFkk+=-

+=++．……10分由于橢圓的左準(zhǔn)線的方程為4x=-，離心率為12，

由1142AFx=+，得11(4)2

AFx=+，

同理21(4)2

BFx=+．

所以2

1202

11212()44234kABAFBFxxxk+=+=++=+=+．……12分所以4ABDF

=．

綜上，得ABDF

的值為4．……14分

辦法2：設(shè)11()Axy，，22()Bxy，，AB的中點(diǎn)為00()Mxy，，

①若直線AB與x軸重合，4ABDF=；……6分

②若直線AB不與x軸重合，

設(shè)11()Axy，，22()Bxy，，AB的中點(diǎn)為00()Mxy，，

由2211

2222144144

xyxy?+=????+=??，，得22221212

043xxyy--+=，

所以

120220

()()043

xxxyyy-?-?+=，所以直線AB的斜率為

012

120

34xyyxxy-=--，……8分所以AB的垂直平分線方程為0

000

4()3yyyxxx-=

-．

由于DA=DB，所以點(diǎn)D為AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，

所以0(

0)4xD，，所以014

xFD=+．……10分同辦法一，有04ABx=+，……12分

所以4ABDF

=．綜上，得ABDF

的值為4．……14分

辦法3：①若直線AB與x軸重合，4ABDF=．……6分

②若直線AB不與x軸重合，設(shè)11()Axy，，22()Bxy，，則AB的中點(diǎn)為1212

(

)22

xxyyM++，，所以AB的垂直平分線方程為12121212()22

yyxxxx

yxyy+-+-

=．8分令y=0，得22

121

2

122()2Dyyxxxxx-+=+-22221212122()yyxxxx-+-=

-

22221212

12113(1)3(1)442()xxxxxx-+-+-=

-

22

1

2

12114

42()xxxx-=-12

8xx+=

．

所以12

18

xxDF+=

+．……10分同辦法一，有121()42

ABxx=++，……12分

所以4ABDF

=．

綜上，得ABDF的值為4．……14分

18．（本小題滿分16分）

如圖，半圓AOB是某愛國主義教導(dǎo)基地一景點(diǎn)的平面暗示圖，半徑OA的長為1百米．為了庇護(hù)景點(diǎn)，基地管理部門從道路l上選取一點(diǎn)C，修建參觀線路C-D-E-F，且CD，

DE，EF均與半圓相切，四邊形CDEF是等腰梯形．設(shè)DE＝t百米，記修建每1百米參

觀線路的費(fèi)用為()ft萬元，經(jīng)測算1503()1182.3tfttt?，

且當(dāng)1(1)3t∈，時(shí)，0y'，所以y在1(1)3

，上單調(diào)遞減；在(12)，上單調(diào)遞增．所以當(dāng)1t=時(shí)，y取最小值為24.5．

由①②知，y取最小值為24.5．……15分

答：（1）EF的長為1()4tt

+百米；

（2）修建該參觀線路的最低費(fèi)用為24.5萬元．……16分

19．（本小題滿分16分）

已知{}na是公差為d的等差數(shù)列，{}nb是公比為q的等比數(shù)列，1q≠±，正整數(shù)組()Empr=，，（mpr，則()(0)0fxf''>=；若0x，則()(0)0fxf''=，所以()fx的單調(diào)減區(qū)間是(0)+∞，，單調(diào)增區(qū)間是(0)-∞，，

所以()fx在0x=處取得極大值，不符合題意．……8分③當(dāng)1122

a-，即()0gx'），

①若0a>，注重到lnxx時(shí)，

()2sin1ln22hxaxxxax'=>-

0=>．

所以2

m?=，函數(shù)()hx在()m+∞，上單調(diào)遞增．……14分②若0a≤，當(dāng)x>1時(shí)，()2sin1lnsin1lnhxaxxxxx'=<<0．

所以1m?=，函數(shù)()hx在(+)m∞，上單調(diào)遞減，

綜上所述，函數(shù)()lnyfxxx=-在區(qū)間(0)+∞，上廣義單調(diào)．……16分

數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）

21．【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證實(shí)過程或演算步驟．A．[選修4-1：幾何證實(shí)選講]（本小題滿分10分）

如圖，已知AB為圓O的一條弦，點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)P任作兩條弦PC，PD，分離交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：PEPCPFPD?=?．【證】連結(jié)PA，PB，CD，BC．

由于∠PAB=∠PCB，

又點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)，所以∠PAB=∠PBA，

所以∠PCB=∠PBA．……4分又∠DCB=∠DPB，

所以∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，所以E，F(xiàn)，D，C四點(diǎn)共圓．

所以PEPCPFPD?=?．……10分

B．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）

已知矩陣1=1ab??

??-??

M，點(diǎn)(11)-，在M對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)(15)--，，求矩陣M的特征值．

【解】由題意，111115ab-??????

=????????????，即1115ab-=-??--=-?

，，解得2a=，4b=，

所以矩陣12=14??

??-??

M．……5分矩陣M的特征多項(xiàng)式為21

2

()5614

fλλλλλ--=

=-+-．令()0fλ=，得12λ=，23λ=，

（第21-A題）

所以M的特征值為2和3．……10分C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）

在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心在極軸上，且過極點(diǎn)和點(diǎn)π)4，，求圓C的極坐標(biāo)

方程．

【解】辦法一：由于圓心C在極軸上且過極點(diǎn)，

所以設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為=cosaρθ，……4分

又由于點(diǎn)π)4

，在圓C上，

所以πcosa4

，解得6a=．

所以圓C的極坐標(biāo)方程為=6cosρθ．……10分

辦法二：點(diǎn)π)4

，的直角坐標(biāo)為(33)，，由于圓C過點(diǎn)(00)，，(33)，，所以圓心C在直線為30xy+-=上．又圓心C在極軸上，

所以圓C的直角坐標(biāo)方程為22(3)9xy-+=．……6分

所以圓C的極坐標(biāo)方程為=6cosρθ．……10分D．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）

已知a，b，c，d是正實(shí)數(shù)，且abcd=1，求證：5555abcdabcd++++++≥．【證】由于a，b，c，d是正實(shí)數(shù)，且abcd=1，

所以54abcda+++=≥．①……4分同理54bcdab+++≥，②

54cdabc+++≥，③54dabcd+++≥，④

將①②③④式相加并收拾，即得5555abcdabcd++++++≥．……10分【必做題】第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域．．．．．．．內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證實(shí)過程或演算步驟．

DA

C

B

S

P

E

（第22題）

22．（本小題滿分10分）

如圖，在四棱錐SABCD-中，SD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，

90ADCDAB∠=∠=?，2SDADAB===，1DC=．

（1）求二面角SBCA--的余弦值；

（2）設(shè)P是棱BC上一點(diǎn)，E是SA的中點(diǎn)，若PE

與平面SAD

CP的長．

【解】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間

直角坐標(biāo)系Dxyz-，

則(000)D，，，(220)B，，，(010)C，，，(002)S，，

所以(222)SB=-，

，，(012)SC=-，，，(00DS=，設(shè)平面SBC的法向量為1()xyz=，，n，由10SB?=n，10SC?=n，

得2220xyz+-=且20yz-=．取1z=，得1x=-，2y=，

所以1(121)=-，，n是平面SBC的一個(gè)法向量．……2分由于SD⊥平面ABC，取平面ABC的一個(gè)法向量2(001)=，，n．設(shè)二面角SBCA--的大小為θ，所以12

12cos|||θ?===nn|nn

由圖可知二面角SBCA--為銳二面角，

所以二面角SBCA--……5分

（2）由（1）知(101)E，，，則(210)CB=，，

，(111)CE=-，，．

設(shè)CPCBλ=（01λ≤≤），則(20(210))CPλλλ==，，，，，所以(1211)PECECPλλ=-=，

，．易知CD⊥平面SAD，所以(010)CD=，，

是平面SAD的一個(gè)法向量．設(shè)PE與平面SAD所成的角為α，

所以sincos5PECDPECDPECDα?===

，，……8分

=，得13λ=或119λ=（舍）

．所以21(0)33CP=，

，，5CP=