用解排列技巧

用解排列技巧第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三解排列問題的常用技巧

解排列問題:首先必須認(rèn)真審題,明確問題是否是排列問題;其次是抓住問題的本質(zhì)特征,靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答;同時(shí),還要注意講究一些基本策略和方法技巧,使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。下面就不同的題型介紹幾種常用的解題技巧。第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三總的原則—合理分類和準(zhǔn)確分步

解排列問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情發(fā)生的連續(xù)過程應(yīng)分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

分析：先安排甲，按照要求對其進(jìn)行分類，分兩類：根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有示例1.今有6個同學(xué)和2個老師排成一排照相,2個老師站中間,學(xué)生甲不站排頭,學(xué)生乙不站排尾,共有多少種不同的排法？1）若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有種方法.2)若甲在第2、3、6、7位，則排法有種,第1位的排法有種,第2、3、6、7位的排法有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有種。再安排老師，有2種方法。第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三（1）0，1，2，3，4，5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？個位數(shù)為零：個位數(shù)為2或4：所以練習(xí)一下（2）0，1，2，3，4，5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字且能被五整除的五位數(shù)？分類：后兩位數(shù)字為5或0：個位數(shù)為0：個位數(shù)為5：第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三（3）0，1，2，3，4，5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字且大于31250的五位數(shù)？分類：（4）31250是由0，1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個數(shù)？方法一：（排除法）方法二：（直接法）第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三（一）特殊元素的“優(yōu)先安排法”對于特殊元素的排列組合問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其它元素。例2用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A.24B.30C.40D.60

分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排。按0排在末尾和不排在末尾分為兩類；0排在末尾時(shí)，有個；0不排在末尾時(shí)，先用偶數(shù)排個位，再排百位，最后排十位有個；由分類計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)30個.B解題技巧第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三

例3用0，1，2，3，4這五個數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中1不在個位的數(shù)共有_______種。（二）總體淘汰法(間接法）對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時(shí)應(yīng)注意既不能多減又不能少減。

分析：五個數(shù)組成三位數(shù)的全排列有個，0排在首位的有個，1排在末尾的有，減掉這兩種不合條件的排法數(shù)，再加回百位為0同時(shí)個位為1的排列數(shù)（為什么？）故共有種。第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三

(1)五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第2個位置，那么不同的站法有（）A.120B.96C.78D.72直接練習(xí)一下第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三

（2）0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字且個位數(shù)字不是4的五位數(shù)？（3）用間接法解例1“6個同學(xué)和2個老師排成一排照相，2個老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？”第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三1)特殊元素、特殊位置問題例3：用0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的1)五位數(shù);2)六位偶數(shù);3)大于213045的自然數(shù)1)解法(1)位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5種排法，，其余4個位置有A45種排法，由乘法原理知共有:5·A45=5·5·4·3·2=600種.解法(2)元素分析法：0是特殊元素，可先考慮，第一類是五位數(shù)中不含0有A55個，第二類五位數(shù)中含0,則第一步先排0有4種排法,第二步有A45種排法,由加法原理和乘法原理知共有A55+4·A45=600種.第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三前兩種解法都是直接法解法3(間接法)6個數(shù)中取5個數(shù)的排列中有不滿足要求的數(shù)如02134等,0這樣的數(shù)共有A56-A45=600種2)可分為兩類：第一類是個位為0的有A55個，第二類個位不是0,個位有兩種排法，首位有4種排法，中間四位有A44種排法.第二類共有2·4·A44=192,由加法原理共有A55+192=312第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三形如2134,2135的數(shù)有A12·A22形如21054有一個故滿足要求的數(shù)共有449個3)形如3,4,5,這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有A13·A55種；形如23，24，25這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有A13·A44種；形如214,215這樣的數(shù)都是滿足條件的數(shù)共有A12·A44種；第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三解法二；六節(jié)課全排列共有A66種排法，最后一節(jié)排數(shù)學(xué)有A55種排法，第一節(jié)排體育有A55種排法，第一節(jié)排體育且最后一節(jié)排數(shù)學(xué)有A44種排法，共有A66-2A55+A44=504種EX3某班一天由語文、數(shù)學(xué)、外語、物理政治、體育六節(jié)課，要求數(shù)學(xué)不排在最后一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，共有多少種不同的排法。解法一：①若第一節(jié)排數(shù)學(xué)共有A55種排法，②若數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，則數(shù)學(xué)有四種排法，體育有四種排法，其余有A44種排法，因此共有4·4·A44因此共有A55+4·4·A44=504種第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三（三）相鄰問題——捆綁法對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”在一起，看作一個“大”的元素（組），與其它元素排列，然后再對相鄰的元素（組）內(nèi)部進(jìn)行排列。例4現(xiàn)有7人站成一排照相,要求甲、乙、丙三人相鄰，分別有多少種站法？分析：先將甲，乙，丙三人捆綁在一起看作一個元素，與其余4人共有5個元素做全排列,有種排法，然后對甲，乙，丙三人進(jìn)行全排列。由分步計(jì)數(shù)原理可得種不同排法。第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三（四）不相鄰問題——插空法

對于某幾個元素不相鄰得排列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。例57人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分析：可先讓其余4人站好，共有種排法，再在這4人之間及兩端的5個“空隙”中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有種方法，這樣共有種不同的排法。第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三(1)三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？(2)三個男生，四個女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：(3)如果有兩個男生、四個女生排成一排，要求男生之間不相鄰，有幾種不同排法？插空法：練習(xí)一下第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三例6有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？（五）順序固定問題用“除法”

對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù).所以共有種。分析：先在7個位置上作全排列，有種排法。其中3個女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故只對應(yīng)一種排法，第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三（1）五人排隊(duì)，甲在乙前面的排法有幾種？練習(xí)一下（2）三個男生，四個女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的順序不變，有幾種不同排法？分析：若不考慮限制條件，則有種排法，而甲，乙之間排法有種，故甲在乙前面的排法只有一種符合條件，故符合條件的排法有種.第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三（六）分排問題用“直排法”

把n個元素排成若干排的問題，若沒有其他的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來處理.例7七人坐兩排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，則有多少種不同的坐法？

分析：7個人，可以在前后排隨意就坐，再無其他限制條件，故兩排可看作一排處理，所以不同的坐法有種.第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三（1）三個男生，四個女生排成兩排，前排三人、后排四人，有幾種不同排法？或：七個人可以在前后兩排隨意就坐，再無其他條件，所以兩排可看作一排來處理不同的坐法有種（2）八個人排成兩排，有幾種不同排法？練習(xí)一下第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三（六）實(shí)驗(yàn)法

題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用實(shí)驗(yàn)逐步尋求規(guī)律有時(shí)也是行之有效的方法。

例8將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格內(nèi)，每個方格填1個，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（）A.6B.9C.11D.23分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實(shí)驗(yàn)法逐步解決。第一方格內(nèi)可填2或3或4。如填2，則第二方格中內(nèi)可填1或3或4。若第二方格內(nèi)填1，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填3。若第二方格內(nèi)填3，則第三方格只能填4，第四方格應(yīng)填1。同理，若第二方格內(nèi)填4，則第三方格只能填1，第四方格應(yīng)填3。因而，第一格填2有3種方法。不難得到，當(dāng)?shù)谝桓裉?或4時(shí)也各有3種，所以共有9種。第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三（七）住店法解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：

一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例9七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（）A.B.CD.分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個“客”有7種住宿法，由乘法原理得種。注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是呢？用分步計(jì)數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三(八)對應(yīng)法例10在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場？

分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，淘汰一名選手需要進(jìn)行一場比賽，所以淘汰99名選手就需要99場比賽。第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三解法2：可以畫一個樹狀圖，知滿足要求的拿法有9種3)其他問題同室4名學(xué)生各寫一張賀卡，放在一起，然后各人從中各拿一張，但均不能拿自己寫的那張，共有多少種拿法？解法1：第一步第一個同學(xué)從中拿一張賀卡,滿足要求的拿法有3種,第二步考慮被第一個同學(xué)拿走賀卡的那個同學(xué)也有3種拿法，第三步、第四步各有一種拿法，由乘法原理共有3·3·1·1=9第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期三例1：某小組7人排隊(duì)照相，以下各有幾種不同的排法？1）若排成兩