用求解微分方程

用求解微分方程第一頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三解輸入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')結(jié)果為:y=3e-2xsin（5x）第二頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三解輸入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；x=simple(x)%將x化簡y=simple(y)z=simple(z)結(jié)果為：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t

y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t

第三頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三2.用Matlab求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差.第四頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三1、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成.2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.注意:第五頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三解:令y1=x，y2=y1’1、建立m-文件vdp1000.m如下：functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，輸入命令：[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、結(jié)果如圖第六頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三解

1、建立m-文件rigid.m如下：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令：[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、結(jié)果如圖圖中，y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.第七頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三導(dǎo)彈追蹤問題設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1,0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度v0(是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？解法一（解析法）第八頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三由(1),(2)消去t整理得模型:第九頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三解法二(數(shù)值解)1.建立m-文件eq1.m

functiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2.取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：

x0=0，xf=0.9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b.')holdony=0:0.01:2;plot(1,y,’b*')

結(jié)論:導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦令y1=y,y2=y1’，將方程（3）化為一階微分方程組。第十頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解)設(shè)時(shí)刻t乙艦的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t))，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t)).3．因乙艦以速度v0沿直線x=1運(yùn)動(dòng)，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y=t第十一頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三4.解導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程建立m-文件eq2.m如下：

functiondy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：[t,y]=ode45('eq2',[0