2018年高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)課件文稿分層演練零距離第五章數(shù)列14份打包3講

第3講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和第五章

數(shù)

列2同一常數(shù)公比anan＋1＝q(q≠0，n∈N*)中項(xiàng)．即：

．“a，G，b

成等比數(shù)列”是“G2＝ab”的充分不必要條件．2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝

．，q＝1，1－q(2)前

n

項(xiàng)和公式：Sn＝a1（1－qn）

a1－anq＝

1－q

，q≠1.(2)等比中項(xiàng)如果

a、G、b

成等比數(shù)列，那么

G

叫做

a

與

b

的等比G2＝aba1qn－1

na1ap·aqa23．等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn

是其前n

項(xiàng)和．(m，n，p，q，r，k∈N*)若

m＋n＝p＋q＝2r，則

am·an＝

＝

r

；數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列；數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比數(shù)列(此時(shí){an}的公比q≠－1)．2．等比數(shù)列的三種判定方法(1)定義法：a＋n

1an*n＝q(q

是不為零的常數(shù)，n∈N)?{a

}是等比數(shù)列．(2)通項(xiàng)公式法：an＝cqn－1(c、q

均是不為零的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．2＋n

1n＋＋

＋n

2

n

n

1

n

2(3)等比中項(xiàng)法：a

＝a

·a

(a

·a

·a

≠0，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．D1

11[解析]

由通項(xiàng)公式及已知得

a

q＝2①，a

q4＝4②，由②÷①得

q3＝1

q＝1

故選

D．8，解得

2.2．(2015·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3B．42D．84＋a5＝21，則

a3＋a5＋a7＝(

B

)A．21C．63[解析]

因?yàn)?/p>

a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，所以

3＋3q2＋3q4＝21.所以1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2

或q2＝－3(舍去)．所以a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故選B．3.教材習(xí)題改編設(shè)等比數(shù)列{an}的前n

項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝(A．31C．63B．32D．64[解析]

由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即

122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故選C．C

)[解析]

由題意得，a2·a4＝a1·a5＝16，所以

a2＝2，2a4a2所以

q

＝

＝46

42，所以a

＝a

q

＝32.32所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2

的等比數(shù)列．又因?yàn)镾n＝126，所以2（1－2n）1－2＝126，所以n＝6.64．在等比數(shù)列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，則a6＝．5．(2015·高考全國(guó)卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前

n

項(xiàng)和．若

Sn＝126，則

n＝

．[解析]

因?yàn)?/p>

a1＝2，an＋1＝2an，C2n－1

1

2n－1【解析】

(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為

q，由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，45

1

11又a

＝a

q

＝9，所以a

＝9.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有a1＋a1q3＝9，2

3a1·q

＝8，解得a1＝1，q＝2或a1＝8，1q＝2.又{an}為遞增數(shù)列，所以a1＝1，q＝2，1－2n所以Sn＝

1－2＝2n－1.n(3)由a2－(2a＋n

1－1)an－2an＋1＝0

得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．n因?yàn)閧a

}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以anan＋1＝12.n故{a

}是首項(xiàng)為1n2n－11

1 ，公比為2的等比數(shù)列，因此

a

＝

.C[解析]

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為

q，由已知

a1＝1，a3＝4，得q2a3＝a1＝4.又{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，1－2k所以q＝2.而Sk＝

1－2

＝63，所以2k－1＝63，解得k＝6.3n－1[解析]

因?yàn)?/p>

3S1，2S2，S3

成等差數(shù)列，所以

4S2＝3S1＋S3，1

2

1

1

2

3a3a2n即

4(a

＋a

)＝3a

＋a

＋a

＋a

.化簡(jiǎn)，得

＝3，即等比數(shù)列{a

}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.1

2

2

1

11[解] (1)由已知，a

b

＋b

＝b

，b

＝1，b2＝3，得1a

＝2.所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3

的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝3n－1.(2)由(1)和anbn＋1＋bbnn＋1

n

n＝nb

，得bn＋1＝

3

，因此數(shù)列{b

}是首3n

n項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列．記{b

}的前n

項(xiàng)和為S

，則nS

＝1－

1n1－31

＝2－2×3n－1

3

3

1

.【解】(1)4

2

3

1當(dāng)n＝2

時(shí)，4S

＋5S

＝8S

＋S

，即43

52

41＋

＋

＋a4

3

35＋51＋2＝81＋2＋4＋1，48解得a

＝7.(2)證明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．53

1

2因?yàn)?a

＋a

＝4×4＋1＝6＝4a

，所以4an＋2＋an＝4an＋1，所以a1n＋2－2an＋11an＋1－2an4an＋2－2an＋1＝

4an

1－2an

＝＋4an＋1－an－2an＋14an＋1－2an＝2an＋1－an1＝

，2（2an＋1－an）

2所以數(shù)列＋n

112a

－

an12是以a

－a2

112＝1

為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．12[解]

由本例(2)知，an＋1－

an＝

21n－1，即an＋1

21n＋1

21n—

an

＝4.

an

2

a112所以數(shù)列1n是以 ＝2

為首項(xiàng)，4

為公差的等差數(shù)列，

21n所以

an

＝2＋4(n－1)＝4n－2，即

an＝(2n－1)·

21n－1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

an＝(2n－1)·

21n－1.bn[證明](1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.bn＋1＝an＋2－2an＋1＝（4an＋1－4an）－2an＋1an＋1－2an

an＋1－2an2an＋1－4an＝

＝2.an＋1－2an因?yàn)镾2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以數(shù)列{bn}是公比為2，首項(xiàng)為3

的等比數(shù)列．(2)由(1)知

bn＝3·2n－1＝an

1－2an，＋an＋1an所以2n－1－2n－2＝3.

an

2所以數(shù)列

n－2是等差數(shù)列，公差為

3，首項(xiàng)為

2.所以

an

＝2＋(n－1)×3＝3n－1.2n－2所以an＝(3n－1)·2n－2，所以cn＝2n－2.cn＋12n－1所以

cn

＝2n－2＝2.所以數(shù)列{cn}為等比數(shù)列．C(2)已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn

為其前n

項(xiàng)和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝(A．150C．150

或－200A

)B．—200D．400

或－50【解析】(1)由題意，得a2＝4a

a

＝4a2，所以a

＝2a

.3

2

6

4

3

411

2

1

1所以q＝2，又a

＋2a

＝a

＋2a

q＝3，所以a34

11＝2，a

＝a

q3＝

3

.16(2)依題意，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30

成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20

或S20＝30；又S20＞0，因此，S20＝30，S20－S10＝20，S40＝70＋80＝150.[通關(guān)練習(xí)]1．(2017·昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)已知等比數(shù)列{an}中，a1na1a2

a2a3＝1，q＝2，則

T

＝

1

＋

1

＋…＋1anan＋1A．1－

14nB．1－

12nC．321－1

4nD．321－1

2n的結(jié)果可化為(

C

)n[解析]

依題意，a

＝2—n

1，1anan＋1＝12n－1·2n＝1

1

122n－1＝2×4n－1，所以Tn＝1－

1

1n2

4

11－4＝

1－

3

4

2

1n，故選C．2．(2017·長(zhǎng)春調(diào)研)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則

n＝

14

．[解析]

設(shè)數(shù)列{an}的公比為

q，由

a1a2a3＝4＝a3q3

與

a

a

a

＝1

4

5

61—3

3n

3＝324，因此q—3n

612＝a3q12，可得

q9＝3，a a

a

＝a

q1

n－1

n

n＋1＝81＝34＝q36，所以n＝14.設(shè){bn}是8

項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4

是等差數(shù)列，且b1＝1，b5＝13.依次寫出{bn}的每一項(xiàng)；設(shè){cn}是2m＋1

項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中cm＋1，cm＋2，…，c2m＋1

是首項(xiàng)為a，公比為q

的等比數(shù)列，求{cn}的各項(xiàng)和Sn.【解】

(1)設(shè)數(shù)列

b1，b2，b3，b4

的公差為

d，b4＝b1＋3d＝1＋3d.又因?yàn)閎4＝b5＝13，解得d＝4，所以數(shù)列{bn}為1，5，9，13，13，9，5，1.(2)Sn＝c1＋c2＋…＋c2m＋1＝2(cm＋1＋cm＋2＋…＋c2m＋1)－cm＋1＝2