2022年高中數(shù)學(xué)112瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)測(cè)試題新人教B版選修2－2

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Ｄ．答案：Ｄ第3題.（2007海南、寧夏理）設(shè)函數(shù)．（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．答案：解：（Ⅰ），依題意有，故．從而．的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．（Ⅱ）的定義域?yàn)?，．方程的判別式．（?。┤?，即，在的定義域內(nèi)，故無極值．（ⅱ）若，則或．若，，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以無極值．若，，，也無極值．（ⅲ）若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，．當(dāng)時(shí)，，從而在的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，故無極值．當(dāng)時(shí)，，，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由極值判別方法知在取得極值．綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為．的極值之和為．第4題.（2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是．答案：第5題.(2007湖南文)已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)．（I）求的最大值；（II）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式．答案：解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是，，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16．（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則不是的極值點(diǎn)．而，且．若，則和都是的極值點(diǎn)．所以，即．又由，得．故．解法二：同解法一得．因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)．于是存在（）．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則．所以．又由，得，故第6題.(2007江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____．答案：第7題.(2007江西理)設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的（）Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件答案：B第8題.（全國(guó)卷I理）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）證明：的導(dǎo)數(shù)；（Ⅱ）若對(duì)所有都有，求的取值范圍答案：解：（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)．由于，故．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．（Ⅱ）令，則，（?。┤?，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，，即．（ⅱ）若，方程的正根為，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)．所以，時(shí)，，即，與題設(shè)相矛盾．綜上，滿足條件的的取值范圍是．第9題.(2007全國(guó)I文)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：A第10題.(2007全國(guó)I文)設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若對(duì)于任意的，都有成立，求c的取值范圍．答案：（Ⅰ），因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值，則有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，．則當(dāng)時(shí)，的最大值為．因?yàn)閷?duì)于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范圍為．第11題.(2007全國(guó)II理)已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：．答案：解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：． 曲線在點(diǎn)處的切線方程為： ， 即 ．（2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使 ．于是，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程 有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．記 ，則 ．當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：000極大值極小值由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即 ．第12題.(2007陜西理)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．（I）若的定義域?yàn)?，求的取值范圍；（II）當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，求的單調(diào)減區(qū)間．答案：解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，恒成立，，，即?dāng)時(shí)的定義域?yàn)椋á颍?，令，得．由，得或，又，時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得，即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為．第13題.(2007浙江理)設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記．（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（?。┊?dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立；（ⅱ）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．答案：（I）解：．由，得．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是．（II）證明：（i）方法一：令，則，當(dāng)時(shí)，由，得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)的最小值是．故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．方法二：對(duì)任意固定的，令，則，由，得．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．（ii）方法一：．由（i）得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．下面證明的唯一性：當(dāng)，，時(shí)，，，由（i）得，，再取，得，所以，即時(shí)，不滿足對(duì)任意都成立．故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．方法二：對(duì)任意，，因?yàn)殛P(guān)于的最大值是，所以要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：，即， ①又因?yàn)?，不等式①成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．第14題.(2007湖北理)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）．答案：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．，，由題意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，則．于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．（Ⅱ）設(shè)，則．故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，第15題.(2007安徽文)設(shè)函數(shù)，，其中，將的最小值記為．（I）求的表達(dá)式；（II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值．答案：解：（I）我們有 ．由于，，故當(dāng)時(shí)，達(dá)到其最小值，即．（II）我們有．列表如下：極大值極小值由此可見，在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，極小值為，極大值為．第16題.設(shè)，．（Ⅰ）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，恒有答案：（Ⅰ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值．（Ⅱ）證明：由知，的極小值．于是由上表知，對(duì)一切，恒有．從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加．所以當(dāng)時(shí)，，即．故當(dāng)時(shí)，恒有．第17題.(2007天津理)已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．答案：（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，，又，．所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分兩種情況討論．（1）當(dāng)時(shí)，令，得到，．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)．函數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且．（2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)．函數(shù)在處取得極大值，且．函數(shù)在處取得極小值，且．第18題.(2007天津理)已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．答案：（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，，又，．所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分兩種情況討論．（1）當(dāng)時(shí)，令，得到，．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)．函數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且．（2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)．函數(shù)在處取得極大值，且．函數(shù)在處取得極小值，且．第19題.(2007福建理)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元（）時(shí)，一年的銷售量為萬件．（Ⅰ）求分公司一年的利潤(rùn)（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，并求出的最大值．答案：解：（Ⅰ）分公司一年的利潤(rùn)（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為： ．（Ⅱ） ． 令得或（不合題意，舍去）． ，． 在兩側(cè)的值由正變負(fù)． 所以（1）當(dāng)即時(shí)， ．（2）當(dāng)即時(shí)，，所以答：若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬元）；若，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬元）．第20題.(2007廣東文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ．答案：第21題.(2007廣東文)已知函數(shù)，是方程的兩個(gè)根，是的導(dǎo)數(shù)．設(shè)，．（1）求的值；（2）已知對(duì)任意的正整數(shù)有，記．求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：解：(1)由得(2)又?jǐn)?shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列；第22題.(2007山東理)設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（Ⅲ）證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立．答案：解：（Ⅰ）由題意知，的定義域?yàn)?，設(shè)，其圖象的對(duì)稱軸為，．當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)．②時(shí)，有兩個(gè)相同的解，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，，時(shí)，，，即，．時(shí)，，隨的變化情況如下表：極小值由此表可知：時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，隨的變化情況如下表：極大值極小值由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值點(diǎn)；綜上所述：時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，無極值點(diǎn)．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又．時(shí)，恒有，即恒成立．故當(dāng)時(shí)，有．對(duì)任意正整數(shù)取，則有．所以結(jié)論成立．第23題.(2007四川理)設(shè)函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（Ⅱ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，證明（是的導(dǎo)函數(shù)）；（Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，試證明你的結(jié)論并求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（Ⅰ）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是（Ⅱ）證法一：因證法二：因而故只需對(duì)和進(jìn)行比較。令，有由，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時(shí)，，從而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（Ⅲ）對(duì)，且有又因，故∵，從而有成立，即存在，使得恒成立．第24題.(2007重慶理)已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)．（Ⅰ）試確定的值；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍．答案：解：（I）由題意知，因此，從而．又對(duì)求導(dǎo)得．由題意，因此，解得．（II）由（I）知（），令，解得．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)．因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，而的單調(diào)遞增區(qū)間為．（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．即，從而，解得或．所以的取值范圍為．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第1題.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｄ第2題.設(shè)函數(shù)．（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．答案：解：每個(gè)點(diǎn)落入中的概率均為．依題意知．（Ⅰ）．（Ⅱ）依題意所求概率為，．第3題.（2007海南、寧夏文）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｄ第4題.（2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是．答案：第5題.(2007江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____．答案：第6題.(2007江西文)設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的（）Ａ．充分不必要條件 Ｂ．必要不充分條件Ｃ．充分必要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件答案：Ｃ第7題.(2007江西文)四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示．盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為，，，，則它們的大小關(guān)系正確的是（）Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．答案：Ａ第8題.(2007全國(guó)II文)已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且．（1）證明；（2）求的取值范圍．答案：解：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（Ⅰ）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個(gè)根．所以當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，，由，得．（Ⅱ）在題設(shè)下，等價(jià)于即．化簡(jiǎn)得．此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫嫔先龡l直線：．baba2124O在這三點(diǎn)的值依次為．所以的取值范圍為．第9題.(2007山東文)設(shè)函數(shù)，其中．證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值．答案：證明：因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋?． 當(dāng)時(shí)，如果在上單調(diào)遞增； 如果在上單調(diào)遞減． 所以當(dāng)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)， 令， 將（舍去），， 當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：0極小值從上表可看出， 函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為． 當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：0極大值 從上表可看出，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為． 綜上所述， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)， 若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為． 若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為．第10題.（2007山東文)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．答案：解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 由已知得：， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （Ⅱ）設(shè)． 聯(lián)立 得 ，則 又． 因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)， ，即． ． ． ． 解得：，且均滿足． 當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾； 當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)． 所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．第11題.已知在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，又．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若在區(qū)間上恒有成立，求的取值范圍．答案：解：（Ⅰ），由已知，即解得，，，．（Ⅱ）令，即，，或．又在區(qū)間上恒成立，．第12題.(2007廣東文)若函數(shù)，則函數(shù)在其定義域上是（）A．單調(diào)遞減的偶函數(shù) B．單調(diào)遞減的奇函數(shù)C．單調(diào)遞增的偶函數(shù) D．單調(diào)遞增的奇函數(shù)答案：B第13題.(2007湖北文)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切