山東省青島市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

山東省青島市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集，，，則集合等于（

）A．

B．C．

D．參考答案：B2.已知四棱錐P﹣ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD為正三角形，AB=2AD=4，則球O的表面積為（）A． B． C．24π D．參考答案：B【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】求出△PAD所在圓的半徑，利用勾股定理求出球O的半徑R，即可求出球O的表面積．【解答】解：令△PAD所在圓的圓心為O1，則圓O1的半徑r=，因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，所以O(shè)O1=AB=2，所以球O的半徑R==，所以球O的表面積=4πR2=．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球O的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．3.設(shè)，，，則a，b，c三個(gè)數(shù)從大到小的排列順序?yàn)椋?/p>

）A．

B．

C.

D．參考答案：B由題意得．∵，∴．又，∴．∴．選B．

4.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，B=30°，△ABC的面積為，則b=A．

B．

C.

D．參考答案：B成等差數(shù)列，．平方得．又的面積為，且，故由，得，．由余弦定理，解得．又∵為邊長(zhǎng)，∴．故B正確.

5.是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足,對(duì)任意正數(shù),若,則必有

（

） A．

B． C． D．參考答案：A略6.設(shè)為兩個(gè)平面，為兩條直線，且，有如下兩個(gè)命題：

①若；②若.那么（

）

A．①是真命題，②是假命題

B．①是假命題，②是真命題

C．①、②都是真命題

D．①、②都是假命題

參考答案：D略7.對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、c，給出下列命題：①“a=b”是“ac=bc”的充要條件；

②“b2=ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的充要條件；③“a＜5”是“a＜3”的必要條件；

④“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件．其中真命題的個(gè)數(shù)是(

) A．4 B．3 C．4 D．1參考答案：D考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可．解答： 解：①若c=0時(shí)，a=1，b=2．，滿足ac=bc，但a=b不成立，則“a=b”是“ac=bc”的充要條件錯(cuò)誤；

②若a=b=v=c=0，滿足b2=ac，但a，b，c成等比數(shù)列錯(cuò)誤，故②錯(cuò)誤；③“a＜5”是“a＜3”的必要條件，正確；

④若a=2，b=﹣2滿足a＞b，但“a2＞b2”不成立，故④錯(cuò)誤．故正確命題是③，故選：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．8.若z=1﹣i，則復(fù)數(shù)z+z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣3） B．（﹣3，1） C．（1，1） D．（﹣1，1）參考答案：A【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】把z=1﹣i代入z+z2，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：∵z=1﹣i，∴z+z2=1﹣i+（1﹣i）2=1﹣i﹣2i=1﹣3i，則復(fù)數(shù)z+z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣3）．故選：A．9.設(shè)為向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C略10.曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線C：，點(diǎn)P與雙曲線C的焦點(diǎn)不重合．若點(diǎn)P關(guān)于雙曲線C的上、下焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)Q在雙曲線C的上支上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)為P1，則=__________。參考答案：-16 12.已知平面向量滿足，，那么____.參考答案：試題分析：考點(diǎn)：向量運(yùn)算13.無窮等比數(shù)列{an}滿足：a1=2，并且=，則公比q=

。參考答案：14.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和

．參考答案：因?yàn)?，解得，所以，所以，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和.15.執(zhí)行下圖的程序框圖，則輸出的n=

.

參考答案：1116.半徑為2的球面上有三點(diǎn)A，B，C，滿足，若P為球面上任意一點(diǎn)，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由題意畫出圖形，可知△ABC為球內(nèi)接直角三角形，連接三角形外接圓的圓心與球心交球于P，求出三棱錐的高，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值可求．【解答】解：如圖，∵，∴AC⊥BC，設(shè)球心為O，AB的中點(diǎn)為G，連接GO并延長(zhǎng)交球于P，此時(shí)三棱錐P﹣ABC體積的最大，連接OA，在Rt△OGA中，則OG=．則PG=3，∴三棱錐P﹣ABC體積的最大值為V=．故答案為：．17.過雙曲線x2﹣y2=1焦點(diǎn)的直線垂直于x軸，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=

．參考答案：2【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線AB的方程，聯(lián)立直線AB與雙曲線的方程可得AB的縱坐標(biāo)，由此計(jì)算可得線段AB的長(zhǎng)度，即可得答案．【解答】解：雙曲線的方程為x2﹣y2=1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±，0），直線AB的方程為x=或x=﹣，聯(lián)立，解可得y=±1，則|AB|=2；故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

己知數(shù)列{}是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列{}滿足．

(I)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（II）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.參考答案：解：（Ⅰ）由題意知，， ……2分（常數(shù)），∴數(shù)列是首項(xiàng)公差的等差數(shù)列.

……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,

…………6分于是,兩式相減得

……11分.

……12分略19.(本小題滿分14分)

如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的正弦值；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說明理由.參考答案：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC………….4分（Ⅱ）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴與平面所成的角的正弦值為.…………9分（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP為二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC，這時(shí)，故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角…………..14分【解法2】如圖，以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，由已知可得

.

（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，∴E為PC的中點(diǎn)，∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵，∴.∴與平面所成的角的大小.20.（12分）已知函數(shù)上是增函數(shù)。

（I）求整數(shù)a的最大值；

（II）令a是（I）中求得的最大整數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。參考答案：解析：（I）∴要使函數(shù)上是增函數(shù)則有恒成立…………3分而由此知，滿足條件的整數(shù)a的最大值為1。

…………6分

（II）由（I）知

…………8分∴對(duì)任意的恒成立在[—1，2]上是增函數(shù)

…………10分因此解得所以b的取值范圍為

…………12分21.（本小題滿分12分）2012年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多。某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁伲╧m/t）分成六段：[60,65）,[65,70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90）后得到如下圖的頻率分布直方圖．問：（1）某調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？（2）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值.（3）若從車速在[60,70）的車輛中任抽取2輛，求抽出的2輛車中車速在[65,70）的車輛數(shù)X的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．

參考答案：解:（1）系統(tǒng)抽樣

(2分)

（2）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值等于77.5

(4分)設(shè)圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車速為x，則中位數(shù)的估計(jì)值為：

解得即中位數(shù)的估計(jì)值為77.5

(6分)略22.(本小題滿分12分)在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大?。畢⒖即鸢福航猓海á瘢咂矫嫫矫?且平面平面平面

2分,

……3分又,

……………4分且,∴平面